Binær operation (matematik): Definition, eksempler og egenskaber

Lær binære operationer i matematik: definition, illustrative eksempler (addition, multiplikation, matricer, funktioners sammensætning) og centrale egenskaber.

I matematikken er en binær operation, ofte betegnet *, på en mængde en regel, der kombinerer to elementer fra mængden og giver et tredje element i samme mængde. Formelt kan en binær operation på en mængde S betragtes som en funktion *: S × S → S. Hvis man for eksempel tager et par naturlige tal og lader operationen * være addition, er deres sum også et naturligt tal og dermed resultatet af anvendelsen af denne særlige binære operation. Et andet velkendt eksempel på en binær operation på de naturlige tal er multiplikation: 2 * 3 = 6.

Formel definition og bemærkninger

En binær operation på en mængde S er altså en afbildning

• *: S × S → S,
• hvor for alle a, b ∈ S er a * b ∈ S (dette kaldes lukkethed).

Det er vigtigt at bemærke, at nogle operationer kombinerer to elementer i en mængde, men ikke nødvendigvis giver et element i samme mængde; sådanne operationer er stadig binære i bred forstand (to-input funktioner), men de er ikke binære operationer på S i den lukkede forstand.

Typiske eksempler

• Addition og multiplikation på talmængder (f.eks. naturlige tal, heltal, rationale eller reelle tal).
• Subtraktion på heltal eller reelle tal (er lukket på disse sæt), men subtraktion på naturlige tal kan føre udenfor mængden (fx 2 − 5 ikke et naturligt tal hvis naturlige tal defineres uden negative tal).
• Division på rationelle tal eller reelle tal (ikke lukket hvis man inkluderer 0 i nævnerens mulige værdier uden særlig håndtering).
• Summen mellem matricerne og matrice-multiplikation (matriceaddition er kommutativ, mens matrice-multiplikation normalt ikke er det).
• Sammensætning af funktioner (f ∘ g), som er en binær operation på mængden af funktioner med passende definitionsmængder; komposition er associativ men som regel ikke kommutativ.
• Union og intersektion af mængder, som er binære operationer på potensmængder; begge er associative, kommutative og idempotente.
• Logiske operatorer som AND, OR, XOR på boolske værdier (fx {true, false}).

Egenskaber

En binær operation kan have forskellige algebraiske egenskaber. Her er de mest brugte:

• Associativitet: (a * b) * c = a * (b * c) for alle a, b, c. F.eks. addition og multiplikation af tal.
• Kommutativitet: a * b = b * a for alle a, b. F.eks. addition og multiplikation af tal, men typisk ikke matrice-multiplikation.
• Neutral element (identitet): Et element e ∈ S med e * a = a * e = a for alle a. F.eks. 0 for addition og 1 for multiplikation.
• Invers: For et element a findes et b sådan at a * b = b * a = e (identiteten). Iverser eksisterer i grupper, f.eks. additive inverse −a for heltal, reelle tal osv.
• Idempotens: a * a = a for alle a (fx union og intersektion på mængder er idempotente).
• Distributivitet: En operation * kan være distributiv over en anden operation ◦, f.eks. multiplikation er distributiv over addition: a(b + c) = ab + ac.

Algebraiske strukturer bygget på binære operationer

Ved at kræve nogle af ovenstående egenskaber får man forskellige strukturer:

• Magma: En mængde med en binær operation (kun lukkethed kræves).
• Semigruppe: En magma hvor operationen er associativ.
• Monoid: En semigruppe med et neutralt element.
• Gruppe: En monoid hvor alle elementer har inverser. Hvis gruppen også er kommutativ, kaldes den en abelsk gruppe.
• Ring, kropp (field) osv.: Disse er videreudviklinger, hvor man har to binære operationer (typisk addition og multiplikation) med bestemte forhold som distributivitet.

Praktiske bemærkninger

• En operation kan være defineret på et hvilket som helst sæt; det er ikke nødvendigvis "tal".
• Når man undersøger om en given regel er en binær operation på en mængde, tjekker man først lukkethed og derefter hvilke af de andre egenskaber den opfylder.
• Nogle operationer er kun delvist definerede (fx division når nævneren må være 0). Disse omtales ofte som partielle binære operationer.
• Notation varierer: man bruger ofte infix (a * b), men også præfix eller postfix forekommer i visse sammenhænge.

Ekstra eksempler og illustration

Et enkelt diskret eksempel: S = {0,1} med operation XOR (eksklusiv eller). XOR er en binær operation på S, er kommutativ og associativ, har 0 som identitet, og hvert element er sit eget inverse (1 ⊕ 1 = 0).

Andre: Summen mellem matricerne. Sammensætning af funktioner. Union og intersektion af mængder er også to forskellige binære operationer på mængden af alle mængder eller på delmængder i en potensmængde.

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er en binær operation?

Sp: Hvordan betegnes binær operation i matematik?

Spørgsmål: Hvad er et eksempel på en binær operation på naturlige tal?

Spørgsmål: Hvad er resultatet af at anvende en binær operation på et par naturlige tal?

Spørgsmål: Kan binære operationer anvendes på andre matematiske objekter end tal?

Spørgsmål: Hvad er nogle eksempler på binære operationer på mængder?

Spørgsmål: I hvilken mængde kan der udføres to forskellige binære operationer?

Søg efter bogstav