Euklidisk geometri | et system i matematikken
Euklidisk geometri er et system inden for matematikken. Folk tror, at Euklid var den første, der beskrev det, og derfor bærer det hans navn. Han beskrev det første gang i sin lærebog Elementer. Bogen var den første systematiske diskussion af geometri, som den var kendt på det tidspunkt. I bogen antager Euklid først nogle få aksiomer. Disse danner grundlaget for det senere arbejde. De er intuitivt klare. Med udgangspunkt i disse aksiomer kan andre sætninger bevises.
I det 19. århundrede blev der fundet andre former for geometri. Disse er ikke-euklidisk geometri. Carl Friedrich Gauss, János Bolyai og Nikolai Ivanovich Lobachevsky var nogle af de personer, der udviklede sådanne geometrier. Meget ofte bruger disse ikke parallelpostulatet, men de andre fire aksiomer.
Aksiomerne
Euklid tager udgangspunkt i følgende antagelser. Disse er aksiomer og behøver ikke at blive bevist.
- To punkter kan forbindes af en ret linje
- Ethvert retlinjestykke kan forlænges til uendeligt, så det bliver en ret linje.
- Med et retlinjestykke kan man tegne en cirkel, så det ene endepunkt af segmentet er cirklens centrum, og det andet endepunkt ligger på cirklen. Linjestykket bliver cirklens radius.
- Alle rette vinkler er kongruente
- Parallelt postulat. Hvis to linjer skærer en tredje på en sådan måde, at summen af de indre vinkler på den ene side er mindre end to rette vinkler, så må de to linjer uundgåeligt skære hinanden på den side, hvis de forlænges tilstrækkeligt langt.
Status
Euklidisk geometri er en teori af første orden. Med den kan udsagn som For alle trekanter... fremsættes og bevises. Udsagn som For alle sæt af trekanter ... ligger uden for teoriens anvendelsesområde.
Spørgsmål og svar
Spørgsmål: Hvad er euklidisk geometri?
A: Euklidisk geometri er et system inden for matematikken, som først blev beskrevet af Euklid i hans lærebog Elementer. Det består af nogle få aksiomer, som danner grundlaget for senere arbejde, og andre sætninger kan bevises ud fra disse aksiomer.
Spørgsmål: Hvem skrev Elements?
A: Euklid skrev Elementer, som var den første systematiske diskussion af geometri, som den var kendt på det tidspunkt.
Spørgsmål: Hvad er nogle eksempler på ikke-euklidiske geometrier?
A: Ikke-euklidiske geometrier blev udviklet af Carl Friedrich Gauss, Jבnos Bolyai og Nikolai Ivanovich Lobachevsky i det 19. århundrede. Disse bruger ofte ikke parallelpostulatet, men er snarere afhængige af de fire andre aksiomer.
Spørgsmål: Hvad diskuterer Elements?
A: Elements diskuterer geometri, som den var kendt på det tidspunkt, og giver en systematisk diskussion af den.
Spørgsmål: Hvor mange aksiomer har den euklidiske geometri?
A: Den euklidiske geometri har nogle få aksiomer, som danner grundlaget for senere arbejde.
Spørgsmål: Hvem udviklede ikke-euklidiske geometrier?
Svar: Ikke-euklidiske geometrier blev udviklet af Carl Friedrich Gauss, Jבnos Bolyai og Nikolai Ivanovich Lobachevsky i det 19. århundrede.
Spørgsmål: Bruger ikke-euklidisk geometri alle fem aksiomer eller kun fire?
Svar: Ikke-euklidisk geometri anvender ofte ikke parallelpostulatet, men er i stedet afhængig af blot fire af de fem aksiomer.
