Matricer (matrix) — Definition, regneregler og anvendelser

De vandrette linjer i en matrix kaldes rækker, og de lodrette linjer kaldes kolonner. En matrix med m rækker og n kolonner kaldes en m-by-n-matrix (eller m×n-matrix), og m og n kaldes dens dimensioner.

De steder i matrixen, hvor tallene er, kaldes poster. Den post i en matrix A, der ligger i række nr. i og kolonne nr. j, kaldes i,j-posten i A. Dette skrives som A[i,j] eller_i,j .

Vi skriver A := ( a i j ) m × n {\displaystyle A:=(a_{ij})_{m\times n}}} for at definere en m × n-matrix A, hvor hver post i matrixen kaldes_i,j for alle 1 ≤ i ≤ m og 1 ≤ j ≤ n.

Eksempel

Matrixen

[ 1 2 3 1 2 7 4 9 2 6 1 5 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&2&7\\4&9&2\\\6&1&5\end{bmatrix}}}

er en 4×3-matrix. Denne matrix har m=4 rækker og n=3 kolonner.

Elementet A[2,3] eller en_2,3 er 7.

Tilføjelse

Summen af to matricer er den matrix, hvis (i,j)-te post er lig med summen af de (i,j)-te poster i to matricer:

[ 1 3 2 1 0 0 0 1 2 2 2 ] + [ 0 0 0 5 7 5 0 2 1 1 1 ] = [ 1 + 0 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 5 0 + 0 1 + 2 2 2 + 1 2 + 1 ] = [ 1 3 7 8 5 0 3 3 3 3 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}

De to matricer har de samme dimensioner. Her er A + B = B + A {\displaystyle A+B=B+A} sandt (og er generelt sandt for matricer med samme dimensioner).

Multiplikation af to matricer

Multiplikation af to matricer er lidt mere kompliceret:

[ a 1 a 2 a 3 a 4 ] ⋅ [ b 1 b 2 b 3 b 4 ] = [ [ ( a 1 ⋅ b 1 + a 2 ⋅ b 3 ) ( a 1 ⋅ b 2 + a 2 ⋅ b 4 ) ( a 3 ⋅ b 1 + a 4 ⋅ b 3 ) ( a 3 ⋅ b 2 + a 4 ⋅ b 4 ) ] ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4\\\end{bmatrix}}}={\begin{bmatrix}(a1\cdot b1+a2\cdot b3)&(a1\cdot b2+a2\cdot b4)\\(a3\cdot b1+a4\cdot b3)&(a3\cdot b2+a4\cdot b4)\\end{bmatrix}}}

Det samme gælder for tal:

[ 3 5 1 4 ] ⋅ [ 2 3 5 0 ] = [ ( 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 5 ) ( 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 0 ) ( 1 ⋅ 2 + 4 ⋅ 5 ) ( 1 ⋅ 3 + 4 ⋅ 0 ) ] = [ 31 9 22 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}3&5\1&4\\\end{bmatrix}}}\cdot {\begin{bmatrix}2&&3\\\\\5&0\\\end{bmatrix}}}={\begin{bmatrix}(3\cdot 2+5\cdot 5)&(3\cdot 3+5\cdot 0)\\(1\cdot 2+4\cdot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}}

• To matricer kan multipliceres med hinanden, selv om de har forskellige dimensioner, så længe antallet af kolonner i den første matrix er lig med antallet af rækker i den anden matrix.
• Resultatet af multiplikationen, kaldet produktet, er en anden matrix med det samme antal rækker som den første matrix og det samme antal kolonner som den anden matrix.
• Multiplikation af matricer er ikke kommutativ, hvilket betyder, at A B ≠ B A {\displaystyle AB\neq BA} .
• Multiplikation af matricer er associativ, hvilket betyder, at ( A B ) C = A ( B C ) {\displaystyle (AB)C=A(BC)} .

Der er nogle matricer, der er specielle.

Kvadratisk matrix

En kvadratisk matrix har det samme antal rækker som kolonner, så m=n.

Et eksempel på en kvadratisk matrix er

[ 5 - 2 4 0 0 9 9 1 - 7 6 8 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}5&-2&4\\0&9&1\-7&6&8\\end{bmatrix}}}

Denne matrix har 3 rækker og 3 kolonner: m=n=3.

Identitet

Hver kvadratdimension af en matrix har en særlig modpart kaldet "identitetsmatrixen", repræsenteret ved symbolet I {\displaystyle I} . Identitetsmatrixen har kun nuller undtagen på hoveddiagonalen, hvor der kun er ettere. For eksempel:

[ 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0\0\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}}

er en identitetsmatrix. Der findes præcis én identitetsmatrix for hvert sæt med kvadratisk dimension. En identitetsmatrix er speciel, fordi resultatet ved multiplikation af en hvilken som helst matrix med identitetsmatrixen altid er den oprindelige matrix uden ændringer.

Invers matrix

En invers matrix er en matrix, der, når den multipliceres med en anden matrix, er lig med identitetsmatrixen. For eksempel:

[ 7 8 6 7 ] ⋅ [ 7 - 8 - 6 7 ] = [ 1 0 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\\6&&7\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}}

[ 7 - 8 - 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&-8\-6&7\\\end{bmatrix}}}} er den omvendte af [ 7 8 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\\6&7\\end{bmatrix}}} .

Formlen for inversen af en 2x2 matrix, [ x y z v ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\\\z&v\end{bmatrix}}} er:

( 1 det ) [ v - y - z x ] {\displaystyle \left({\frac {1}{\det }}\right){\begin{bmatrix}v&-y\\-z&x\end{bmatrix}}}

Hvor det {\displaystyle \det } er matrixens determinant. I en 2x2 matrix er determinanten lig med:

x v - y z {\displaystyle {xv-yz}}

Matrix med én kolonne

En matrix, der har mange rækker, men kun én kolonne, kaldes en kolonnevektor.

Bestemmelsesfaktoren tager en kvadratisk matrix og beregner et simpelt tal, en skalar. For at forstå, hvad dette tal betyder, skal du tage hver kolonne i matricen og tegne den som en vektor. Det parallelogram, der tegnes af disse vektorer, har et areal, som er determinanten. For alle 2x2 matricer er formlen meget enkel: det ( [ [ a b c d ] ) = a d - b c {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\c&d\\\end{bmatrix}}\right)=ad-bc}

For 3x3 matricer er formlen mere kompliceret: Det ( [ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] ) = a 1 ( b 2 c 3 - c 2 b 3 ) - a 2 ( b 1 c 3 - c 1 b 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 - c 1 b 2 ) {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})}

Der findes ingen enkle formler for determinanterne for større matricer, og mange computerprogrammører undersøger, hvordan man får computere til hurtigt at finde store determinanter.

Egenskaber for determinanter

Der er tre regler, som alle determinanter følger. Disse er:

• En identitetsmatricas determinant er 1
• Hvis to rækker eller to kolonner i matrixen byttes om, multipliceres determinanten med -1. Matematikere kalder dette for vekselvirkning.
• Hvis alle tallene i en række eller kolonne ganges med et andet tal n, så er determinanten ganget med n. Hvis en matrix M har en kolonne v, der er summen af to kolonne-matricer v 1 {\displaystyle v_{1}}} og v 2 {\displaystyle v_{2}}} er determinanten af M summen af determinanterne af M med v 1 {\displaystyle v_{1}}} i stedet for v og M med v 2 {\displaystyle v_{2}} i stedet for v. Disse to betingelser kaldes multilinearitet.

• Bestemmende faktor
• Egenværdier og egenvektorer
• Matrix-analyse
• Matrix-funktion
• Numerisk lineær algebra
• System af lineære ligninger
• Transponere