Surjektiv funktion — definition, egenskaber og eksempler
Lær hvad en surjektiv (onto) funktion er: definition, nøgleegenskaber og illustrative eksempler med klare forklaringer og matematiske noter.
I matematik er en surjektiv funktion eller en onto‑funktion en funktion f : A → B med følgende egenskab: for hvert element b i kodomænet B findes der mindst ét element a i domænet A, således at f(a) = b. Formelt kan man skrive: f er surjektiv hvis og kun hvis ∀b ∈ B ∃a ∈ A med f(a) = b. Dette betyder, at f's område (billedet) er hele kodomænet B.
Egenskaber
- Område = kodomæne: For en surjektiv funktion er billedet f(A) = B.
- Sammensætning: Hvis f: A → B og g: B → C er surjektive, så er g ∘ f surjektiv. Omvendt, hvis g ∘ f er surjektiv, så må g være surjektiv (ellers kunne ikke alle elementer i C nås).
- Ret- og venstreinvers: Hvis der findes en funktion r: B → A med f ∘ r = idB, kaldes r en højre‑invers (right inverse) for f. Eksistensen af en højre‑invers medfører, at f er surjektiv. Omvendt kan man ved valg af ét præbillede for hvert b konstruere en højre‑invers — dette kræver i fuld generalitet valgaxiomet (Axiom of Choice) for upræciserede store mængder.
- Forhold til injektion og bijektion: En funktion, der både er injektiv og surjektiv, er en bijektion. For funktioner mellem endelige mængder er surjektivitet ækvivalent med, at |A| ≥ |B| og at billedet dækker alle elementer i B; hvis |A| = |B|, så er surjektiv ⇔ injektiv ⇔ bijektiv.
- Forbilleder (preimages): For enhver delmængde S ⊆ B er f−1(S) ikke tom for alle ikke‑tomme S, når S indeholder elementer fra kodomænet — mere præcist: for hvert enkelt b ∈ B er f−1({b}) ≠ ∅.
Eksempler
- Polynomier: Funktionen f: ℝ → ℝ, f(x) = x3 er surjektiv, fordi enhver reelt tal y har et reelt x med x3 = y. Derimod er g(x) = x2 ikke surjektiv som funktion ℝ → ℝ, men g: ℝ → [0,∞) er surjektiv.
- Lineære afbildninger: For en lineær transformation mellem vektorrum er kortlægningen surjektiv, hvis billedet har samme dimension som kodomænet (rangkriteriet: rang = dimension af målrummet).
- Endelige mængder: Antallet af forskellige surjektive funktioner fra en mængde med n elementer til en mængde med k elementer (hvor k ≤ n) er givet ved k! · S(n,k), hvor S(n,k) er Stirlingtallet af anden slags (antal måder at opdele n mærkede objekter i k ikke‑tomme uordnede blokke) gange permuteringer af blokke.
- En simpel konkret funktion: Lad A = {1,2,3} og B = {a,b}. En surjektion f: A → B kunne være f(1)=a, f(2)=a, f(3)=b — begge elementer i B har altså mindst ét præbillede.
Terminologi og historisk note
Udtrykket surjektion og de beslægtede udtryk injektion og bijektion blev introduceret af en gruppe matematikere, der kaldte sig Nicholas Bourbaki. I 1930'erne udgav denne gruppe af matematikere en række bøger om moderne avanceret matematik. Det franske præfiks sur betyder over eller på og blev valgt, da en surjektiv funktion kortlægger sit domæne på sit kodomæne. I dag bruges også det engelske udtryk "onto" som synonym for surjektiv.
Vigtige bemærkninger
- At en funktion er surjektiv afhænger af kodomænet. Den samme regelmæssige lovmæssighed f(x) kan være surjektiv til ét kodomæne, men ikke til et større. F.eks. er x2 surjektiv som funktion ℝ → [0,∞) men ikke som funktion ℝ → ℝ.
- Surjektivitet er en central egenskab i mange dele af matematikken, bl.a. i algebra (homomorfier), topologi (kontinuerte surjektioner) og kombinatorik.
Grundlæggende egenskaber
Formelt set:
f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} er
en surjektiv funktion, hvis ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A {\displaystyle \forall b\i B\,\,\,\exist a\i A} sådan
at f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. } 
Elementet b {\displaystyle b}
kaldes billedet af elementet a {\displaystyle a}
.
- Den formelle definition betyder: Hvert element i kodomænet B er et billede af mindst ét element i domænet A.
Elementet a {\displaystyle a} kaldes et forbillede af elementet b {\displaystyle b} .
- Den formelle definition betyder: Hvert element i kodomænet B har mindst ét forbillede i domænet A.
Et forbillede behøver ikke at være unikt. I det øverste billede er både {X} og {Y} forbilleder af elementet {1}. Det er kun vigtigt, at der er mindst ét forbillede. (Se også: Injektiv funktion, Bijektiv funktion)
Eksempler
Elementære funktioner
Lad f(x):ℝ→ℝ være en realværdifunktion y=f(x) for et realværdiargument x. (Det betyder, at både input og output er tal.)
- Grafisk betydning: Funktionen f er en surjektion, hvis enhver vandret linje skærer grafen for f i mindst ét punkt.
- Analytisk betydning: Funktionen f er en surjektion, hvis vi for hvert reelt tal yo kan finde mindst ét reelt tal xo, således at y=fo(xo).
At finde et forbillede xo til et givet yo svarer til begge spørgsmål:
- Har ligningen f(x)-y=0o en løsning? eller
- Har funktionen f(x)-yo en rod?
I matematikken kan vi kun finde nøjagtige (analytiske) rødder af polynomier af første, anden (og tredje) grad. Vi finder rødder af alle andre funktioner tilnærmelsesvis (numerisk). Dette betyder, at et formelt bevis for surjektivitet sjældent er direkte. Derfor er diskussionerne nedenfor uformelle.
Eksempel: Den lineære funktion af en skrå linje er på. Det vil sige, y=ax+b, hvor a≠0 er en surjektion. (Det er også en injektion og dermed en bijektion.)
Bevis: Indsæt yo i funktionen og løs for x. Da a≠0 får vi x= (y-bo)/a. Det betyder, at x=o(y-bo)/a er et forbillede af yo. Dette beviser, at funktionen y=ax+b, hvor a≠0 er en surjektion. (Da der er præcis ét forbillede, er denne funktion også en injektion).
Praktisk eksempel: y= -2x+4. Hvad er forbilledet af y=2? Løsning: Her er a= -2, dvs. a≠0, og spørgsmålet er: For hvilket x er y=2? Vi indsætter y=2 i funktionen. Vi får x=1, dvs. y(1)=2. Så svaret er: x=1 er forbilledet af y=2.
Eksempel: Det kubiske polynomium (af tredje grad) f(x)=x-3x3 er en surjektion.
Drøftelse: Den kubiske ligning x-3x-y=03o har reelle koefficienter (a=13, a=02, a=-31, a=-y0o). Enhver sådan kubisk ligning har mindst én reel rod. Da polynomiets domæne er ℝ, betyder det, at der er mindst ét forbillede xo i domænet. Det vil sige, at (x0)3-3x-y=00o. Funktionen er altså en surjektion. (Denne funktion er dog ikke en injektion. F.eks. har y=2o 2 forbilleder: x=-1 og x=2. Faktisk har ethvert y, -2≤y≤2 mindst 2 forbilleder).
Eksempel: Den kvadratiske funktion f(x) = x2 er ikke en surjektion. Der findes ikke et x, så x 2= -1. Området for x² er [0,+∞) , dvs. mængden af ikke-negative tal. (Denne funktion er heller ikke en injektion.)
Bemærk: Man kan gøre en ikke-surjektiv funktion til en surjektion ved at begrænse dens kodomæne til elementer af dens område. F.eks. er den nye funktion fN(x):ℝ → [0,+∞) hvor fN(x) = x2 er en surjektiv funktion. (Dette er ikke det samme som restriktion af en funktion, der begrænser domænet!)
Eksempel: Den eksponentielle funktion f(x) = 10x er ikke en surjektion. Området for er10x (0,+∞), dvs. mængden af positive tal. (Denne funktion er en injektion.)
|
Surjection. f(x):ℝ→ℝ (og injektion) |
Surjection. f(x):ℝ→ℝ (ikke en injektion) |
Ikke en surjektion. f(x):ℝ→ℝ (heller ikke en injektion) |
|
Ikke en surjektion. f(x):ℝ→ℝ (men er en injektion) |
Surjection. f(x):(0,+∞)→ℝ (og injektion) |
Surjektion. z:ℝ²→ℝ, z=y. (Billedet viser, at forbilledet af z=2 er linjen y=2). |
Andre eksempler med reelle funktioner
Eksempel: Den logaritmiske funktion base 10 f(x):(0,+∞)→ℝ defineret ved f(x)=log(x) eller y=log10(x) er en surjektion (og en injektion). (Dette er den omvendte funktion af 10x.)
- Projektionen af et kartesisk produkt A × B på en af dets faktorer er en surjektion.
Eksempel: Funktionen f((x,y)):ℝ²→ℝ defineret ved z=y er en surjektion. Dens graf er et plan i det 3-dimensionelle rum. Forbilledet af zo er linjen y=zo i xy-planet. 0
- I 3D-spil projiceres det 3-dimensionelle rum på en 2-dimensionel skærm med en surjektion.
Relaterede sider
Spørgsmål og svar
Q: Hvad er en surjektiv funktion i matematik?
A: En surjektiv funktion i matematik er en funktion f: A → B med den egenskab, at for hvert element b i kodomænet B er der mindst et element a i domænet A, således at f(a)=b.
Q: Hvad er betydningen af en surjektiv funktion i matematik?
A: En surjektiv funktion sikrer, at intet element i kodomænet er uafbildet, og at området og kodomænet for f er den samme mængde.
Q: Hvad er oprindelsen til begrebet surjektion?
A: Begrebet surjektion blev introduceret af en gruppe matematikere ved navn Nicholas Bourbaki.
Q: Hvad er betydningen af det franske præfiks sur i surjektiv?
A: Det franske præfiks sur betyder over eller på.
Q: Hvorfor blev udtrykket surjektiv valgt til denne type funktion?
A: Udtrykket surjektiv blev valgt til denne type funktion, fordi en surjektiv funktion afbilder sit domæne på sit kodedomæne.
Q: Hvem udgav en række bøger om moderne avanceret matematik i 1930'erne?
A: Gruppen af matematikere ved navn Nicholas Bourbaki udgav en række bøger om moderne avanceret matematik i 1930'erne.
Q: Hvad er injektion og bijektion i matematik?
A: Injektion og bijektion er beslægtede begreber med surjektion i matematik. En injektionsfunktion sikrer, at to elementer i domænet ikke mapper til det samme element i kodedomænet. En bijektionsfunktion er både surjektiv og injektiv.
Søge