Det geometriske gennemsnit er et middelmål, der bruges til at repræsentere en samling af positive værdier. Det beregnes som den n-te rod af produktet af tallene. Hvis man har N tal {\displaystyle N}{\displaystyle X_{1},X_{2},X,3\dots X_{N}} er det geometriske gennemsnit

{\displaystyle {\sqrt[{N}]{X_{1}\cdot X_{2}\cdot X_{3}\cdot \dots X_{N}}}}

Kort forklaring

Når folk taler om gennemsnit, mener de oftest det aritmetiske gennemsnit: aritmetiske gennemsnit det aritmetiske gennemsnit. Det geometriske gennemsnit er normalt mindre end eller lig med det aritmetiske gennemsnit (AM ≥ GM), og lighed opstår kun når alle observationerne er lige store. Det geometriske gennemsnit anvendes ofte inden for økonomi og statistik, særligt når man arbejder med vækstrater, forholdstal eller multiplikative processer.

Egenskaber og forhold

  • AM ≥ GM: For ikke-negative tal gælder altid, at det aritmetiske gennemsnit er større end eller lig med det geometriske gennemsnit. Lighed når alle tal er ens.
  • Multiplicativ karakter: Geometrisk gennemsnit bevarer forhold og multiplikative ændringer, hvorfor det er velegnet til gennemsnit af vækstrater og indeks.
  • Vægting: Man kan definere et vægtet geometrisk gennemsnit som produktet af xi opløftet til vægten wi: Π xi^{wi} (hvor vægtene summerer til 1).

Hvornår kan man ikke eller ikke bør bruge det?

  • Det geometriske gennemsnit er som regel defineret for positive tal. For negativt tal er det i praksis ikke meningsfuldt i den reelle skala.
  • Hvis et af tallene er nul, er produktet nul, og den n-te rod bliver 0. Det er matematisk muligt, men i mange anvendelser (fx ved brug af log-metoden) gør en nulværdi beregningen upraktisk eller meningsløs.
  • Det anvendes ikke for komplekse tal, fordi at tage roden af et komplekst tal fører til flere mulige resultater og mistet entydighed.

Praktisk beregning og tip

Den numerisk stabile måde at beregne det geometriske gennemsnit på er via logaritmer:

  • Givet positive tal x1, x2, ..., xN: GM = exp((1/N) * Σ ln(xi)).
  • Log-metoden undgår overflow/underflow ved store eller meget små tal og er ofte den foretrukne implementering i software.

Eksempler

  • Eksempel 1 — simple tal: For 2 og 8 er det geometriske gennemsnit sqrt(2·8) = sqrt(16) = 4.
  • Eksempel 2 — vækstrater: Hvis en investering vokser med 10% det første år og falder med 5% det andet år, beregnes vækstfaktorerne som 1,10 og 0,95. Geometrisk gennemsnit af vækstfaktorerne er sqrt(1,10·0,95) = sqrt(1,045) ≈ 1,0222, hvilket svarer til en gennemsnitlig årlig vækst på ≈ 2,22%.
  • Eksempel 3 — vægtet: Hvis to faktorer har vægte 0,3 og 0,7, så er det vægtede geometriske gennemsnit x1^{0,3}·x2^{0,7}.

Anvendelser

Det geometriske gennemsnit bruges især når data kombineres multiplicativt eller når man ønsker et middel, der respekterer procentvise ændringer og forhold. Typiske anvendelser:

  • Gennemsnitlig vækstrate for investeringer eller populationer.
  • Samling af indeks eller prisrelaterede størrelser.
  • Analyse af forholdstal og normalisering, hvor et aritmetisk gennemsnit ville give misvisende resultater.

Bemærk: I tekster og software er det vigtigt at sikre, at alle værdier er positive (eller håndteres særskilt), før man anvender log-metoden. Ved nulværdier, negative tal eller komplekse tal bør man overveje alternative mål eller særskilt behandling.