Determinant – definition, beregning og egenskaber for matricer

Lær determinantens definition, beregningsmetoder og egenskaber for kvadratiske matricer — trin-for-trin forklaringer, eksempler og praktiske anvendelser i lineær algebra.

Forfatter: Leandro Alegsa

En kvadratisk matrixs determinant er en skalar (et tal), der angiver, hvordan den pågældende matrix opfører sig. Den kan beregnes ud fra tallene i matricen.

Matrixens determinant {\displaystyle A} skrives som {\displaystyle \det(A)} eller {\displaystyle |A|} i en formel. Nogle gange kan man i stedet for {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right)} og {\displaystyle \left|{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right|}skriver man blot {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}} og {\displaystyle \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right|} .




 

Beregning

Der findes flere måder at beregne determinanter på, alt efter matrixstørrelse og behov for effektiv beregning:

  • 2×2-matricer: For A = [[a b],[c d]] gælder det enkle udtryk det(A) = ad − bc. Eksempel: for [[1 2],[3 4]] er det = 1·4 − 2·3 = −2.
  • 3×3-matricer (Sarrus' regel): For 3×3 kan man bruge Sarrus' regel, som udvider diagonalerne og trækker de modsatte kryds fra. Denne metode er praktisk håndregning, men kan ikke generaliseres til større matriceordener på samme enkle måde.
  • Laplace-udvikling (cofactor expansion): Man kan udvide determinanten langs en række eller kolonne ved hjælp af kofaktorer. Dette er undervisningsmæssigt vigtigt og bruges til teoretiske beviser, men bliver hurtigt beregningsmæssigt dyrt for store matricer.
  • Rækkeoperationer og faktorisering (praktisk beregning): I praksis udregner man ofte determinanter ved at udføre række- eller kolonneoperationer svarende til LU-dekomposition. Via rækkeoperationer kan matricen omformes til øvre trekantsform, og determinanten er så produktet af diagonale elementer (ganget med −1 for hver rækkeombytning og med eventuelle skaleringer taget i betragtning). Dette er effektivt numerisk.

Egenskaber

Nogle vigtige egenskaber ved determinanter:

  • Multiplicativitet: det(AB) = det(A)·det(B) for to n×n-matricer A og B.
  • Transpose: det(A^T) = det(A).
  • Inverterbarhed: En matrix A er inverterbar (har en invers) netop når det(A) ≠ 0. Hvis A er invertibel, så er det(A^−1) = 1/det(A).
  • Diagonal-/trekantsmatricer: For en øvre eller nedre trekantsmatrix er determinanten produktet af diagonal-elementerne: det(A) = ∏ a_ii.
  • Skalering af rækker/kolonner: Hvis man ganger en hel række (eller kolonne) i en n×n-matrix med en konstant k, så ganges determinanten med k. Mere generelt: det(kA) = k^n det(A) for konstant k.
  • Rækkeombytning og addition: Ved at bytte to rækker ændrer man determinanten til dens negative (det bliver −det). Hvis man lægger en multiplum af en række til en anden, ændres determinanten ikke.
  • Linæritet: Determinanten er linær i hver række (eller kolonne) når de andre rækker er faste, og den er alternerende (hvis to rækker er lige, er determinanten 0).
  • Produkt af egenværdier: Hvis λ1,...,λn er egenværdierne til A (med kompleks multiplicitet), så er det(A) = λ1·λ2·...·λn.
  • Determinant af identitetsmatrix: det(I) = 1 for identitetsmatricen I.

Geometrisk fortolkning

Geometrisk angiver determinanten, hvor meget en lineær afbildning (repræsenteret ved matrix A) skalerer orienterede volumener i rummet. For en 2×2-matrix svarer absolutværdien |det(A)| til området af billedet af et areal-element (f.eks. et lille rektangel), og for 3×3 svarer det til skaleringsfaktoren for rumlige volumener. Fortegnet angiver, om afbildningen bevarer (positiv) eller vender (negativ) orienteringen.

Praktiske bemærkninger

  • Til numerisk beregning af store matricer er LU-dekomposition eller beregninger af pivoter ofte mere stabile og hurtigere end direkte udvidelse via kofaktorer.
  • Når man bruger computerpakker, bør man være opmærksom på numerisk runde-fejl ved næsten singulære matricer (determinant tæt på 0).

Disse grundlæggende definitioner og egenskaber gør determinanten til et centralt værktøj i lineær algebra med anvendelser i løsning af ligningssystemer, inversberegning, egenværdiproblemer og geometriske fortolkninger.

Fortolkning

Der er et par måder at forstå, hvad determinanten siger om en matrix.

Geometrisk fortolkning

En {\displaystyle n\times n} matrix kan betragtes som en beskrivelse af et lineært kort i n dimensioner. I så fald angiver determinanten den faktor, hvormed denne matrix skalerer (vokser eller krymper) et område i et n -dimensionalt rum.

F.eks. en {\displaystyle 2\times 2} matrix {\displaystyle A}, set som et lineært kort, vil forvandle et kvadrat i det 2-dimensionelle rum til et parallelogram. Parallellogrammets areal vil være {\displaystyle \det(A)} gange så stort som kvadratets areal.

På samme måde vil en {\displaystyle 3\times 3} matrix {\displaystyle B} , set som et lineært kort, forvandle en terning i det 3-dimensionelle rum til et parallelepiped. Dette parallelepipeds volumen vil være {\displaystyle \det(B)} gange så stort som kubens volumen.

Determinanten kan være negativ eller nul. Et lineært kort kan strække og skalere et volumen, men det kan også afspejle det over en akse. Når dette sker, skifter determinantens fortegn fra positiv til negativ eller fra negativ til positiv. En negativ determinant betyder, at volumenet er blevet spejlet over et ulige antal akser.

Fortolkning af "ligningssystem"

Man kan se på en matrix som et system af lineære ligninger. Dette system har en unik ikke-triviel løsning, præcis når determinanten ikke er 0 (ikke-triviel betyder, at løsningen ikke bare er alle nuller).

Hvis determinanten er nul, er der enten ingen unik ikke-triviel løsning, eller også er der uendeligt mange.



 

Zoom

For en {\displaystyle 2\times 2} matrix {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}}er determinanten arealet af et parallellogram. (Arealet er lig med {\displaystyle ad-bc} .)


 

Singulære matricer

En matrix har en omvendt matrix, præcis når determinanten ikke er 0. Derfor kaldes en matrix med en determinant, der ikke er nul, for invertibel. Hvis determinanten er 0, kaldes matrixen ikke-invertibel eller singulær.

Geometrisk set kan man tænke på en singulær matrix som en "fladning" af et parallelepipedum til et parallelogram eller et parallelogram til en linje. Så er rumfanget eller arealet 0, hvilket betyder, at der ikke findes noget lineært kort, der kan bringe den gamle form tilbage.


 

Beregning af en determinant

Der er nogle få måder at beregne en determinant på.

Formler for små matricer

  • For {\displaystyle 1\times 1} og {\displaystyle 2\times 2} matricer gælder følgende enkle formler:

{\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.}

  • For {\displaystyle 3\times 3} matricer er formlen:

{\displaystyle {\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}}

Man kan bruge Sarrus-reglen (se billedet) til at huske denne formel.

Udvidelse af kofaktorerne

For større matricer er det sværere at beregne determinanten. En måde at gøre det på kaldes kofaktorekspansion.

Lad os antage, at vi har en {\displaystyle n\times n} matrix {\displaystyle A} . Først vælger vi en hvilken som helst række eller kolonne i matricen. For hvert tal {\displaystyle a_{ij}} i den pågældende række eller kolonne beregner vi noget, der kaldes dets kofaktor {\displaystyle C_{ij}}. Så {\displaystyle \det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}}.

For at beregne en sådan kofaktor {\displaystyle C_{ij}}sletter vi række {\displaystyle i} og kolonne {\displaystyle j} fra matrixen {\displaystyle A} . Dette giver os en mindre {\displaystyle (n-1)\times (n-1)} matrix. Vi kalder den {\displaystyle M} . Kofaktoren {\displaystyle C_{ij}} er så lig med {\displaystyle (-1)^{i+j}\det(M)} .

Her er et eksempel på en kofaktorudvidelse af den venstre kolonne i en {\displaystyle 3\times 3} matrix:

⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 3 4 ] ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) + ( 0 ⋅ ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 6 ) + 0 = - 11. {\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\{\color {red}2}&1&1\\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}}&={{\color {red}1}}\cdot C_{11}+{\color {red}2}}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\\\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\\3&4\end{bmatrix}}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\\3&4\end{bmatrix}}}\right)+\left({\color {red}0}}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\\\1&1\end{bmatrix}}}\right)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\\\&=-11.\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\{\color {red}2}&1&1\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\1&1\end{bmatrix}}\right)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\&=-11.\end{aligned}}}

Som illustreret ovenfor kan man forenkle beregningen af determinanten ved at vælge en række eller kolonne, der har mange nuller; hvis {\displaystyle a_{ij}} er 0, kan man helt springe over beregningen af {\displaystyle C_{ij}} .



 

Zoom

Formlen for {\displaystyle 3\times 3} determinantformlen er en sum af produkter. Disse produkter går langs diagonalerne, der "vikler sig rundt" til toppen af matrixen. Dette trick kaldes Sarrus' regel.


 

Relaterede sider

 

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er en determinant?


A: En determinant er en skalar (et tal), der angiver, hvordan en kvadratisk matrix opfører sig.

Spørgsmål: Hvordan kan determinanten for en matrix beregnes?


A: Matrixens determinant kan beregnes ud fra tallene i matrixen.

Sp: Hvordan skrives en matrix' determinant?


Svar: En matrix' determinant skrives som det(A) eller |A| i en formel.

Spørgsmål: Er der andre måder at skrive en matrix' determinant på?


A: Ja, i stedet for det([a b c d]) og |[a b c d]| kan man blot skrive det [a b c d] og |[a b c d]|.

Spørgsmål: Hvad betyder det, når vi siger "skalar"?


A: En skalar er et individuelt tal eller en størrelse, der har størrelse, men ingen retning tilknyttet.

Spørgsmål: Hvad er kvadratiske matricer?


Svar: Kvadratiske matricer er matricer med lige mange rækker og kolonner, f.eks. 2x2- eller 3x3-matricer.


Søge
AlegsaOnline.com - 2020 / 2025 - License CC3