Surjektiv

I matematik er en surjektiv funktion eller en onto-funktion en funktion f : A → B med følgende egenskab. For hvert element b i kodomænet B findes der mindst ét element a i domænet A, således at f(a)=b. Dette betyder, at f's område og kodomæne er det samme sæt.

Udtrykket surjektion og de beslægtede udtryk injektion og bijektion blev introduceret af en gruppe matematikere, der kaldte sig Nicholas Bourbaki. I 1930'erne udgav denne gruppe af matematikere en række bøger om moderne avanceret matematik. Det franske præfiks sur betyder over eller på og blev valgt, da en surjektiv funktion kortlægger sit domæne på sit kodomæne.

Grundlæggende egenskaber

Formelt set:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} er $f:A\rightarrow B$ en surjektiv funktion, hvis ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A {\displaystyle \forall b\i B\,\,\,\exist a\i A} sådan $\forall b\in B\,\,\exists a\in A$ at f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. } $f(a)=b\,.$

Elementet b {\displaystyle b} $b$ kaldes billedet af elementet a {\displaystyle a} .

Den formelle definition betyder: Hvert element i kodomænet B er et billede af mindst ét element i domænet A.

Elementet a {\displaystyle a} kaldes et forbillede af elementet b {\displaystyle b} $b$ .

Den formelle definition betyder: Hvert element i kodomænet B har mindst ét forbillede i domænet A.

Et forbillede behøver ikke at være unikt. I det øverste billede er både {X} og {Y} forbilleder af elementet {1}. Det er kun vigtigt, at der er mindst ét forbillede. (Se også: Injektiv funktion, Bijektiv funktion)

Eksempler

Elementære funktioner

Lad f(x):ℝ→ℝ være en realværdifunktion y=f(x) for et realværdiargument x. (Det betyder, at både input og output er tal.)

Grafisk betydning: Funktionen f er en surjektion, hvis enhver vandret linje skærer grafen for f i mindst ét punkt.
Analytisk betydning: Funktionen f er en surjektion, hvis vi for hvert reelt tal y_o kan finde mindst ét reelt tal x_o, således at y=f_o(x_o).

At finde et forbillede x_o til et givet y_o svarer til begge spørgsmål:

Har ligningen f(x)-y=0_o en løsning? eller
Har funktionen f(x)-y_o en rod?

I matematikken kan vi kun finde nøjagtige (analytiske) rødder af polynomier af første, anden (og tredje) grad. Vi finder rødder af alle andre funktioner tilnærmelsesvis (numerisk). Dette betyder, at et formelt bevis for surjektivitet sjældent er direkte. Derfor er diskussionerne nedenfor uformelle.

Eksempel: Den lineære funktion af en skrå linje er på. Det vil sige, y=ax+b, hvor a≠0 er en surjektion. (Det er også en injektion og dermed en bijektion.)

Bevis: Indsæt y_o i funktionen og løs for x. Da a≠0 får vi x= (y-b_o)/_a. Det betyder, at x=_o(y-b_o)/_a er et forbillede af y_o. Dette beviser, at funktionen y=ax+b, hvor a≠0 er en surjektion. (Da der er præcis ét forbillede, er denne funktion også en injektion).

Praktisk eksempel: y= -2x+4. Hvad er forbilledet af y=2? Løsning: Her er a= -2, dvs. a≠0, og spørgsmålet er: For hvilket x er y=2? Vi indsætter y=2 i funktionen. Vi får x=1, dvs. y(1)=2. Så svaret er: x=1 er forbilledet af y=2.

Eksempel: Det kubiske polynomium (af tredje grad) f(x)=x-3x³ er en surjektion.

Drøftelse: Den kubiske ligning x-3x-y=0³_o har reelle koefficienter (a=1₃, a=0₂, a=-3₁, a=-y_0o). Enhver sådan kubisk ligning har mindst én reel rod. Da polynomiets domæne er ℝ, betyder det, at der er mindst ét forbillede x_o i domænet. Det vil sige, at (x₀)³-3x-y=0_0o. Funktionen er altså en surjektion. (Denne funktion er dog ikke en injektion. F.eks. har y=2_o 2 forbilleder: x=-1 og x=2. Faktisk har ethvert y, -2≤y≤2 mindst 2 forbilleder).

Eksempel: Den kvadratiske funktion f(x) = x² er ikke en surjektion. Der findes ikke et x, så x ²= -1. Området for x² er [0,+∞) , dvs. mængden af ikke-negative tal. (Denne funktion er heller ikke en injektion.)

Bemærk: Man kan gøre en ikke-surjektiv funktion til en surjektion ved at begrænse dens kodomæne til elementer af dens område. F.eks. er den nye funktion f_N(x):ℝ → [0,+∞) hvor f_N(x) = x² er en surjektiv funktion. (Dette er ikke det samme som restriktion af en funktion, der begrænser domænet!)

Eksempel: Den eksponentielle funktion f(x) = 10^x er ikke en surjektion. Området for er10^x (0,+∞), dvs. mængden af positive tal. (Denne funktion er en injektion.)

Surjection. f(x):ℝ→ℝ (og injektion)

Surjection. f(x):ℝ→ℝ (ikke en injektion)

Ikke en surjektion. f(x):ℝ→ℝ (heller ikke en injektion)

Ikke en surjektion. f(x):ℝ→ℝ (men er en injektion)

Surjection. f(x):(0,+∞)→ℝ (og injektion)

Surjektion. z:ℝ²→ℝ, z=y. (Billedet viser, at forbilledet af z=2 er linjen y=2).

Andre eksempler med reelle funktioner

Eksempel: Den logaritmiske funktion base 10 f(x):(0,+∞)→ℝ defineret ved f(x)=log(x) eller y=log₁₀(x) er en surjektion (og en injektion). (Dette er den omvendte funktion af 10^x.)

Projektionen af et kartesisk produkt A × B på en af dets faktorer er en surjektion.

Eksempel: Funktionen f((x,y)):ℝ²→ℝ defineret ved z=y er en surjektion. Dens graf er et plan i det 3-dimensionelle rum. Forbilledet af z_o er linjen y=z_o i xy-planet. 0

I 3D-spil projiceres det 3-dimensionelle rum på en 2-dimensionel skærm med en surjektion.

Relaterede sider

Spørgsmål og svar

Q: Hvad er en surjektiv funktion i matematik?

A: En surjektiv funktion i matematik er en funktion f: A → B med den egenskab, at for hvert element b i kodomænet B er der mindst et element a i domænet A, således at f(a)=b.

Q: Hvad er betydningen af en surjektiv funktion i matematik?

A: En surjektiv funktion sikrer, at intet element i kodomænet er uafbildet, og at området og kodomænet for f er den samme mængde.

Q: Hvad er oprindelsen til begrebet surjektion?

A: Begrebet surjektion blev introduceret af en gruppe matematikere ved navn Nicholas Bourbaki.

Q: Hvad er betydningen af det franske præfiks sur i surjektiv?

A: Det franske præfiks sur betyder over eller på.

Q: Hvorfor blev udtrykket surjektiv valgt til denne type funktion?

A: Udtrykket surjektiv blev valgt til denne type funktion, fordi en surjektiv funktion afbilder sit domæne på sit kodedomæne.

Q: Hvem udgav en række bøger om moderne avanceret matematik i 1930'erne?

A: Gruppen af matematikere ved navn Nicholas Bourbaki udgav en række bøger om moderne avanceret matematik i 1930'erne.

Q: Hvad er injektion og bijektion i matematik?

A: Injektion og bijektion er beslægtede begreber med surjektion i matematik. En injektionsfunktion sikrer, at to elementer i domænet ikke mapper til det samme element i kodedomænet. En bijektionsfunktion er både surjektiv og injektiv.