Matematisk identitet: Definition, eksempler og notation
Lær hvad matematisk identitet er: klar definition, typiske eksempler, og hvordan notation som ≡ anvendes — forstå forskellen til lighed og kongruens.
For andre betydninger af dette ord, se identitet.
I matematik har begrebet identitet flere vigtige anvendelser:
- En identitet er en lighed, der forbliver sand, selv om man ændrer alle de variabler, der anvendes i ligheden.
En lighed i matematisk forstand er kun sand under mere specielle betingelser. For dette bruges symbolet ≡ nogle gange. (Dette kan dog føre til misforståelser, da det samme symbol også kan bruges til en kongruensrelation).
Formel definition
En identitet er en ligning F(x1, x2, ..., xn) = G(x1, x2, ..., xn), som er sand for alle tilladte værdier af variablerne x1, x2, ..., xn i et givet definitionsområde. Med andre ord er forskellen H = F − G identisk lig med 0 på domænet: H(x1, ..., xn) ≡ 0.
Notation
Der bruges flere måder at angive en identitet på:
- = kan anvendes, men dette bruges også for almindelige ligninger.
- ≡ bruges ofte til at markere, at to udtryk er identiske for alle variable i det givne domæne (f.eks. trigonometriske eller algebraiske identiteter). Bemærk, at ≡ også kan betyde kongruens i talteori, så betydningen afhænger af konteksten.
- Man skriver sommetider også f(x) ≡ g(x) for at understrege, at f og g er samme funktion på deres fælles definitionsmængde.
Typiske eksempler
- Algebraiske identiteter: (a + b)² ≡ a² + 2ab + b²; (x − 1)(x + 1) ≡ x² − 1.
- Trigonometriske identiteter: sin²θ + cos²θ ≡ 1; 1 + tan²θ ≡ sec²θ.
- Polynomielle identiteter: To polynomier er identiske hvis og kun hvis alle deres koefficienter er parvis lige. Fx er x³ + 2x² ≡ x²(x + 2).
- Rationelle funktioner: To brøker kan være identisk lige som funktioner, men her skal man være opmærksom på domænet (hvor nævnerne ikke er nul).
- Triviel identitet: 0 ≡ 0 eller a − a ≡ 0 for enhver variabel a.
Forskellen mellem identitet og ligning
En almindelig ligning er kun sand for nogle bestemte værdier af variablerne (løsninger). En identitet er sand for alle tilladte værdier. Fx er x² − 1 = 0 en ligning med løsninger x = ±1, mens x² − 1 ≡ (x − 1)(x + 1) er en identitet (faktoriseringsreglen gælder for alle x).
Hvordan man beviser en identitet
Almindelige teknikker til at vise, at en ligning er en identitet:
- Simplificer begge sider algebraisk til samme udtryk (udvid, forkort, faktoriser).
- Omskriv høre eller venstre side ved hjælp af kendte identiteter (fx trigonometriske omskrivninger).
- For polynomier: vis at koefficienterne er ens. Hvis to polynomier er ens på uendeligt mange punkter, må de være identiske.
- Undersøg definitionsmængden: for rationelle udtryk skal man kontrollere, at eventuelle udelukne punkter ikke skaber uoverensstemmelser.
- Substitution af tilfældige værdier kan give mistanke om en identitet, men er ikke et fuldt bevis medmindre man har ekstra oplysninger (fx begge sider er polynomier af begrænset grad og de sammenfalder på nok punkter).
Egenskaber og bemærkninger
- En identitet bevares under alle almindelige algebraiske operationer, så længe man bevarer definitionsmængden (f.eks. kan man lægge samme udtryk til begge sider).
- I analyseterminologi kan man sige, at to funktioner er identiske, hvis de er lige som funktioner (samme domæne og samme funktionsværdier over hele domænet).
- Vær opmærksom på domæneproblemer: to udtryk kan være identiske bortset fra enkelte punkter, hvor et udtryk ikke er defineret — så taler man ofte om identitet på et givet domæne.
Anvendelser
Identiteter bruges overalt i matematik: til forenkling af udtryk, til løsning af ligninger, i beviser, i computeralgebra, i trigonometriske forvandlinger, i talteori (kongruenser) og i studiet af funktioner. Kendskab til standardidentiteter gør beregninger hurtigere og beviser klarere.
Korte noter om andre betydninger
Ordet "identitet" i matematik kan også referere til "identitetselement" i en algebraisk struktur (f.eks. tallet 0 for addition eller 1 for multiplikation) eller til "identitetsfunktion" id(x) = x. Disse betydninger er relaterede men forskellige fra begrebet identisk lighed, som beskrives ovenfor. Se evt. linket i toppen for andre betydninger.
Eksempler
Identitetsrelation
Et almindeligt eksempel på den første betydning er den trigonometriske identitet
sin 2 θ + cos 2 θ = 1 {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,} 
hvilket er sandt for alle reelle værdier af θ {\displaystyle \theta } 
(da de reelle tal R {\displaystyle {\mathbb {R}}}}
er domænet for sin og cos), i modsætning til
cos θ = 1 , {\displaystyle \cos \theta =1,\,\,} 
hvilket kun er sandt for værdier af θ {\displaystyle \theta } i en delmængde af domænet.
Identitetselement
Begreberne "additiv identitet" og "multiplikativ identitet" er centrale for Peanoaksiomerne. Tallet 0 er den "additive identitet" for hele tal, reelle tal og komplekse tal. For de reelle tal gælder det, at for alle a ∈ R , {\displaystyle a\in {\mathbb {R}},} 
0 + a = a , {\displaystyle 0+a=a,\,} 
a + 0 = a , {\displaystyle a+0=a,\,}
og
0 + 0 = 0. {\displaystyle 0+0=0.\,} 
På samme måde er tallet 1 den "multiplikative identitet" for hele tal, reelle tal og komplekse tal. For de reelle tal gælder det, at for alle a ∈ R , {\displaystyle a\in {\mathbb {R}},}
1 × a = a , {\displaystyle 1\times a=a,\,\,} 
a × 1 = a , {\displaystyle a\times 1=a,\,\,}
og
1 × 1 = 1. {\displaystyle 1\ gange 1=1.\,\,} 
Identitetsfunktion
Et almindeligt eksempel på en identitetsfunktion er identitets-permutationen, som sender hvert element i mængden { 1 , 2 , ... , n } {\displaystyle \{{1,2,\ldots ,n\}}
til sig selv.
Sammenligning
Disse betydninger udelukker ikke hinanden; f.eks. er identitets-permutationen identitetselementet i mængden af permutationer af { 1 , 2 , ... , n } {\displaystyle \{{1,2,\ldots ,n\}}} under komposition.
Spørgsmål og svar
Q: Hvad er en identitet i matematik?
A: En identitet i matematik er en lighed, der forbliver sand, selv om man ændrer alle de variabler, der bruges i denne lighed.
Q: Hvornår er en lighed i matematisk forstand kun sand?
A: En lighed i matematisk forstand er kun sand under mere bestemte forhold.
Q: Hvad er symbolet for en identitet?
A: Symbolet for en identitet er ikke specificeret, men det er sandsynligt, at lighedstegnet (=) bruges.
Q: Hvad er symbolet for en kongruensrelation?
Svar: Symbolet for en kongruensrelation er det samme som symbolet for en identitet, dvs. ≡.
Q: Hvor mange vigtige anvendelser har begrebet identitet i matematikken?
A: Begrebet identitet har flere vigtige anvendelser i matematikken.
Q: Hvad er forskellen mellem en identitet og en lighed i matematisk forstand?
A: En identitet forbliver sand, selv om man ændrer alle de variabler, der bruges i denne lighed, mens en lighed i matematisk forstand kun er sand under mere specifikke forhold.
Q: Bruges det samme symbol for en identitet og en kongruensrelation?
A: Ja, det samme symbol (≡) kan bruges til en identitet og en kongruensrelation.
Søge