I matematik er en surjektiv funktion eller en onto‑funktion en funktion f : A → B med følgende egenskab: for hvert element b i kodomænet B findes der mindst ét element a i domænet A, således at f(a) = b. Formelt kan man skrive: f er surjektiv hvis og kun hvis ∀b ∈ B ∃a ∈ A med f(a) = b. Dette betyder, at f's område (billedet) er hele kodomænet B.

Egenskaber

  • Område = kodomæne: For en surjektiv funktion er billedet f(A) = B.
  • Sammensætning: Hvis f: A → B og g: B → C er surjektive, så er g ∘ f surjektiv. Omvendt, hvis g ∘ f er surjektiv, så må g være surjektiv (ellers kunne ikke alle elementer i C nås).
  • Ret- og venstreinvers: Hvis der findes en funktion r: B → A med f ∘ r = idB, kaldes r en højre‑invers (right inverse) for f. Eksistensen af en højre‑invers medfører, at f er surjektiv. Omvendt kan man ved valg af ét præbillede for hvert b konstruere en højre‑invers — dette kræver i fuld generalitet valgaxiomet (Axiom of Choice) for upræciserede store mængder.
  • Forhold til injektion og bijektion: En funktion, der både er injektiv og surjektiv, er en bijektion. For funktioner mellem endelige mængder er surjektivitet ækvivalent med, at |A| ≥ |B| og at billedet dækker alle elementer i B; hvis |A| = |B|, så er surjektiv ⇔ injektiv ⇔ bijektiv.
  • Forbilleder (preimages): For enhver delmængde S ⊆ B er f−1(S) ikke tom for alle ikke‑tomme S, når S indeholder elementer fra kodomænet — mere præcist: for hvert enkelt b ∈ B er f−1({b}) ≠ ∅.

Eksempler

  • Polynomier: Funktionen f: ℝ → ℝ, f(x) = x3 er surjektiv, fordi enhver reelt tal y har et reelt x med x3 = y. Derimod er g(x) = x2 ikke surjektiv som funktion ℝ → ℝ, men g: ℝ → [0,∞) er surjektiv.
  • Lineære afbildninger: For en lineær transformation mellem vektorrum er kortlægningen surjektiv, hvis billedet har samme dimension som kodomænet (rangkriteriet: rang = dimension af målrummet).
  • Endelige mængder: Antallet af forskellige surjektive funktioner fra en mængde med n elementer til en mængde med k elementer (hvor k ≤ n) er givet ved k! · S(n,k), hvor S(n,k) er Stirlingtallet af anden slags (antal måder at opdele n mærkede objekter i k ikke‑tomme uordnede blokke) gange permuteringer af blokke.
  • En simpel konkret funktion: Lad A = {1,2,3} og B = {a,b}. En surjektion f: A → B kunne være f(1)=a, f(2)=a, f(3)=b — begge elementer i B har altså mindst ét præbillede.

Terminologi og historisk note

Udtrykket surjektion og de beslægtede udtryk injektion og bijektion blev introduceret af en gruppe matematikere, der kaldte sig Nicholas Bourbaki. I 1930'erne udgav denne gruppe af matematikere en række bøger om moderne avanceret matematik. Det franske præfiks sur betyder over eller på og blev valgt, da en surjektiv funktion kortlægger sit domæne på sit kodomæne. I dag bruges også det engelske udtryk "onto" som synonym for surjektiv.

Vigtige bemærkninger

  • At en funktion er surjektiv afhænger af kodomænet. Den samme regelmæssige lovmæssighed f(x) kan være surjektiv til ét kodomæne, men ikke til et større. F.eks. er x2 surjektiv som funktion ℝ → [0,∞) men ikke som funktion ℝ → ℝ.
  • Surjektivitet er en central egenskab i mange dele af matematikken, bl.a. i algebra (homomorfier), topologi (kontinuerte surjektioner) og kombinatorik.