Injektiv

I matematikken er en injektiv funktion en funktion f : A → B med følgende egenskab. For hvert element b i kodomænet B findes der højst ét element a i domænet A, således at f(a)=b.

Udtrykket injektion og de beslægtede udtryk surjektion og bijektion blev introduceret af Nicholas Bourbaki. I 1930'erne udgav han og en gruppe af andre matematikere en række bøger om moderne avanceret matematik.

En injektiv funktion kaldes ofte en 1-1-funktion. En 1-1 korrespondance er imidlertid en bijektiv funktion (både injektiv og surjektiv). Dette er forvirrende, så vær forsigtig.

Grundlæggende egenskaber

Formelt set:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} $f:A\rightarrow B$ er en injektiv funktion, hvis ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , a 1 ≠ a 2 ⇒ f ( a 1 ) ≠ f ( a 2 ) {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})} $\forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\Rightarrow \,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})$ eller tilsvarende

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} $f:A\rightarrow B$ er en injektiv funktion, hvis ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ⇒ a 1 = a 2 {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\,\Rightarrow \,\,\,a_{1}=a_{2}}} $\forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\Rightarrow \,\,a_{1}=a_{2}$

Elementet a {\displaystyle a} kaldes et forbillede af elementet b {\displaystyle b} $b$ , hvis f ( a ) = b {\displaystyle f(a)=b} $f(a)=b$ . Injektioner har et eller ingen forbilleder for hvert element b i B.

Kardinalitet

Kardinalitet er antallet af elementer i en mængde. Kardinaliteten af A={X,Y,Z,W} er 4. Vi skriver #A=4.

Hvis kodomænets kardinalitet er mindre end domænets kardinalitet, kan funktionen ikke være en injektion. (Der er f.eks. ingen måde at mappe 6 elementer til 5 elementer på uden en dublet).

Eksempler

Elementære funktioner

Lad f(x):ℝ→ℝ være en realværdifunktion y=f(x) for et realværdiargument x. (Det betyder, at både input og output er reelle tal).

Grafisk betydning: Funktionen f er en injektion, hvis hver vandret linje skærer grafen for f i højst ét punkt.
Algebraisk betydning: Funktionen f er en injektion, hvis f(x_o )=f(x₁ ) betyder x_o =x₁ .

Eksempel: Den lineære funktion af en skrå linje er 1-1. Det vil sige y=ax+b, hvor a≠0 er en indsprøjtning. (Det er også en surjektion og dermed en bijektion.)

Bevis: Lad x_o og x₁ være reelle tal. Antag, at linjen afbilder disse to x-værdier til den samme y-værdi. Det betyder, at a-x_o +b=a-x₁ +b. Subtraher b fra begge sider. Vi får a-x_o =a-x₁ . Divider nu begge sider med a (husk a≠0). Vi får x_o =x₁ . Vi har altså bevist den formelle definition og funktionen y=ax+b, hvor a≠0 er en injektion.

Eksempel: Den polynomiske funktion af tredje grad: f(x)=x³ er en injektion. Men polynomfunktionen af tredje grad: f(x)=x³ -3x er ikke en injektion.

Diskussion 1: Enhver vandret linje skærer grafen for

f(x)=x³ præcis én gang. (Det er også en surjektion.)

Diskussion 2. Enhver vandret linje mellem y=-2 og y=2 skærer grafen i tre punkter, så denne funktion er ikke en injektion. (Det er dog en surjektion.)

Eksempel: Den kvadratiske funktion f(x) = x² er ikke en injektion.

Drøftelse: Enhver vandret linje y=c hvor c>0 skærer grafen i to punkter. Så denne funktion er ikke en injektion. (Det er heller ikke en surjektion.)

Bemærk: Man kan gøre en ikke-injektiv funktion til en injektiv funktion ved at fjerne en del af domænet. Vi kalder dette at begrænse domænet. F.eks. begrænser man domænet for f(x)=x² til ikke-negative tal (positive tal og nul). Definer

f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R} } $f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R}$ hvor f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) = x 2 {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}} $f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}$

Denne funktion er nu en injektion. (Se også begrænsning af en funktion.)

Eksempel: Den eksponentielle funktion f(x) = 10^x er en injektion. (Det er dog ikke en surjektion.)

Drøftelse: Enhver vandret linje skærer grafen i højst ét punkt. De vandrette linjer y=c hvor c>0 skærer den i præcis ét punkt. De vandrette linjer y=c, hvor c≤0 ikke skærer grafen i noget punkt.

Bemærk: Det faktum, at en eksponentialfunktion er injektiv, kan bruges i beregninger.

a x 0 = a x 1 ⇒ x 0 = x 1 , a > 0 {\displaystyle a^{x_{0}}}=a^{x_{1}}}\,\,\Rightarrow \,\,\,x_{0}=x_{1},\,\,a>0} $a^{x_{0}}=a^{x_{1}}\,\,\Rightarrow \,\,x_{0}=x_{1},\,a>0$

Eksempel: 100 = 10 x - 3 ⇒ 2 = x - 3 ⇒ x = 5 {\displaystyle 100=10^{x-3}\,\,\,\Rightarrow \,\,\,2=x-3\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,x=5} $100=10^{x-3}\,\,\Rightarrow \,\,2=x-3\,\,\Rightarrow \,\,x=5$

Injektion: ingen vandret linje skærer mere end ét punkt i grafen

Injektion. f(x):ℝ→ℝ (og surjektion)

Ikke en injektion. f(x):ℝ→ℝ (er en surjektion)

Ikke en injektion. f(x):ℝ→ℝ (ikke en surjektion)

Injektion. f(x):ℝ→ℝ (ikke surjektion)

Injektion. f(x):(0,+∞)→ℝ (og surjektion)

Andre eksempler

Eksempel: Den logaritmiske funktion base 10 f(x):(0,+∞)→ℝ defineret ved f(x)=log(x) eller y=log₁₀ (x) er en injektion (og en surjektion). (Dette er den omvendte funktion af 10^x .)

Eksempel: Funktionen f:ℕ→ℕ, der omdanner alle naturlige tal n til 2n, er en injektion. Ethvert lige tal har præcis ét forbillede. Ethvert ulige tal har intet forbillede.

Relaterede sider

Spørgsmål og svar

Q: Hvad er en injektiv funktion i matematik?

A: En injektiv funktion er en funktion f: A → B med den egenskab, at distinkte elementer i domænet afbildes til distinkte elementer i kodomænet.

Q: Hvad er forholdet mellem elementer i domænet og kodomænet for en injektiv funktion?

A: For hvert element b i kodomænet B er der højst ét element a i domænet A, således at f(a)=b.

Spørgsmål: Hvem introducerede begreberne injektion, surjektion og bijektion?

A: Nicholas Bourbaki og en gruppe andre matematikere introducerede begreberne injektion, surjektion og bijektion.

Q: Hvad betyder en injektiv funktion?

A: En injektiv funktion betyder, at hvert element i domænet A afbildes til et unikt element i kodomænet B.

Q: Hvordan adskiller en injektiv funktion sig fra en 1-1 korrespondance?

A: En injektiv funktion kaldes ofte en 1-1-funktion (en-til-en), men adskiller sig fra en 1-1-korrespondance, som er en bijektiv funktion (både injektiv og surjektiv).

Q: Hvad er egenskaben ved en injektiv funktion?

A: Egenskaben ved en injektiv funktion er, at distinkte elementer i domænet afbildes til distinkte elementer i kodedomænet.

Q: Hvad er betydningen af injektive funktioner i matematik?

A: Injektive funktioner spiller en vigtig rolle i mange matematiske felter, herunder topologi, analyse og algebra, på grund af deres egenskab med at have distinkte elementer i domænet, der afbildes til distinkte elementer i kodedomænet.