Euklidisk geometri: definition, aksiomer og historisk overblik

Euklidisk geometri: klar definition, grundlæggende aksiomer og historisk overblik fra Euklid til ikke-euklidiske gennembrud.

Euklidisk geometri er et system inden for matematikken. Det handler om egenskaber og relationer mellem grundlæggende figurer som punkter, linjer, flader og vinkler, samt begreber som afstand, areal og volumen. Folk tror, at Euklid var den første, der beskrev det, og derfor bærer det hans navn. Han beskrev det første gang i sin lærebog Elementer. Bogen var den første systematiske diskussion af geometri, som den var kendt på det tidspunkt. I bogen antager Euklid først nogle få aksiomer. Disse danner grundlaget for det senere arbejde. De er intuitivt klare. Med udgangspunkt i disse aksiomer kan andre sætninger bevises.

På et mere praktisk plan beskriver euklidisk geometri den velkendte, "flade" geometri i det daglige: linjer opfører sig som rette streger, vinkler addere normalt, og afstande måles efter det velkendte Pythagoræiske princip i rette trekanter. Der skelnes traditionelt mellem:

• plan euklidisk geometri (to dimensioner),
• rumlig euklidisk geometri (tre dimensioner),
• og generaliseringer til flere dimensioner ved hjælp af vektorer og indre produkt (det euklidiske rum R^n).

Aksiomer og postulater

Det euklidiske system bygger på en lille mængde antagelser. Euklids egne formuleringer kaldes ofte postulat(er). De fem klassiske postulater kan gengives i moderne, pædagogisk form som:

• 1) Et punkt kan forbindes med et andet punkt ved en ret linje.
• 2) En endelig linjestykke kan forlænges ubegrænset i begge retninger.
• 3) Med ethvert punkt som centrum og enhver given længde som radius kan man beskrive en cirkel.
• 4) Alle rette vinkler er lige store.
• 5) (Parallelpostulatet) Hvis en linje skærer to linjer sådan, at de indre vinkler på samme side har sum mindre end to rette vinkler, så vil de to linjer, når de forlænges, mødes på den side.

Parallelpostulatet (postulat 5) er særligt vigtigt og historisk problematisk, fordi det virker mindre intuitivt "lokalt" end de andre og har en vanskeligere stilling i bevisførelse. I det 19. århundrede blev det klart, at parallelpostulatet er uafhængigt af Euklids øvrige aksiomer: man kan opbygge konsistente geometrier, hvor postulat 5 ikke gælder.

Ikke-euklidiske geometrier og videre udvikling

I det 19. århundrede blev der fundet andre former for geometri. Disse er ikke-euklidisk geometri. Carl Friedrich Gauss, János Bolyai og Nikolai Ivanovich Lobachevsky var nogle af de personer, der udviklede sådanne geometrier. Meget ofte bruger disse ikke parallelpostulatet, men de andre fire aksiomer.

Der findes især to hovedgrene af ikke-euklidisk geometri:

• Hyperbolsk geometri (Lobachevskij–Bolyai-type), hvor gennem et punkt udenfor en given linje kan trækkes to forskellige parallelle til linjen. Her er vinkelsummen i en trekant mindre end 180°.
• Elliptisk eller sfærisk geometri, hvor der slet ikke findes parallelle linjer (eksempel: storcirkler på en kugle). I denne geometri er vinkelsummen i en trekant større end 180°.

Disse opdagelser viste, at man ikke kan bevise parallelpostulatet ud fra de andre euklidiske aksiomer; i stedet førte arbejdet til en skarpere forståelse af hvad der menes med 'axiomatisk grundlag'. Senere, i begyndelsen af 1900-tallet, formaliserede David Hilbert geometriens aksiomer på en strengere måde for at undgå uklarheder i Euklids oprindelige formuleringer.

Metoder og anvendelser

Der er to hovedtilgange til geometri:

• Syntetisk geometri, som følger Euklids måde: beviser baseret på aksiomer og rene konstruktioner (linjer, cirkler osv.).
• Analytisk geometri, som introducerer koordinater (Cartesian koordinatsystem) og beskriver figurer med ligninger — dette gør det nemt at beregne afstande, vinkler og arealer ved hjælp af algebra og vektorer.

Euklidisk geometri er grundlaget for mange praktiske fagområder: konstruktionstegning, ingeniørarbejde, arkitektur, kortlægning, computergrafik og robotnavigation. Inden for matematisk fysik er ideerne om euklidisk rum vigtige, selvom moderne teorier (f.eks. relativitetsteorien) arbejder med ikke-euklidiske rummodeller som Riemannsk geometri.

Historisk betydning

Euklid's Elementer har haft enorm indflydelse gennem årtusinder som lærebog og reference for logisk opbygning af matematik. Senere udviklinger som 19. århundredes ikke-euklidiske opdagelser, Descartes' analytiske geometri og Hilberts formalisering har udvidet og præciseret geometrien. Resultatet er et rigt felt, hvor man både kan arbejde med intuitive, visuelle beviser og med strenge, aksimatiske eller algebraiske metoder.

Konklusion: Euklidisk geometri er en fundamentalt vigtig del af matematikken: et axiomatisk system der beskriver rumlige forhold i flade og tredimensionelle omgivelser, som samtidig har været udgangspunktet for dybere undersøgelser af, hvad et geometrisk rum kan være, og for udviklingen af moderne matematiske og fysiske teorier.

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er euklidisk geometri?

Spørgsmål: Hvem skrev Elements?

Spørgsmål: Hvad er nogle eksempler på ikke-euklidiske geometrier?

Spørgsmål: Hvad diskuterer Elements?

Spørgsmål: Hvor mange aksiomer har den euklidiske geometri?

Spørgsmål: Hvem udviklede ikke-euklidiske geometrier?

Spørgsmål: Bruger ikke-euklidisk geometri alle fem aksiomer eller kun fire?

Søg efter bogstav