Identitet (matematik)
For andre betydninger af dette ord, se identitet.
I matematik har begrebet identitet flere vigtige anvendelser:
- En identitet er en lighed, der forbliver sand, selv om man ændrer alle de variabler, der anvendes i ligheden.
En lighed i matematisk forstand er kun sand under mere specielle betingelser. For dette bruges symbolet ≡ nogle gange. (Dette kan dog føre til misforståelser, da det samme symbol også kan bruges til en kongruensrelation).
Eksempler
Identitetsrelation
Et almindeligt eksempel på den første betydning er den trigonometriske identitet
sin 2 θ + cos 2 θ = 1 {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,} 
hvilket er sandt for alle reelle værdier af θ {\displaystyle \theta } 
(da de reelle tal R {\displaystyle {\mathbb {R}}}}
er domænet for sin og cos), i modsætning til
cos θ = 1 , {\displaystyle \cos \theta =1,\,\,} 
hvilket kun er sandt for værdier af θ {\displaystyle \theta } i en delmængde af domænet.
Identitetselement
Begreberne "additiv identitet" og "multiplikativ identitet" er centrale for Peanoaksiomerne. Tallet 0 er den "additive identitet" for hele tal, reelle tal og komplekse tal. For de reelle tal gælder det, at for alle a ∈ R , {\displaystyle a\in {\mathbb {R}},} 
0 + a = a , {\displaystyle 0+a=a,\,} 
a + 0 = a , {\displaystyle a+0=a,\,}
og
0 + 0 = 0. {\displaystyle 0+0=0.\,} 
På samme måde er tallet 1 den "multiplikative identitet" for hele tal, reelle tal og komplekse tal. For de reelle tal gælder det, at for alle a ∈ R , {\displaystyle a\in {\mathbb {R}},}
1 × a = a , {\displaystyle 1\times a=a,\,\,} 
a × 1 = a , {\displaystyle a\times 1=a,\,\,}
og
1 × 1 = 1. {\displaystyle 1\ gange 1=1.\,\,} 
Identitetsfunktion
Et almindeligt eksempel på en identitetsfunktion er identitets-permutationen, som sender hvert element i mængden { 1 , 2 , ... , n } {\displaystyle \{{1,2,\ldots ,n\}}
til sig selv.
Sammenligning
Disse betydninger udelukker ikke hinanden; f.eks. er identitets-permutationen identitetselementet i mængden af permutationer af { 1 , 2 , ... , n } {\displaystyle \{{1,2,\ldots ,n\}}} under komposition.
Spørgsmål og svar
Q: Hvad er en identitet i matematik?
A: En identitet i matematik er en lighed, der forbliver sand, selv om man ændrer alle de variabler, der bruges i denne lighed.
Q: Hvornår er en lighed i matematisk forstand kun sand?
A: En lighed i matematisk forstand er kun sand under mere bestemte forhold.
Q: Hvad er symbolet for en identitet?
A: Symbolet for en identitet er ikke specificeret, men det er sandsynligt, at lighedstegnet (=) bruges.
Q: Hvad er symbolet for en kongruensrelation?
Svar: Symbolet for en kongruensrelation er det samme som symbolet for en identitet, dvs. ≡.
Q: Hvor mange vigtige anvendelser har begrebet identitet i matematikken?
A: Begrebet identitet har flere vigtige anvendelser i matematikken.
Q: Hvad er forskellen mellem en identitet og en lighed i matematisk forstand?
A: En identitet forbliver sand, selv om man ændrer alle de variabler, der bruges i denne lighed, mens en lighed i matematisk forstand kun er sand under mere specifikke forhold.
Q: Bruges det samme symbol for en identitet og en kongruensrelation?
A: Ja, det samme symbol (≡) kan bruges til en identitet og en kongruensrelation.
