Bijektiv

Grundlæggende egenskaber

Formelt set:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} er en bijektiv funktion, hvis ∀ b ∈ B {\displaystyle \forall b\in B} der er en unik a ∈ A {\displaystyle a\in A} sådan at f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. }

Elementet b {\displaystyle b} kaldes billedet af elementet a {\displaystyle a} .

• Den formelle definition betyder: Hvert element i kodomænet B er et billede af præcis ét element i domænet A.

Elementet a {\displaystyle a} kaldes et forbillede af elementet b {\displaystyle b} .

• Den formelle definition betyder: Hvert element i kodomænet B har præcis ét forbillede i domænet A.

Bemærk: Surjektion betyder mindst ét forsidebillede. Injektion betyder højst ét forbillede. Bijektion betyder altså præcis ét forbillede.

Kardinalitet

Kardinalitet er antallet af elementer i en mængde. Kardinaliteten af A={X,Y,Z,W} er 4. Vi skriver #A=4.

• Definition: To mængder A og B har samme kardinalitet, hvis der er en bijektion mellem mængderne. Så #A=#B betyder, at der er en bijektion fra A til B.

Bijektioner og inverse funktioner

• Bijektioner kan omvendes ved at vende pilene om. Den nye funktion kaldes den omvendte funktion.

Formelt set: Lad f : A → B være en bijektion. Den omvendte funktion g : B → A er defineret ved, at hvis f(a)=b, så er g(b)=a. (Se også omvendt funktion.)

• Den omvendte funktion af den omvendte funktion er den oprindelige funktion.
• En funktion har en omvendt funktion, hvis og kun hvis den er en bijektion.

Bemærk: Notationen for den inverse funktion af f er forvirrende. Nemlig,

  f - 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)} betegner den omvendte funktion af funktionen f, men x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}} betegner den reciprokke værdi af tallet x.

Eksempler

Elementære funktioner

Lad f(x):ℝ→ℝ være en realværdifunktion y=f(x) for et realværdiargument x. (Det betyder, at både input og output er tal.)

• Grafisk betydning: Funktionen f er en bijektion, hvis hver vandret linje skærer grafen for f i præcis ét punkt.
• Algebraisk betydning: Funktionen f er en bijektion, hvis vi for hvert reelt tal y_o kan finde mindst ét reelt tal x_o således at y_o =f(x_o ), og hvis f(x_o )=f(x₁ ) betyder x_o =x₁ .

Eksempel: Den lineære funktion af en skrå linje er en bijektion. Det vil sige y=ax+b, hvor a≠0 er en bijeksion.

Drøftelse: Enhver vandret linje skærer en skrå linje i præcis ét punkt (se surjektion og injektion for beviser). Billede 1.

Eksempel: Den polynomiske funktion af tredje grad: f(x)=x³ er en bijeksion. Billede 2 og billede 5 tynd gul kurve. Dens inverse er kubikrodsfunktionen f(x)= ∛x, og det er også en bijektion f(x):ℝ→ℝ. Billede 5: tyk grøn kurve.

Eksempel: Den kvadratiske funktion f(x) = x² er ikke en bijeksion (fra ℝ→ℝ). Billede 3. Det er ikke en surjektion. Det er ikke en injektion. Vi kan dog begrænse både dens domæne og kodomæne til mængden af ikke-negative tal (0,+∞) for at få en (inverterbar) bijeksion (se eksempler nedenfor).

• domænet
• funktionsmaskinen
• kodomænet

Eksempel: Lad os antage, at vores funktionsmaskine er f(x)=x².

• Denne maskine og domain=ℝ og codomain=ℝ er ikke en surjection og ikke en injection. Men,
• denne samme maskine og domæne=[0,+∞) og kodomæne=[0,+∞) er både en surjektion og en injektion og dermed en bijektion.

Bijeksioner og deres omvendinger

Lad f(x):A→B, hvor A og B er delmængder af ℝ.

• Lad os antage, at f ikke er en bijeksion. For ethvert x, hvor den afledte af f eksisterer og ikke er nul, er der et nabolag til x, hvor vi kan begrænse domænet og kodomænet for f til at være en halvdel.
• Graferne for omvendte funktioner er symmetriske i forhold til linjen y=x. (Se også omvendt funktion.)

Eksempel: Den kvadratiske funktion defineret på det begrænsede domæne og kodomæne [0,+∞)

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\,\rightarrow \,\,\,[0,+\infty )} } defineret ved f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}}

er en bijektion. Billede 6: tynd gul kurve.

Eksempel: Firkantrodsfunktionen defineret på det begrænsede område og kodomænet [0,+∞)

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\,\rightarrow \,\,\,[0,+\infty )} } defineret ved f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}

er den bijektering, der er defineret som den omvendte funktion af den kvadratiske funktion: x² . Billede 6: tyk grøn kurve.

f ( x ) : R → ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):\mathbf {R} \,\,\,\rightarrow \,\,\,(0,+\infty )} } defineret ved f ( x ) = a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=a^{x}\,,\,\,\,a>1}

er en bijektion. Billede 4: tynd gul kurve (a=10).

Eksempel: Den logaritmiske funktion base a defineret på det begrænsede område (0,+∞) og kodemålet ℝ

f ( x ) : ( 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f(x):(0,+\infty )\,\,\,\rightarrow \,\,\,\,\mathbf {R} } } defineret ved f ( x ) = log a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=\log _{a}x\,,\,\,\,\,a>1}

er den bijektering, der er defineret som den omvendte funktion af den eksponentielle funktion: a^x . Billede 4: tyk grøn kurve (a=10).

Relaterede sider

• Funktion (matematik)
• Surjektiv funktion
• Injektiv funktion
• Invers funktion