Kongruens
I geometri er to figurer eller genstande kongruente, hvis de har samme form og størrelse. Det samme gælder, hvis den ene har samme form og størrelse som det andet spejlbillede af den anden.
Mere formelt set kaldes to punktmængder kongruente, hvis og kun hvis den ene kan omdannes til den anden ved isometri. Til isometri anvendes stive bevægelser.
Det betyder, at det ene objekt kan flyttes og reflekteres (men ikke ændres i størrelse), så det falder nøjagtigt sammen med det andet objekt. Så to forskellige plane figurer på et stykke papir er kongruente, hvis vi kan klippe dem ud og derefter bringe dem helt sammen. Det er tilladt at vende papiret om.
Kongruente polygoner er polygoner, som er kongruente polygoner, hvis man folder en regulær polygon på midten.
To geometriske figurer er kongruente, hvis den ene kan flyttes eller drejes, så den passer nøjagtigt til den anden figur. Hvis den ene af genstandene skal ændre størrelse, er de to genstande ikke kongruente: de kaldes blot ens.
Hvis to figurer eller genstande er kongruente, har de samme form og størrelse; men de kan drejes, flyttes, spejles (reflekteres) eller translateres, så de passer nøjagtigt til det sted, hvor den anden figur eller genstand er.
Et eksempel på kongruens. De to trekanter til venstre er kongruente, mens den tredje ligner dem. Den sidste trekant ligner ikke nogen af de andre og er heller ikke kongruent med nogen af de andre trekanter. Bemærk, at kongruens tillader ændring af nogle egenskaber, f.eks. placering og orientering, men lader andre egenskaber forblive uændrede, f.eks. afstand og vinkler. De uændrede egenskaber kaldes invarianter.
Eksempler
- alle firkanter, hvis sider har samme længde, er kongruente.
- alle ligesidede trekanter, hvis sider har samme længde, er kongruente.
Test for kongruens
- To vinkler og siden mellem dem er ens i to trekanter (ASA-kongruens)
- To vinkler og en side, der ikke ligger imellem dem, er ens i begge trekanter (AAS-kongruens)
- Alle tre sider af begge trekanter er ens (SSS-kongruens)
- to sider og vinklen mellem dem gør 2 trekanter kongruente (SAS kongruens)
Hvordan kan vi få nye kongruente figurer?
Vi har en række muligheder og nogle få regler for at skabe nye former, der er kongruente med den oprindelige form.
- Hvis vi flytter en geomentrisk form i planen, får vi en form, der er kongruent med den oprindelige.
- Hvis vi roterer i stedet for at flytte, får vi også en form, der er kongruent med den oprindelige form.
- Selv hvis vi tager et spejlbillede af den oprindelige form, får vi stadig en kongruent form.
- Hvis vi kombinerer de tre aktiviteter efter hinanden, får vi stadig kongruente figurer.
- Der er ikke flere kongruente figurer. Mere præcist betyder det, at hvis en form er kongruent med den oprindelige form, kan den nås ved hjælp af de tre aktiviteter, der er beskrevet ovenfor.
Forholdet, at en form er kongruent med en anden form, har tre berømte egenskaber.
- Hvis vi lader den oprindelige form stå alene på sin oprindelige plads, er den kongruent med sig selv. Denne adfærd, denne egenskab kaldes refleksivitet.
Hvis f.eks. ovenstående forskydning ikke er en egentlig forskydning, men kun en forskydning, der laver en bevægelse af længde nul. Eller på samme måde, hvis ovenstående rotation ikke er en egentlig rotation, men kun en rotation med vinkel nul.
- Hvis en form er kongruent med en anden form, er denne anden form også kongruent med den oprindelige form. Denne adfærd, denne egenskab kaldes symmetri.
Hvis vi f.eks. forskyder, roterer eller spejler den nye form tilbage til den oprindelige form, er den oprindelige form kongruent med den nye form.
- Hvis en form C er kongruent med en form B, og formen B er kongruent med den oprindelige form A, så er formen C også kongruent med den oprindelige form A. Denne adfærd, denne egenskab kaldes transitivitet.
Hvis vi f.eks. først anvender en forskydning og derefter en rotation, er den nye form stadig kongruent med den oprindelige form.
De berømte tre egenskaber, refleksivitet, symmetri og transitivitet, udgør tilsammen begrebet ækvivalens. Kongruens er således en form for ækvivalensrelation mellem former i et plan.
Spørgsmål og svar
Spørgsmål: Hvad betyder det i geometri, at to figurer er kongruente?
Svar: To figurer er kongruente i geometri, hvis de har samme form og størrelse, eller hvis den ene har samme form og størrelse som det spejlbillede af den anden.
Sp: Hvordan kaldes to punktmængder kongruente?
Svar: To punktmængder kaldes kongruente, hvis og kun hvis den ene kan omdannes til den anden ved isometri.
Sp: Hvad bruges stive bevægelser til i isometri?
A: Stive bevægelser anvendes i isometri til at omplacere, rotere eller reflektere geometriske figurer uden at ændre størrelsen på dem, så de falder nøjagtigt sammen med andre objekter.
Spørgsmål: Kan to figurer være kongruente, hvis den ene af dem skal ændre størrelse for at falde sammen med den anden?
Svar: Nej, hvis et af objekterne skal ændre størrelse for at falde sammen med det andet, er de to objekter ikke kongruente, men de kaldes lignende.
Spørgsmål: Hvad kan vi sige om kongruens mellem to forskellige plane figurer på et stykke papir?
Svar: To forskellige plane figurer på et stykke papir er kongruente, hvis vi kan klippe dem ud og derefter bringe dem helt sammen og vende papiret om, hvis det er nødvendigt.
Sp: Hvad er kongruente polygoner?
Svar: Kongruente polygoner er polygoner, der kan foldes på midten for at danne en anden regulær polygon, som også er kongruent.
Spørgsmål: Hvad er kriteriet for, at to objekter kan kaldes kongruente i geometri?
Svar: Kriteriet for at to objekter kan kaldes kongruente i geometri er, at det ene objekt kan omplaceres, drejes eller reflekteres, så det falder nøjagtigt sammen med det andet objekt, uden at dets størrelse ændres.
