Elektroners energiniveauer i atomer og molekyler — kvantemekanisk forklaring

Forstå elektroners kvantiserede energiniveauer i atomer og molekyler — klar kvantemekanisk forklaring af orbitaler, degenerering og energispektret.

Forfatter: Leandro Alegsa

05-01-2026 16:33

Denne artikel handler om orbital (elektron) energiniveauer. For forbindelsers energiniveauer, se kemisk potentiale.

Enkelt defineret som de forskellige tilstande af potentiel energi for elektroner i et atom. Et kvantemekanisk system kan kun befinde sig i bestemte tilstande, så kun bestemte energiniveauer er mulige. Udtrykket energiniveau anvendes oftest med henvisning til elektronkonfigurationen i atomer eller molekyler. Energispektret kan med andre ord kvantiseres (se kontinuerligt spektrum for det mere generelle tilfælde).

Som med klassiske potentialer er den potentielle energi normalt sat til nul ved uendelighed, hvilket fører til en negativ potentiel energi for bundne elektrontilstande. Den negative værdi angiver, at der kræves energi (ionisationsenergi) for at fjerne elektronen helt fra atomet eller molekylet og bringe den til et frit (uendeligt) niveau.

Energiniveauer siges at være degenererede, hvis det samme energiniveau opnås af mere end én kvantemekanisk tilstand. De kaldes så degenererede energiniveauer. Degenerering kan ophæves af perturbationer som elektronelektron-interaktioner, spin-bane kobling, eller ydre felter.

Hvorfor er energiniveauerne kvantiserede?

Kvantisering følger fra løsning af Schrödinger-ligningen (eller dens relativistiske varianter) med passende randbetingelser for et bundet system. Kun bestemte bølgefunktioner (stationære tilstande) opfylder disse betingelser, og hver tilladt bølgefunktion svarer til et bestemt energital. Nøglegenskaber ved disse tilstande beskrives ved kvantetal:

Hovedkvantetallet n (n = 1, 2, 3, ...) angiver energiskallen i hydrogenlignende systemer og størrelsen af orbitalen.
Orbitalkvantetallet l (l = 0, 1, ..., n−1) bestemmer orbitalens form (s, p, d, f ...).
Magnetkvantetallet m (m = −l,..., +l) angiver orienteringen i et ydre magnetfelt.
Spin s (for elektronet s = 1/2) og dets magnetkvantetal ms = ±1/2 indfører yderligere to-fold degenerering og påvirker fyldning gennem Pauli-udtrykket.

Hydrogenatomet — et analytisk eksempel

Hydrogen er det simpleste tilfælde og kan løses præcist. For et enkelt elektron bundet af Coulomb-potentialet giver energierne for stationære tilstande (ikke-relativistisk, uden felter) det velkendte udtryk

E_n = −13,605693 eV / n^2 (ofte afrundet til −13,6 eV/n^2).

Her er n hovedkvantetallet. For hydrogen er energien kun afhængig af n, hvilket medfører stor degenerering: for hvert n findes n^2 ufoldede rumlige tilstande (eksklusive spin). Finere effekter som spin-bane kobling (fine struktur) og kvanteelektrodynamiske rettelser (Lamb-forskydning) bryder denne degenerering svagt.

Flere-elektron-atomer

I atomer med mere end ét elektron brydes den store degenerering og simple n−afhængighed af energien af følgende grunde:

Elektron-elektron-repulsion: Interaktioner mellem elektroner betyder, at potentialet ikke længere er en ren Coulombfunktion for et ensomt elektron; energierne afhænger af orbitaltype (l) såvel som n.
Skærmning og effektiv kerneladning: Indre elektroner skærmer ydre elektroner fra kernens fulde positive ladning, hvilket ændrer energiniveauerne og fører til begrebet kvantefejl/quantum defect for Rydberg-tilstande.
Spin-bane og relativistiske effekter: Især for tunge atomer bliver disse vigtige og fører til fine- og hyperfin struktur.
Pauli-princippet og Hunds regler: Disse styrer elektronfyldningen af orbitaler og bestemmer grundtilstandens elektronkonfiguration og den resulterende totalenergi.

For at beregne energiniveauer i flere-elektron-systemer benyttes ofte tilnærmelser og numeriske metoder som Hartree–Fock, konfigurationsinteraktion (CI) og tæthedsfunktionalteori (DFT).

Molekyler — orbitaler og bundning

I molekyler kombineres atomorbitaler til molekylære orbitaler (LCAO-metoden). Sammenkobling af to atomorbitaler giver ofte et par bestående af en bindende orbital (lavere energi) og en antibindende orbital (højere energi). Energiskillingen mellem disse bestemmer bindingsstyrken og molekylets stabilitet.

Derudover ligger på hvert elektronisk potentialenergidiagram en række mindre strukturer:

Vibrationsniveauer: Atomer i et molekyle kan vibrere omkring deres ligevægtspositioner. Disse kvantiserede niveauer ligger typisk i meV–eV området.
Rotationsniveauer: Molekylets rotation giver endnu tættere liggende niveauer (µeV–meV skala for gasformige molekyler ved moderate temperaturer).
Elektronisk excitationsspektrum: Overordnet elektroniske niveauer med indlejrede vibrationelle og rotationsstrukturer, hvilket forklarer komplekse spektre i UV/VIS og IR.

Born–Oppenheimer-approksimationen, hvor kernernes bevægelse separeres fra elektronernes, anvendes bredt for at gøre beregninger håndterbare.

Ydre felter og spektroskopiske effekter

Energier påvirkes af ydre elektriske og magnetiske felter:

Zeeman-effekt: Splitting af magnetisk degenererede niveauer i et magnetfelt.
Stark-effekt: Forskyder og splitter niveauer i et elektrisk felt.
Line-bredning: Termiske bevægelser, kollisionsbredning og livstidsbegrænsning giver linjebredning i spektre.

Spektroskopi (absorption, emission) giver direkte information om energiforskelle. Overgange er ofte begrænset af selectionsregler—for elektrondipol-overgange gælder typisk Δl = ±1 og Δm = 0, ±1—hvilket forklarer, hvorfor nogle forventede linjer er svage eller forsvinder.

Praktiske begreber og eksempler

Ionisationsenergi: Den energi, der skal til for at fjerne et elektron fra grundtilstanden; måles ofte eksperimentelt og afspejler energiforskellernes størrelse.
Rydberg-tilstande: Svagt bundne tilstande med højt n, hvis energier nærmer sig kontinuiteten (0 eV) og som opfører sig næsten hydrogenisk.
HOMO/LUMO: I molekylesammenhæng er Highest Occupied Molecular Orbital og Lowest Unoccupied Molecular Orbital vigtige for kemisk reaktivitet og optiske egenskaber.

Opsummering

Elektroners energiniveauer i atomer og molekyler er resultatet af kvantemekaniske randbetingelser, interaktioner mellem partikler, og symmetrier i systemet. Simpeltheden i hydrogen gør det analytisk forståeligt, mens flere-elektron-systemer og molekyler kræver tilnærmelser og numeriske metoder. Effekter som skærmning, spin-bane kobling, ydre felter og molekylær bundning bestemmer de konkrete niveauers placering og degenerering, som i sidste ende kan observeres ved forskellige spektroskopiske metoder.

Atomer

Intrinsiske energiniveauer

Orbitaltilstandens energiniveau

Antag en elektron i en given atomorbital. Dens energi bestemmes hovedsagelig af den (negative) elektrons elektrostatiske vekselvirkning med den (positive) kerne. En elektrons energiniveauer omkring en kerne er givet ved :

E n = - h c R ∞ Z n 2{\displaystyle2 E_{n}=-hcR_{\infty }{\frac {Z^{2}}}{n^{{2}}}}\ } $E_{n}=-hcR_{\infty }{\frac {Z^{2}}{n^{2}}}\$ ,

hvor R ∞ {\displaystyle R_{\infty }\ } $R_{\infty }\$ er Rydberg-konstanten (typisk mellem 1 eV og 10³ eV), Z er atomkernens ladning, n {\displaystyle n\ } $n\$ er det vigtigste kvantetal, e er elektronens ladning, h {\displaystyle h} $h$ er Plancks konstant, og c er lysets hastighed.

Rydberg-niveauerne afhænger kun af det primære kvantetal n {\displaystyle n\ } $n\$ .

Opsplitning af fine strukturer

Finstruktur opstår som følge af relativistiske kinetiske energikorrektioner, spin-orbit-kobling (en elektrodynamisk vekselvirkning mellem elektronens spin og bevægelse og kerneens elektriske felt) og Darwin-terminen (kontakttermen mellem s-helelektroner i kernen). Typisk størrelse10 - 3{\displaystyle 10^{-3}} $10^{-3}$ eV.

Hyperfin struktur

Spin-kerne-spin-kobling (se hyperfin struktur). Typisk størrelse10 - 4{\displaystyle 10^{-4}} $10^{-4}$ eV.

En elektrons elektrostatiske vekselvirkning med andre elektroner

Hvis der er mere end én elektron omkring et atom, hæver elektron-elektron-interaktioner energiniveauet. Disse vekselvirkninger negligeres ofte, hvis elektronbølgefunktionernes rumlige overlapning er lille.

Energiniveauer som følge af eksterne felter

Zeeman-effekt

Interaktionsenergien er: U = - μ B {\displaystyle U=-\mu B} $U=-\mu B$ med μ = q L / m2 {\displaystyle \mu =qL/2m} $\mu =qL/2m$

Zeeman-effekt under hensyntagen til spin

Dette tager hensyn til både det magnetiske dipolmoment, der skyldes banens vinkelmoment, og det magnetiske moment, der stammer fra elektronens spin.

På grund af relativistiske virkninger (Dirac-ligningen) er det magnetiske moment, der stammer fra elektronens spin, μ = - μ B g s {\displaystyle \mu =-\mu _{B}gs} $\mu =-\mu _{B}gs$ med g {\displaystyle g} den gyromagnetiske faktor (ca. 2). μ = μ l + g μ s {\displaystyle \mu =\mu _{l}+g\mu _{s}} $\mu =\mu _{l}+g\mu _{s}$ Vekselvirkningsenergien bliver derfor U B = - μ B = μ B B B ( m l + g m s ) {\displaystyle U_{B}=-\mu B=\mu _{B}B(m_{l}+gm_{s})} $U_{B}=-\mu B=\mu _{B}B(m_{l}+gm_{s})$ .

Stark effekt

Interaktion med et eksternt elektrisk felt (se Stark-effekt).

Molekyler

Groft sagt er en molekylær energitilstand, dvs. en egentilstand i den molekylære Hamiltonian, summen af en elektronisk, vibrations-, rotations-, kerne- og translationskomponent, således at:

E = E e l e k t r o n i s k + E v i b r a t i o n a l + E r o t a t i o n a l + E n u c k l e a r + E t r a n s l a t i o n a l {\displaystyle E=E_{\mathrm {electronic} }+E_{{\mathrm {vibrationel} }+E_{\mathrm {vibrationel} }+E_{{\mathrm {rotational}} }+E_{{\mathrm {nuclear}} }+E_{{\mathrm {translational} }+E_{\mathrm {translational} }\,} $E=E_{\mathrm {electronic} }+E_{\mathrm {vibrational} }+E_{\mathrm {rotational} }+E_{\mathrm {nuclear} }+E_{\mathrm {translational} }\,$

hvor E e l e k t r o n i k {\displaystyle E_{\mathrm {elektronisk} }}} $E_{\mathrm {electronic} }$ er en egenværdi af den elektroniske molekylære Hamiltonian (værdien af den potentielle energioverflade) ved molekylets ligevægtsgeometri.

De molekylære energiniveauer er mærket med molekylære termsymboler.

Disse komponenters specifikke energier varierer med den specifikke energitilstand og stoffet.

I molekylfysik og kvantekemi er et energiniveau en kvantiseret energi i en bundet kvantemekanisk tilstand.

Krystallinske materialer

Krystallinske materialer er ofte kendetegnet ved en række vigtige energiniveauer. De vigtigste er toppen af valensbåndet, bunden af ledningsbåndet, Fermi-energien, vakuumniveauet og energiniveauerne for eventuelle defekttilstande i krystallerne.

Relaterede sider

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er orbitale energiniveauer?

A: Orbital energiniveauer er forskellige tilstande af potentiel energi for elektroner i et atom, defineret som det energispektrum, der kan kvantificeres.

Spørgsmål: Hvorfor kan et kvantemekanisk system kun være i bestemte tilstande?

Svar: Et kvantemekanisk system kan kun befinde sig i bestemte tilstande, fordi energiniveauerne er kvantiserede, hvilket betyder, at kun bestemte energiniveauer er mulige.

Spørgsmål: Hvad er degenererede energiniveauer?

Svar: Degenererede energiniveauer er energiniveauer, der opnås ved mere end én kvantemekanisk tilstand.

Spørgsmål: Hvornår sættes den potentielle energi til nul?

Svar: Den potentielle energi sættes normalt til nul ved uendelighed.

Spørgsmål: Hvad er den mest almindelige anvendelse af udtrykket energiniveau?

A: Den mest almindelige anvendelse af udtrykket energiniveau er med henvisning til elektronkonfigurationen i atomer eller molekyler.

Sp: Hvad bestemmer energiniveauerne i atomer og molekyler?

Svar: De vigtigste faktorer, der bestemmer energiniveauerne i atomer og molekyler, behandles i de følgende afsnit af artiklen.

Spørgsmål: Er der tilfælde, hvor energispektret ikke er kvantiseret?

A: Ja, der er tilfælde, hvor energispektret ikke er kvantiseret, hvilket kaldes et kontinuert spektrum. I forbindelse med orbitale energiniveauer er energispektret imidlertid kvantiseret.

Søge