Determinant | kvadratisk matrix er en skalar, der angiver, hvordan den pågældende matrix opfører sig

En kvadratisk matrixs determinant er en skalar (et tal), der angiver, hvordan den pågældende matrix opfører sig. Den kan beregnes ud fra tallene i matricen.

Matrixens determinant A {\displaystyle A} $A$ skrives som det ( A ) {\displaystyle \det(A)} $\det(A)$ eller | A | {\displaystyle |A|} $|A|$ i en formel. Nogle gange kan man i stedet for det ( [ [ a b c d ] ) {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}\right)} $\det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right)$ og | [ a b c d ] | {\displaystyle \left|{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}\right|} $\left|{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right|$ skriver man blot det [ a b c d ] {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\\c&d\end{bmatrix}}} $\det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ og | a b c d | {\displaystyle \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right|} $\left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right|$ .

Fortolkning

Der er et par måder at forstå, hvad determinanten siger om en matrix.

Geometrisk fortolkning

En n × n {\displaystyle n\times n} $n\times n$ matrix kan betragtes som en beskrivelse af et lineært kort i n {\displaystyle n} dimensioner. I så fald angiver determinanten den faktor, hvormed denne matrix skalerer (vokser eller krymper) et område i et n {\displaystyle n} -dimensionalt rum.

F.eks. en 2 × 2 {\displaystyle 2\ gange 2} $2\times 2$ matrix A {\displaystyle A} $A$ , set som et lineært kort, vil forvandle et kvadrat i det 2-dimensionelle rum til et parallelogram. Parallellogrammets areal vil være det ( A ) {\displaystyle \det(A)} $\det(A)$ gange så stort som kvadratets areal.

På samme måde vil en 3 × 3 {\displaystyle 3\ gange 3} $3\times 3$ matrix B {\displaystyle B} $B$ , set som et lineært kort, forvandle en terning i det 3-dimensionelle rum til et parallelepiped. Dette parallelepipeds volumen vil være det ( B ) {\displaystyle \det(B)} $\det(B)$ gange så stort som kubens volumen.

Determinanten kan være negativ eller nul. Et lineært kort kan strække og skalere et volumen, men det kan også afspejle det over en akse. Når dette sker, skifter determinantens fortegn fra positiv til negativ eller fra negativ til positiv. En negativ determinant betyder, at volumenet er blevet spejlet over et ulige antal akser.

Fortolkning af "ligningssystem"

Man kan se på en matrix som et system af lineære ligninger. Dette system har en unik ikke-triviel løsning, præcis når determinanten ikke er 0 (ikke-triviel betyder, at løsningen ikke bare er alle nuller).

Hvis determinanten er nul, er der enten ingen unik ikke-triviel løsning, eller også er der uendeligt mange.

For en 2 × 2 {\displaystyle 2\ gange 2} $2\times 2$ matrix [ a c b d ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&c\b&d\end{bmatrix}}} ${\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}$ er determinanten arealet af et parallellogram. (Arealet er lig med a d - b c {\displaystyle ad-bc} $ad-bc$ .)

Singulære matricer

En matrix har en omvendt matrix, præcis når determinanten ikke er 0. Derfor kaldes en matrix med en determinant, der ikke er nul, for invertibel. Hvis determinanten er 0, kaldes matrixen ikke-invertibel eller singulær.

Geometrisk set kan man tænke på en singulær matrix som en "fladning" af et parallelepipedum til et parallelogram eller et parallelogram til en linje. Så er rumfanget eller arealet 0, hvilket betyder, at der ikke findes noget lineært kort, der kan bringe den gamle form tilbage.

Beregning af en determinant

Der er nogle få måder at beregne en determinant på.

Formler for små matricer

For 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1} $1\times 1$ og 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} $2\times 2$ matricer gælder følgende enkle formler:

det [ a ] = a , det [ a b c d ] = a d - b c . {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.} $\det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.$

For 3 × 3 {\displaystyle 3\ gange 3} $3\times 3$ matricer er formlen:

det [ a b c d e f g h i ] = a e i + d h c + g b f - g e c - a h f - d b i {\displaystyle {\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}} ${\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}$

Man kan bruge Sarrus-reglen (se billedet) til at huske denne formel.

Udvidelse af kofaktorerne

For større matricer er det sværere at beregne determinanten. En måde at gøre det på kaldes kofaktorekspansion.

Lad os antage, at vi har en n × n {\displaystyle n\times n} $n\times n$ matrix A {\displaystyle A} $A$ . Først vælger vi en hvilken som helst række eller kolonne i matricen. For hvert tal a i j {\displaystyle a_{ij}}} $a_{ij}$ i den pågældende række eller kolonne beregner vi noget, der kaldes dets kofaktor C i j {\displaystyle C_{ij}} $C_{ij}$ . Så det ( A ) = ∑ a i j C i j {\displaystyle \det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}}} $\det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}$ .

For at beregne en sådan kofaktor C i j {\displaystyle C_{ij}} $C_{ij}$ sletter vi række i {\displaystyle i} $i$ og kolonne j {\displaystyle j} $j$ fra matrixen A {\displaystyle A} $A$ . Dette giver os en mindre ( n - 1 ) × ( n - 1 ) {\displaystyle (n-1)\times (n-1)} $(n-1)\times (n-1)$ matrix. Vi kalder den M {\displaystyle M} $M$ . Kofaktoren C i j {\displaystyle C_{ij}}} $C_{ij}$ er så lig med ( - 1 ) i + j det ( M ) {\displaystyle (-1)^{i+j}\det(M)} $(-1)^{i+j}\det(M)$ .

Her er et eksempel på en kofaktorudvidelse af den venstre kolonne i en 3 × 3 {\displaystyle 3\ gange 3} $3\times 3$ matrix:

det [ 1 3 2 2 2 1 1 1 0 3 4 ] = 1 ⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 3 4 ] ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) + ( 0 ⋅ ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ ${\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\{\color {red}2}&1&1\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\1&1\end{bmatrix}}\right)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\&=-11.\end{aligned}}$

Som illustreret ovenfor kan man forenkle beregningen af determinanten ved at vælge en række eller kolonne, der har mange nuller; hvis a i j {\displaystyle a_{ij}} $a_{ij}$ er 0, kan man helt springe over beregningen af C i j {\displaystyle C_{ij}} $C_{ij}$ .

Formlen for 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} $3\times 3$ determinantformlen er en sum af produkter. Disse produkter går langs diagonalerne, der "vikler sig rundt" til toppen af matrixen. Dette trick kaldes Sarrus' regel.

Relaterede sider

Invertibel matrix
Volumen

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er en determinant?

A: En determinant er en skalar (et tal), der angiver, hvordan en kvadratisk matrix opfører sig.

Spørgsmål: Hvordan kan determinanten for en matrix beregnes?

A: Matrixens determinant kan beregnes ud fra tallene i matrixen.

Sp: Hvordan skrives en matrix' determinant?

Svar: En matrix' determinant skrives som det(A) eller |A| i en formel.

Spørgsmål: Er der andre måder at skrive en matrix' determinant på?

A: Ja, i stedet for det([a b c d]) og |[a b c d]| kan man blot skrive det [a b c d] og |[a b c d]|.

Spørgsmål: Hvad betyder det, når vi siger "skalar"?

A: En skalar er et individuelt tal eller en størrelse, der har størrelse, men ingen retning tilknyttet.

Spørgsmål: Hvad er kvadratiske matricer?

Svar: Kvadratiske matricer er matricer med lige mange rækker og kolonner, f.eks. 2x2- eller 3x3-matricer.