Trigonometri (af græsk trigonon = tre vinkler og metron = mål) er en del af den elementære matematik, der beskæftiger sig med vinkler, trekanter og trigonometriske funktioner som sinus (forkortet sin), cosinus (forkortet cos) og tangens (forkortet tan). Den har en tæt forbindelse til geometri og anvendes bredt inden for blandt andet navigation, fysik, ingeniørarbejde, astronomi og signalbehandling.
Vinkler og måleenheder
Vinkler måles oftest i grader (°) eller i radianer (rad). Et helt omløb svarer til 360° = 2π rad, så omregningen mellem grader og radianer er
- 1° = π/180 rad
- 1 rad = 180/π °
Vinkler kan være positive eller negative afhængigt af rotationsretningen, og i analytisk trigonometri placeres vinkler ofte i standardposition med hjørnet i origo og spidsen på enhedscirklen.
Retvinklet trekant og de grundlæggende funktioner
I en retvinklet trekant defineres de trigonometriske funktioner for en af de skarpe vinkler α således:
- sin(α) = (modstående katete) / (hypotenusen)
- cos(α) = (hosliggende katete) / (hypotenusen)
- tan(α) = (modstående katete) / (hosliggende katete) = sin(α)/cos(α)
Et almindeligt huskemiddel er SOHCAHTOA (Sine = Opposite/Hypotenuse, Cosine = Adjacent/Hypotenuse, Tangent = Opposite/Adjacent).
Enhedscirklen og udvidelse til alle vinkler
Trigonometriske funktioner kan defineres for alle reelle vinkler ved hjælp af enhedscirklen (cirkel med radius 1). For en vinkel θ svarer punktet på cirklen (cos θ, sin θ). Denne definition giver funktionerne periodiske egenskaber og beskriver fortegnene i de fire kvadranter.
Værdier for særlige vinkler
- 0°: sin = 0, cos = 1, tan = 0
- 30°: sin = 1/2, cos = √3/2, tan = 1/√3
- 45°: sin = √2/2, cos = √2/2, tan = 1
- 60°: sin = √3/2, cos = 1/2, tan = √3
- 90°: sin = 1, cos = 0, tan = udefineret
Vigtige identiteter
- Pythagoras-identitet: sin²x + cos²x = 1
- Even/odd: cos(−x) = cos x, sin(−x) = −sin x, tan(−x) = −tan x
- Periodiciteter: sin(x + 2π) = sin x, cos(x + 2π) = cos x, tan(x + π) = tan x
- Additionsformler:
- sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
- cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
- tan(α + β) = (tan α + tan β) / (1 − tan α tan β)
- Dobbeltvinkelformler: sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = cos²x − sin²x = 2 cos²x − 1 = 1 − 2 sin²x
Inverse funktioner og beregning
De inverse trigonometriske funktioner er arcsin, arccos og arctan (ofte skrevet som sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹). De anvendes til at bestemme vinkler ud fra kendte forhold mellem sider. For numeriske beregninger bruges lommeregnere eller computersoftware, der typisk kan arbejde i grader eller radianer efter valg.
Trigonometrisk regning i ikke-retvinklede trekanter
For vilkårlige trekanter bruges to centrale sætninger:
- Sine-loven: a / sin A = b / sin B = c / sin C, hvor a, b, c er sidelængder og A, B, C de modstående vinkler.
- Cosinus-loven: c² = a² + b² − 2ab cos C, som generaliserer Pythagoras' sætning og bruges til at finde en side eller en vinkel i en vilkårlig trekant.
Relation til calculus
De trigonometriske funktioner har velkendte differential- og integralregneregler, f.eks.:
- d/dx [sin x] = cos x
- d/dx [cos x] = −sin x
- ∫ sin x dx = −cos x + C, ∫ cos x dx = sin x + C
Anvendelser
Trigonometri anvendes i mange praktiske sammenhænge, bl.a.:
- Navigations- og positionsbestemmelse (GPS, sejlads, luftfart)
- Bygningskonstruktion og ingeniørprojekter
- Bølger og oscillationer i fysik (lyd, lys, elektromagnetiske bølger)
- Signalbehandling og Fourier-analyse
- Astronomi til bestemmelse af afstande og vinkler mellem himmellegemer
Kort historisk note
Trigonometri har rødder i oldtidens civilisationer og blev formelt udviklet af græske og indiske astronomer. Navnene og begreberne stammer fra græsk, som nævnt i åbningen, og udviklingen af trigonometriske tabeller var central for tidlig astronomi.
Denne gennemgang dækker de grundlæggende definitioner, væsentlige identiteter og praktiske anvendelser. For videre studier anbefales arbejdet med enhedscirklen, graftegning og anvendelse af addition- og dobbeltvinkelformler i opgaveløsning.
