Trigonometri

Trigonometri (af græsk trigonon = tre vinkler og metron = mål) er en del af den elementære matematik, der beskæftiger sig med vinkler, trekanter og trigonometriske funktioner som sinus (forkortet sin), cosinus (forkortet cos) og tangens (forkortet tan). Den har en vis forbindelse til geometri, selv om der er uenighed om, hvad denne forbindelse præcist er; for nogle er trigonometri blot en del af geometri.

Oversigt og definitioner

Trigonometri bruger et stort antal specifikke ord til at beskrive dele af en trekant. Nogle af definitionerne i trigonometri er:

Retvinklet trekant - En retvinklet trekant er en trekant, hvis vinkel er lig med 90 grader. (En trekant kan ikke have mere end én retvinklet vinkel) De trigonometriske standardforhold kan kun anvendes på retvinklede trekanter.
Hypotenuse - Hypotenusen i en trekant er den længste side og den side, der er modsat den rette vinkel. For eksempel er hypotenusen i trekanten til højre siden c.
Modsat side af en vinkel - Den modsatte side af en vinkel er den side, der ikke skærer vinkelens toppunkt. F.eks. er side a den modsatte side af vinkel A i trekanten til højre.
Tilstødende side til en vinkel - Den tilstødende side til en vinkel er den side, der skærer vinkelens toppunkt, men som ikke er hypotenusen. F.eks. er side b naboside til vinkel A i trekanten til højre.

En almindelig retvinklet trekant. C er den rette vinkel i dette billede

Trigonometriske forhold

Der er tre trigonometriske hovedforhold for retvinklede trekanter og tre gensidige forhold til disse forhold. Der er i alt 6 forholdstal. De er:

Sinus (sin) - Sinus af en vinkel er lig med den modsatte hypotenuse {\displaystyle {{\text{Opposite}} \over {\text{Hypotenuse}}}} ${{\text{Opposite}} \over {\text{Hypotenuse}}}$
Cosinus (cos) - Cosinus af en vinkel er lig med den tilstødende hypotenuse {\displaystyle {{\text{Adjacent}} \over {\text{Hypotenuse}}}} ${{\text{Adjacent}} \over {\text{Hypotenuse}}}$
Tangent (tan) - Tangenten til en vinkel er lig med den modsatte tilstødende {\displaystyle {{\text{Opposite}} \over {\text{Adjacent}}}} ${{\text{Opposite}} \over {\text{Adjacent}}}$

De reciprokke værdier af disse forhold er:

Cosecant (csc) - Cosecanten af en vinkel er lig med hypotenusen Modsat {\displaystyle {{\text{Hypotenuse}} \over {\text{Opposite}}}} ${{\text{Hypotenuse}} \over {\text{Opposite}}}$ eller csc θ = 1 sin θ {\displaystyle \csc \theta ={1 \over \sin \theta }} $\csc \theta ={1 \over \sin \theta }$

Sekant (sec) - Sekanten af en vinkel er lig med hypotenusen tilstødende {\displaystyle {{\text{Hypotenuse}} \over {\text{Adjacent}}}} ${{\text{Hypotenuse}} \over {\text{Adjacent}}}$ eller sec θ = 1 cos θ {\displaystyle \sec \theta ={1 \over \cos \theta }} $\sec \theta ={1 \over \cos \theta }$

Cotangent (cot) - Cotangenten af en vinkel er lig med den tilstødende modsatte {\displaystyle {{\text{Adjacent}} \over {\text{Opposite}}}} ${{\text{Adjacent}} \over {\text{Opposite}}}$ eller cot θ = 1 tan θ {\displaystyle \cot \theta ={1 \over \tan \theta }} $\cot \theta ={1 \over \tan \theta }$

Eleverne bruger ofte en huskeseddel til at huske dette forhold. Forholdet mellem sinus, cosinus og tangens i en retvinklet trekant kan huskes ved at repræsentere dem som bogstavrækker, f.eks. SOH-CAH-TOA:

Sinus = Modsat ÷ Hypotenuse

Cosinus = tilstødende ÷ hypotenuse

Tangent = Modsat ÷ Tilstødende

Brug af trigonometri

Med sinus og cosinus kan man besvare stort set alle spørgsmål om trekanter. Dette kaldes "løsning" af trekanten. Man kan regne de resterende vinkler og sider i en hvilken som helst trekant ud, så snart man kender to sider og deres medfølgende vinkel eller to vinkler og en side eller tre sider. Disse love er nyttige inden for alle grene af geometrien, da enhver polygon kan beskrives som en kombination af trekanter.

Trigonometri er også vigtig inden for landmåling, vektoranalyse og i studiet af periodiske funktioner.

Der findes også noget, der hedder sfærisk trigonometri, som omhandler sfærisk geometri. Den bruges til beregninger inden for astronomi, geodæsi og navigation.

Trigonometriske love

Loven om sines

a Sin A = b Sin B = c Sin C {\displaystyle {{\text{a}} \over {\text{Sin A}}}}={{{\text{b}} \over {\text{Sin B}}}}={{{\text{c}} \over {\text{Sin C}}}} ${{\text{a}} \over {\text{Sin A}}}={{\text{b}} \over {\text{Sin B}}}={{\text{c}} \over {\text{Sin C}}}$

Cosinus' lov

a 2 = b 2 + c 2 + c 2 - 2 b c cos ( A ) {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(A)} $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(A)$

Tangenternes lov

a - b a + b = tan ( 1 2 ( A - B ) ) tan ( 1 2 ( A + B ) ) {\displaystyle {\frac {\frac {a-b}{a+b}}}={\frac {\tan({\frac {\frac {1}{2}}}(A-B))}{\tan({\frac {1}{2}}}(A+B))}}}} ${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan({\frac {1}{2}}(A-B))}{\tan({\frac {1}{2}}(A+B))}}$