For andre betydninger af dette ord, se identitet.

I matematik har begrebet identitet flere vigtige anvendelser:

  • En identitet er en lighed, der forbliver sand, selv om man ændrer alle de variabler, der anvendes i ligheden.

En lighed i matematisk forstand er kun sand under mere specielle betingelser. For dette bruges symbolet ≡ nogle gange. (Dette kan dog føre til misforståelser, da det samme symbol også kan bruges til en kongruensrelation).

 

Formel definition

En identitet er en ligning F(x1, x2, ..., xn) = G(x1, x2, ..., xn), som er sand for alle tilladte værdier af variablerne x1, x2, ..., xn i et givet definitionsområde. Med andre ord er forskellen H = F − G identisk lig med 0 på domænet: H(x1, ..., xn) ≡ 0.

Notation

Der bruges flere måder at angive en identitet på:

  • = kan anvendes, men dette bruges også for almindelige ligninger.
  • ≡ bruges ofte til at markere, at to udtryk er identiske for alle variable i det givne domæne (f.eks. trigonometriske eller algebraiske identiteter). Bemærk, at ≡ også kan betyde kongruens i talteori, så betydningen afhænger af konteksten.
  • Man skriver sommetider også f(x) ≡ g(x) for at understrege, at f og g er samme funktion på deres fælles definitionsmængde.

Typiske eksempler

  • Algebraiske identiteter: (a + b)² ≡ a² + 2ab + b²; (x − 1)(x + 1) ≡ x² − 1.
  • Trigonometriske identiteter: sin²θ + cos²θ ≡ 1; 1 + tan²θ ≡ sec²θ.
  • Polynomielle identiteter: To polynomier er identiske hvis og kun hvis alle deres koefficienter er parvis lige. Fx er x³ + 2x² ≡ x²(x + 2).
  • Rationelle funktioner: To brøker kan være identisk lige som funktioner, men her skal man være opmærksom på domænet (hvor nævnerne ikke er nul).
  • Triviel identitet: 0 ≡ 0 eller a − a ≡ 0 for enhver variabel a.

Forskellen mellem identitet og ligning

En almindelig ligning er kun sand for nogle bestemte værdier af variablerne (løsninger). En identitet er sand for alle tilladte værdier. Fx er x² − 1 = 0 en ligning med løsninger x = ±1, mens x² − 1 ≡ (x − 1)(x + 1) er en identitet (faktoriseringsreglen gælder for alle x).

Hvordan man beviser en identitet

Almindelige teknikker til at vise, at en ligning er en identitet:

  • Simplificer begge sider algebraisk til samme udtryk (udvid, forkort, faktoriser).
  • Omskriv høre eller venstre side ved hjælp af kendte identiteter (fx trigonometriske omskrivninger).
  • For polynomier: vis at koefficienterne er ens. Hvis to polynomier er ens på uendeligt mange punkter, må de være identiske.
  • Undersøg definitionsmængden: for rationelle udtryk skal man kontrollere, at eventuelle udelukne punkter ikke skaber uoverensstemmelser.
  • Substitution af tilfældige værdier kan give mistanke om en identitet, men er ikke et fuldt bevis medmindre man har ekstra oplysninger (fx begge sider er polynomier af begrænset grad og de sammenfalder på nok punkter).

Egenskaber og bemærkninger

  • En identitet bevares under alle almindelige algebraiske operationer, så længe man bevarer definitionsmængden (f.eks. kan man lægge samme udtryk til begge sider).
  • I analyseterminologi kan man sige, at to funktioner er identiske, hvis de er lige som funktioner (samme domæne og samme funktionsværdier over hele domænet).
  • Vær opmærksom på domæneproblemer: to udtryk kan være identiske bortset fra enkelte punkter, hvor et udtryk ikke er defineret — så taler man ofte om identitet på et givet domæne.

Anvendelser

Identiteter bruges overalt i matematik: til forenkling af udtryk, til løsning af ligninger, i beviser, i computeralgebra, i trigonometriske forvandlinger, i talteori (kongruenser) og i studiet af funktioner. Kendskab til standardidentiteter gør beregninger hurtigere og beviser klarere.

Korte noter om andre betydninger

Ordet "identitet" i matematik kan også referere til "identitetselement" i en algebraisk struktur (f.eks. tallet 0 for addition eller 1 for multiplikation) eller til "identitetsfunktion" id(x) = x. Disse betydninger er relaterede men forskellige fra begrebet identisk lighed, som beskrives ovenfor. Se evt. linket i toppen for andre betydninger.