I geometri siger man, at to figurer eller genstande er kongruente, hvis de har samme form og størrelse, dvs. de kan lægges oven på hinanden, så de falder helt sammen. Det gælder også, hvis den ene er et spejlbillede af den anden — spejling er en tilladt bevægelse under kongruens.
Mere formelt kaldes to punktmængder kongruente, hvis og kun hvis den ene kan omdannes til den anden ved en isometri. Ved isometrier anvendes stive bevægelser, det vil sige bevægelser, som bevarer afstande og vinkler (ingen skalering).
Hvilke bevægelser er tilladt?
De stive bevægelser omfatter:
- translationer (parallelforskydning),
- rotationer (drejning omkring et punkt),
- spejlinger (refleksioner) i en linje eller et plan,
- glidningsspejlinger (kombination af spejling og translation).
Ved en isometri må man altså flytte, rotere og/eller spejle en figur, men ikke ændre dens størrelse eller form.
Trekantskongruens og andre kriterier
Trekantkongruens er et centralt eksempel i undervisning i geometri. For trekanter findes flere velkendte kongruenskriterier, som gør det muligt at afgøre kongruens uden at flytte figurerne fysisk:
- SSS (Side–Side–Side): Hvis alle tre sider i én trekant er parvis lige lange med siderne i en anden trekant, er trekanterne kongruente.
- SAS (Side–Vinkel–Side): Hvis to sider og den indskårne vinkel i én trekant svarer nøjagtigt til to sider og den indskårne vinkel i en anden trekant, er trekanterne kongruente.
- ASA (Vinkel–Side–Vinkel): Hvis to vinkler og den mellemliggende side i én trekant svarer til to vinkler og den mellemliggende side i en anden trekant, er trekanterne kongruente.
- AAS (Vinkel–Vinkel–Side): To vinkler og en ikke-mellemliggende side kan også sikre kongruens.
- RHS (Ret vinkel–Hypotenuse–Side): For højrevinklede trekanter: hvis hypotenusen og én katete i én trekant svarer til hypotenusen og den tilsvarende katete i en anden, er trekanterne kongruente.
Kongruens for polygoner og legemer
To polygoner er kongruente, når der findes en isometri, som sender det ene polygons hjørner på det andet polygons hjørner, så alle tilsvarende sider og vinkler er lige store. Det gælder for både regulære og ikke-regulære polygoner. Eksempelvis er to regulære polygoner med samme antal sider og samme sidelængde kongruente.
Begrebet kan udvides til tredimensionale legemer: to polyedre eller andre rumlige figurer er kongruente, hvis man ved en rumlig isometri (rig bevægelse i rummet) kan få dem til at falde sammen — altså samme form og størrelse i rummet.
Om man fysisk kan folde en regulær polygon på midten og få to halvdele til at ligge sammen er et praktisk eksempel på spejlsymmetri og kongruens af de to halvdele.
Notation, praktiske metoder og bemærkninger
Kongruens noteres ofte med symbolet "≅". For eksempel skriver man ABC ≅ A'B'C' for at vise, at trekanten ABC er kongruent med trekanten A'B'C'.
Praktiske metoder til at kontrollere kongruens omfatter at måle sidelængder og vinkler, lægge figurerne oven på hinanden (f.eks. klippe dem ud af papir) eller bruge geometriske konstruktioner og de nævnte kongruenskriterier.
Det er vigtigt at skelne mellem kongruens og ens (similaritet). To figurer er ens (ligeformede) hvis de har samme form, men ikke nødvendigvis samme størrelse — altså kan den ene være en forstørrelse eller formindskelse af den anden. Ved kongruens må ingen skalering forekomme.
Sammenfattende: Kongruens i geometri handler om, at figurer har identisk form og størrelse og kan bringes til at passe nøjagtigt ved hjælp af isometrier (isometri), dvs. stive bevægelser som translation, rotation og spejling.
