Newtons metode | en måde at finde de reelle nulpunkter af en funktion
Newtons metode giver mulighed for at finde de reelle nulpunkter af en funktion. Denne algoritme kaldes undertiden Newton-Raphson-metoden, opkaldt efter Sir Isaac Newton og Joseph Raphson.
Metoden anvender funktionens afledte værdi til at finde dens rødder. Der skal foretages et indledende "gæt" på nulpunktets placering. Ud fra denne værdi beregnes et nyt gæt ved hjælp af denne formel:
Her er xn det første gæt og xn+1 det næste gæt. Funktionen f (hvis nulpunkt søges løst) har den afledte funktion f'.
Ved gentagne gange at anvende denne formel på de genererede gæt (dvs. ved at sætte værdien af xn til formlens output og foretage en ny beregning), vil værdien af gættene nærme sig funktionens nulpunkt.
Newtons metode kan forklares grafisk ved at se på tangentlinjernes skæringspunkter med x-aksen. Først beregnes en linje, der tangerer f ved xn . Dernæst findes skæringspunktet mellem denne tangentlinje og x-aksen. Endelig registreres x-positionen for dette skæringspunkt som det næste gæt, xn+1 .
Funktionen (blå) bruges til at beregne hældningen af en tangentlinje (rød) ved xn .
Problemer med Newtons metode
Newtons metode kan finde en løsning hurtigt, hvis gætværdien begynder tilstrækkeligt tæt på den ønskede rod. Men når den indledende gætteværdi ikke er tæt på, og afhængigt af funktionen, kan Newtons metode finde svaret langsomt eller slet ikke finde svaret.
Relaterede sider
- Kantorovich-sætningen (udsagn om konvergens af Newtons metode, fundet af Leonid Kantorovich)
Spørgsmål og svar
Spørgsmål: Hvad er Newtons metode?
A: Newtons metode er en algoritme til at finde de reelle nuller af en funktion. Den bruger funktionens afledte værdi til at beregne dens rødder og kræver et indledende gæt for nulpunktets placering.
Spørgsmål: Hvem har udviklet denne metode?
Svar: Metoden blev udviklet af Sir Isaac Newton og Joseph Raphson, og derfor kaldes den nogle gange Newton-Raphson-metoden.
Spørgsmål: Hvordan virker denne algoritme?
Svar: Denne algoritme fungerer ved gentagne gange at anvende en formel, som tager udgangspunkt i et indledende gæt (xn) og beregner et nyt gæt (xn+1). Ved at gentage denne proces nærmer gætterierne sig et nulpunkt for funktionen.
Spørgsmål: Hvad kræves der for at anvende denne algoritme?
Svar: For at bruge denne algoritme skal man have en indledende "gætværdi" for nulpunktets placering samt viden om den afledte af den givne funktion.
Spørgsmål: Hvordan kan vi forklare Newtons metode grafisk?
Svar: Vi kan forklare Newtons metode grafisk ved at se på skæringspunkterne mellem tangentlinjerne og x-aksen. Først beregnes en linje, der tangerer f ved xn. Dernæst finder vi skæringspunktet mellem denne tangentlinje og x-aksen og registrerer dens x-position som vores næste gæt - xn+1.
Spørgsmål: Er der nogen begrænsning, når man bruger Newtons metode?
A: Ja, hvis din oprindelige gætværdi er for langt væk fra den faktiske rod, kan det tage længere tid eller endog mislykkes at konvergere mod roden på grund af svingninger omkring den eller divergens væk fra den.
