Kongruens i geometri: Definition, isometri og eksempler
Lær kongruens i geometri: klar definition, isometri, stive bevægelser og konkrete eksempler — forstå præcis hvornår figurer er ens i form og størrelse.
I geometri siger man, at to figurer eller genstande er kongruente, hvis de har samme form og størrelse, dvs. de kan lægges oven på hinanden, så de falder helt sammen. Det gælder også, hvis den ene er et spejlbillede af den anden — spejling er en tilladt bevægelse under kongruens.
Mere formelt kaldes to punktmængder kongruente, hvis og kun hvis den ene kan omdannes til den anden ved en isometri. Ved isometrier anvendes stive bevægelser, det vil sige bevægelser, som bevarer afstande og vinkler (ingen skalering).
Hvilke bevægelser er tilladt?
De stive bevægelser omfatter:
- translationer (parallelforskydning),
- rotationer (drejning omkring et punkt),
- spejlinger (refleksioner) i en linje eller et plan,
- glidningsspejlinger (kombination af spejling og translation).
Ved en isometri må man altså flytte, rotere og/eller spejle en figur, men ikke ændre dens størrelse eller form.
Trekantskongruens og andre kriterier
Trekantkongruens er et centralt eksempel i undervisning i geometri. For trekanter findes flere velkendte kongruenskriterier, som gør det muligt at afgøre kongruens uden at flytte figurerne fysisk:
- SSS (Side–Side–Side): Hvis alle tre sider i én trekant er parvis lige lange med siderne i en anden trekant, er trekanterne kongruente.
- SAS (Side–Vinkel–Side): Hvis to sider og den indskårne vinkel i én trekant svarer nøjagtigt til to sider og den indskårne vinkel i en anden trekant, er trekanterne kongruente.
- ASA (Vinkel–Side–Vinkel): Hvis to vinkler og den mellemliggende side i én trekant svarer til to vinkler og den mellemliggende side i en anden trekant, er trekanterne kongruente.
- AAS (Vinkel–Vinkel–Side): To vinkler og en ikke-mellemliggende side kan også sikre kongruens.
- RHS (Ret vinkel–Hypotenuse–Side): For højrevinklede trekanter: hvis hypotenusen og én katete i én trekant svarer til hypotenusen og den tilsvarende katete i en anden, er trekanterne kongruente.
Kongruens for polygoner og legemer
To polygoner er kongruente, når der findes en isometri, som sender det ene polygons hjørner på det andet polygons hjørner, så alle tilsvarende sider og vinkler er lige store. Det gælder for både regulære og ikke-regulære polygoner. Eksempelvis er to regulære polygoner med samme antal sider og samme sidelængde kongruente.
Begrebet kan udvides til tredimensionale legemer: to polyedre eller andre rumlige figurer er kongruente, hvis man ved en rumlig isometri (rig bevægelse i rummet) kan få dem til at falde sammen — altså samme form og størrelse i rummet.
Om man fysisk kan folde en regulær polygon på midten og få to halvdele til at ligge sammen er et praktisk eksempel på spejlsymmetri og kongruens af de to halvdele.
Notation, praktiske metoder og bemærkninger
Kongruens noteres ofte med symbolet "≅". For eksempel skriver man ABC ≅ A'B'C' for at vise, at trekanten ABC er kongruent med trekanten A'B'C'.
Praktiske metoder til at kontrollere kongruens omfatter at måle sidelængder og vinkler, lægge figurerne oven på hinanden (f.eks. klippe dem ud af papir) eller bruge geometriske konstruktioner og de nævnte kongruenskriterier.
Det er vigtigt at skelne mellem kongruens og ens (similaritet). To figurer er ens (ligeformede) hvis de har samme form, men ikke nødvendigvis samme størrelse — altså kan den ene være en forstørrelse eller formindskelse af den anden. Ved kongruens må ingen skalering forekomme.
Sammenfattende: Kongruens i geometri handler om, at figurer har identisk form og størrelse og kan bringes til at passe nøjagtigt ved hjælp af isometrier (isometri), dvs. stive bevægelser som translation, rotation og spejling.
Et eksempel på kongruens. De to trekanter til venstre er kongruente, mens den tredje ligner dem. Den sidste trekant ligner ikke nogen af de andre og er heller ikke kongruent med nogen af de andre trekanter. Bemærk, at kongruens tillader ændring af nogle egenskaber, f.eks. placering og orientering, men lader andre egenskaber forblive uændrede, f.eks. afstand og vinkler. De uændrede egenskaber kaldes invarianter.
Eksempler
- alle firkanter, hvis sider har samme længde, er kongruente.
- alle ligesidede trekanter, hvis sider har samme længde, er kongruente.
Test for kongruens
- To vinkler og siden mellem dem er ens i to trekanter (ASA-kongruens)
- To vinkler og en side, der ikke ligger imellem dem, er ens i begge trekanter (AAS-kongruens)
- Alle tre sider af begge trekanter er ens (SSS-kongruens)
- to sider og vinklen mellem dem gør 2 trekanter kongruente (SAS kongruens)
Hvordan kan vi få nye kongruente figurer?
Vi har en række muligheder og nogle få regler for at skabe nye former, der er kongruente med den oprindelige form.
- Hvis vi flytter en geomentrisk form i planen, får vi en form, der er kongruent med den oprindelige.
- Hvis vi roterer i stedet for at flytte, får vi også en form, der er kongruent med den oprindelige form.
- Selv hvis vi tager et spejlbillede af den oprindelige form, får vi stadig en kongruent form.
- Hvis vi kombinerer de tre aktiviteter efter hinanden, får vi stadig kongruente figurer.
- Der er ikke flere kongruente figurer. Mere præcist betyder det, at hvis en form er kongruent med den oprindelige form, kan den nås ved hjælp af de tre aktiviteter, der er beskrevet ovenfor.
Forholdet, at en form er kongruent med en anden form, har tre berømte egenskaber.
- Hvis vi lader den oprindelige form stå alene på sin oprindelige plads, er den kongruent med sig selv. Denne adfærd, denne egenskab kaldes refleksivitet.
Hvis f.eks. ovenstående forskydning ikke er en egentlig forskydning, men kun en forskydning, der laver en bevægelse af længde nul. Eller på samme måde, hvis ovenstående rotation ikke er en egentlig rotation, men kun en rotation med vinkel nul.
- Hvis en form er kongruent med en anden form, er denne anden form også kongruent med den oprindelige form. Denne adfærd, denne egenskab kaldes symmetri.
Hvis vi f.eks. forskyder, roterer eller spejler den nye form tilbage til den oprindelige form, er den oprindelige form kongruent med den nye form.
- Hvis en form C er kongruent med en form B, og formen B er kongruent med den oprindelige form A, så er formen C også kongruent med den oprindelige form A. Denne adfærd, denne egenskab kaldes transitivitet.
Hvis vi f.eks. først anvender en forskydning og derefter en rotation, er den nye form stadig kongruent med den oprindelige form.
De berømte tre egenskaber, refleksivitet, symmetri og transitivitet, udgør tilsammen begrebet ækvivalens. Kongruens er således en form for ækvivalensrelation mellem former i et plan.
Spørgsmål og svar
Spørgsmål: Hvad betyder det i geometri, at to figurer er kongruente?
Svar: To figurer er kongruente i geometri, hvis de har samme form og størrelse, eller hvis den ene har samme form og størrelse som det spejlbillede af den anden.
Sp: Hvordan kaldes to punktmængder kongruente?
Svar: To punktmængder kaldes kongruente, hvis og kun hvis den ene kan omdannes til den anden ved isometri.
Sp: Hvad bruges stive bevægelser til i isometri?
A: Stive bevægelser anvendes i isometri til at omplacere, rotere eller reflektere geometriske figurer uden at ændre størrelsen på dem, så de falder nøjagtigt sammen med andre objekter.
Spørgsmål: Kan to figurer være kongruente, hvis den ene af dem skal ændre størrelse for at falde sammen med den anden?
Svar: Nej, hvis et af objekterne skal ændre størrelse for at falde sammen med det andet, er de to objekter ikke kongruente, men de kaldes lignende.
Spørgsmål: Hvad kan vi sige om kongruens mellem to forskellige plane figurer på et stykke papir?
Svar: To forskellige plane figurer på et stykke papir er kongruente, hvis vi kan klippe dem ud og derefter bringe dem helt sammen og vende papiret om, hvis det er nødvendigt.
Sp: Hvad er kongruente polygoner?
Svar: Kongruente polygoner er polygoner, der kan foldes på midten for at danne en anden regulær polygon, som også er kongruent.
Spørgsmål: Hvad er kriteriet for, at to objekter kan kaldes kongruente i geometri?
Svar: Kriteriet for at to objekter kan kaldes kongruente i geometri er, at det ene objekt kan omplaceres, drejes eller reflekteres, så det falder nøjagtigt sammen med det andet objekt, uden at dets størrelse ændres.
Søge