Sætning (matematik)
Et teorem er en bevist idé i matematik. Sætninger bevises ved hjælp af logik og andre sætninger, der allerede er blevet bevist. En sætning, som nogen skal bevise, for at han/hun kan bevise en anden sætning, kaldes et lemma. Sætninger består af to dele, der er hypoteser og konklusioner.
Sætninger er baseret på deduktion i modsætning til teorier, som er empiriske.
Nogle sætninger er trivielle, de følger direkte af sætningerne. Andre sætninger kaldes "dybe", fordi deres beviser er lange og vanskelige. Nogle gange involverer sådanne beviser andre områder af matematikken eller viser forbindelser mellem forskellige områder. En sætning kan være enkel at opstille og alligevel være dybtgående. Et glimrende eksempel er Fermats sidste sætning, og der findes mange andre eksempler på enkle, men dybe sætninger inden for bl.a. talteori og kombinatorik.
Der er andre sætninger, som man kender et bevis for, men som ikke er let at skrive ned. Blandt de bedste eksempler er firefarvesætningen og Keplers formodning. Begge disse sætninger kendes kun som sande ved at reducere dem til en beregningsmæssig søgning, som derefter verificeres af et computerprogram. I begyndelsen accepterede mange matematikere ikke denne form for bevisførelse, men den er blevet mere almindeligt accepteret i de senere år. Matematikeren Doron Zeilberger er endda gået så langt som til at hævde, at det muligvis er de eneste ikke-trivielle resultater, som matematikere nogensinde har bevist. Mange matematiske sætninger kan reduceres til mere enkle beregninger, herunder polynomialidentiteter, trigonometriske identiteter og hypergeometriske identiteter.
Pythagoras' sætning har mindst 370 kendte beviser.
Bøger
- Heath, Sir Thomas Little (1897), The works of Archimedes, Dover, hentet 2009-11-15
- Hoffman, P. (1998). Manden, der kun elskede tal: The Story of Paul Erdős and the Search for Mathematical Truth. Hyperion, New York.
- Petkovsek, Marko; Wilf, Herbert; Zeilberger, Doron (1996). "A = B". A.K. Peters, Wellesley, Massachusetts. Eksternt link i
|title=(help)CS1 maint: flere navne: forfatterliste (link)
Spørgsmål og svar
Spørgsmål: Hvad er en sætning?
A: Et teorem er en idé, der er blevet bevist som sand i matematik ved hjælp af logik og andre teoremer, der allerede er blevet bevist.
Spørgsmål: Hvad er et lemma?
Svar: Et lemma er et mindre sætning, som man skal bevise for at bevise en større sætning.
Spørgsmål: Hvordan opstilles teoremer?
Svar: Sætninger består af to dele - hypoteser og konklusioner - og anvender deduktion snarere end empiriske teorier.
Spørgsmål: Er alle teoremer svære at bevise?
A: Nej, nogle sætninger er trivielle, da de følger direkte af sætninger, mens andre kræver lange og vanskelige beviser, som involverer andre områder af matematikken eller viser sammenhænge mellem forskellige områder.
Spørgsmål: Kan en sætning være enkel og alligevel dybtgående?
A: Ja, et eksempel herpå er Fermats sidste sætning, som er enkel at sige, men hvis bevis er langt og vanskeligt.
Spørgsmål: Findes der sætninger, for hvilke man kender et bevis, men som ikke let kan skrives ned?
A: Ja, som eksempel kan nævnes firefarvesætningen og Keplers formodning, som kun kan verificeres ved at køre dem gennem computerprogrammer.
Spørgsmål: Kan matematiske sætninger undertiden reduceres til enklere beregninger?
A: Ja, matematiske sætninger kan undertiden reduceres til enklere beregninger som f.eks. polynomialidentiteter, trigonometriske identiteter eller hypergeometriske identiteter.
