Partielle afledte: Definition, notation og eksempler

Partielle afledte forklaret: definition, notation (∂f/∂x) og illustrative eksempler til multivariabel differentiering — klart og praktisk.

I beregning, som er en avanceret type matematik, er den partielle afledte af en funktion den afledte af en navngiven variabel, mens den unavngivne variabel i funktionen holdes konstant. Med andre ord tager den partielle afledte funktion den afledte af visse angivne variabler i en funktion og differentierer ikke den eller de andre variabler. Notationen

∂ f ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}

anvendes normalt, men andre notationer er også gyldige. Normalt, men ikke altid, tages den partielle afledte funktion i en multivariabel funktion (en funktion med tre eller flere variabler, som kan være uafhængige eller afhængige).

Hvad er en partiel afledte?

En partiel afledte måler, hvor hurtigt en funktion ændrer sig i retning af én bestemt variabel, mens alle andre variable holdes faste. Hvis f afhænger af to variable x og y, betegnes de partielle afledte typisk:

• ∂f/∂x eller f_x — afledt efter x med y fast.
• ∂f/∂y eller f_y — afledt efter y med x fast.

Notation og alternative måder at skrive det på

Den mest almindelige notation er

∂ f ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}

Andre almindelige notationer inkluderer f_x, ∂_x f, eller D_x f. For højere ordens afledte bruger man for eksempel ∂²f/∂x² eller f_{xx}, og blandede afledte skrives som ∂²f/∂x∂y eller f_{xy}.

Regneregler for partielle afledte

• Lineæritet: ∂(af + bg)/∂x = a ∂f/∂x + b ∂g/∂x for konstanter a, b.
• Produktregel: ∂(fg)/∂x = f_x g + f g_x.
• Kvotientregel: ∂(f/g)/∂x = (f_x g − f g_x)/g², hvis g ≠ 0.
• Kædereglen (for sammensatte funktioner): Hvis z = f(u,v) med u = u(x,y), v = v(x,y), så
  ∂z/∂x = f_u ∂u/∂x + f_v ∂v/∂x og tilsvarende for ∂z/∂y.

Eksempler — beregning skridt for skridt

Eksempel 1: Lad f(x,y) = x² y + sin(xy).

• ∂f/∂x: differentier med hensyn til x, hold y konstant:
  ∂/∂x (x² y) = 2x y (y er konstant),
  ∂/∂x (sin(xy)) = cos(xy) · (∂/∂x (xy)) = cos(xy) · y.
  Altså: ∂f/∂x = 2xy + y cos(xy).
• ∂f/∂y: differentier med hensyn til y, hold x konstant:
  ∂/∂y (x² y) = x²,
  ∂/∂y (sin(xy)) = cos(xy) · (∂/∂y (xy)) = cos(xy) · x.
  Altså: ∂f/∂y = x² + x cos(xy).
• Eksempel på evaluering: ved punktet (x,y) = (1,0) fås ∂f/∂x = 2·1·0 + 0·cos(0) = 0, og ∂f/∂y = 1² + 1·cos(0) = 2.

Eksempel 2: Lad g(x,y,z) = x y + e^{z} z².

• ∂g/∂x = y (da y er konstant ved differentiering i x).
• ∂g/∂y = x.
• ∂g/∂z = e^{z} z² differentiated: brug produktregel og eksponentialfunktion:
  ∂/∂z (e^{z} z²) = e^{z} z² + e^{z} · 2z = e^{z} (z² + 2z).

Højere ordens og blandede partielle afledte

Man kan differentiere flere gange med hensyn til variable. Notationer:

• f_{xx} eller ∂²f/∂x² — anden afledte i x.
• f_{xy} eller ∂²f/∂x∂y — først differentiere i x, så i y (eller omvendt).

Clairauts sætning (symmetri for blandede afledte): hvis de andenordens partielle afledte er kontinuerlige i et område omkring et punkt, så er de blandede afledte ligesom f_{xy} = f_{yx} i det område.

Gradient, Jacobian og anvendelser

Gradienten af en skalar funktion f(x1, ..., xn) er vektoren af alle førsteordens partielle afledte:

• ∇f = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn).

Gradienten peger i retningen af størst stigning af f og bruges i optimering (f.eks. gradientmetoder).

Jacobi-matricen bruges for en vektorværdig funktion F: R^n → R^m og indeholder alle førsteordens partielle afledte som rækker/kolonner. Den er central i linearisering, differentialligninger og transformationer.

Anvendelser i praksis

• Optimering med flere variable (kritiske punkter, Lagrange-multiplikatorer).
• Fysik og teknik: beskrive ændringer i felter, hastigheds- og temperaturfordelinger.
• Kædereglen anvendes i modellering, hvor variable afhænger af tid eller andre variable.
• Numerisk analyse: partielle differentialligninger (PDE'er) kræver beregning af partielle afledte.

Praktiske tips

• Hold styr på hvilke variable der betragtes som konstante — det er det centrale ved partielle afledte.
• Brug symboler som f_x eller ∂f/∂x for at gøre det klart, hvilken variabel der differentieres efter.
• Tjek kontinuitet af andenordens afledte, hvis du antager at f_{xy} = f_{yx}.

Denne oversigt dækker definition, notation, regneregler, eksempler og nogle vigtige anvendelser af partielle afledte. For videre fordybning kan man studere kædereglen for flere variable, Taylor-udviklinger i flere variable og løsning af partielle differentialligninger.

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er en partiel afledt?

Spørgsmål: Hvordan noteres den partielle afledte normalt?

Spørgsmål: Er den partielle afledte altid taget i en multivariabel funktion?

Spørgsmål: Hvad betyder det at differentiere visse angivne variabler i en funktion?

Spørgsmål: Hvilken type beregning indebærer dette begreb?

Spørgsmål: Er der andre gyldige notationer for den partielle afledte funktion ud over dem, der er nævnt i teksten?

Søg efter bogstav