Tegn i matematik — definition og betydning af positivt, negativt og nul

Forstå tegn i matematik: hvad positivt, negativt og nul betyder, regler for plus/minus og anvendelser med klare eksempler og korte forklaringer.

I matematik henviser ordet tegn til den egenskab, at et tal er positivt eller negativt. Alle reelle tal (undtagen nul) er enten positive eller negative og har derfor et tegn. Nul i sig selv er uden tegn, eller tegnløst. Ud over at sætte tegn på reelle tal bruges ordet tegn i hele matematikken til at angive dele af matematiske objekter, der betyder positivitet og negativitet. Normalt betragtes tal, hvis de ses uden tegn, som et positivt tal.

Ordet tegn bruges også nogle gange om forskellige matematiske tegn, f.eks. plus- og minustegn og multiplikationstegn.

Hvad betyder det i praksis?

Positive tal skrives ofte med et plus foran (f.eks. +3) eller uden noget fortegn (3). Negative tal skrives med et minustegn foran (f.eks. −5). Nul er hverken positivt eller negativt; det kaldes tegnløst eller neutralt. På tallinjen ligger positive tal til højre for nul og negative tal til venstre.

Notation og symboler

• + (plus) angiver positivitet eller addition.
• − (minus) angiver negativitet eller subtraktion.
• ± bruges til at angive to mulige værdier, fx x = ±2 betyder x = 2 eller x = −2.
• Absolutværdien |x| giver tallets størrelse uden hensyn til fortegn: |−4| = 4, |3| = 3.

Regler for fortegn ved regneoperationer

• Produkt og kvotient: to tal med samme fortegn giver et positivt resultat (fx (−2)·(−3) = 6), og to tal med forskellige fortegn giver et negativt resultat (fx (−2)·3 = −6). Det samme gælder ved division.
• Addition: når man lægger tal med samme fortegn sammen, lægger man størrelserne og beholder fortegnet (3 + 5 = 8; −3 + (−5) = −8). Når fortegnene er forskellige, trækkes den mindste størrelse fra den største, og fortegnet bliver det samme som tallet med størst absolutværdi (5 + (−3) = 2; −5 + 3 = −2).
• Minus foran parentes: −(a + b) = −a − b (minustegnet fordeles ind i parentesen).

Tegnfunktion (signum)

Tegnfunktionen sgn(x) (også kaldet signum) beskriver tegnet af et reelt tal x:

• sgn(x) = 1 hvis x > 0
• sgn(x) = 0 hvis x = 0
• sgn(x) = −1 hvis x < 0

Den bruges ofte i analyse og algebra til at skelne mellem positiv, negativ og nul uden at fokusere på størrelsen.

Tegn på tallinjen og sammenligning

På tallinjen er rækkefølgen bestemt af placeringen relativt til nul. For to reelle tal a og b gælder:

• Hvis a > b og begge er positive, er a længere til højre end b.
• Et negativt tal er altid mindre end et positivt tal (fx −1 < 0 < 1).

Andre anvendelser af ordet "tegn" i matematik

Udover at beskrive fortegnet af tal bruges ordet tegn også om:

• det konkrete symbol (f.eks. plus- og minustegn), som du også fandt nævnt i den oprindelige tekst;
• fortegnet på koefficienter i polynomier (f.eks. i 2x² − 3x + 1 angiver minus, at ledet −3x bidrager negativt);\li>
• ændringer i funktionsværdier (stigning/fald) eller orientering i geometri og vektorer (positiv/negativ retning langs en akse).

Kort opsummering

• Positive tal har plus eller intet tegn, negative tal har minus; nul er tegnløst.
• Regneregler: samme fortegn → positivt produkt, forskellige fortegn → negativt produkt. Addition afhænger af absolutværdierne.
• Tegnfunktionen sgn(x) angiver direkte, om et tal er positivt, negativt eller nul.

Betydninger af tegn

Da nul hverken er positivt eller negativt, bruges følgende undertiden til at angive et ukendt tals fortegn:

• Et tal er positivt, hvis det er større end nul.
• Et tal er negativt, hvis det er mindre end nul.
• Et tal er ikke-negativt, hvis det er større end eller lig med nul.
• Et tal er ikke positivt, hvis det er mindre end eller lig med nul.

Et ikke-negativt tal er således enten positivt eller nul, mens et ikke-positivt tal er enten negativt eller nul. F.eks. er den absolutte værdi af et reelt tal altid ikke-negativ, men er ikke nødvendigvis positiv.

Den samme definition bruges undertiden for funktioner, der tager reelle eller hele talværdier. En funktion kaldes f.eks. positiv, hvis alle dens værdier er positive, eller ikke-negativ, hvis alle dens værdier er ikke-negative.

Tegnet på en vinkel

I mange tekster er det almindeligt at se et tegn sammen med et mål for en vinkel, især en lokaliseret vinkel eller en rotationsvinkel. I en sådan situation siger tegnet, om vinklen er i urets retning eller mod urets retning. Selv om der kan anvendes forskellige konventioner, er det i matematikken almindeligt, at vinkler mod uret tæller som positive, og vinkler med uret tæller som negative.

Det er også muligt at sætte et tegn på en drejningsvinkel i tre dimensioner, hvis man antager, at drejeaksen er blevet orienteret. Specifikt tæller en højredrejning omkring en akse normalt som positiv, mens en venstredrejning tæller som negativ.

Tegn på en retning

I aritmetik og fysik er det almindeligt at betegne visse retninger som positive eller negative. Som et grundlæggende eksempel tegnes tallinjen normalt med positive tal til højre og negative tal til venstre:

I det kartesiske plan opfattes retningen mod højre og opad normalt som positive, idet retningen mod højre er den positive x-retning og retningen opad er den positive y-retning.

Andre betydninger

Ud over tegnet for et reelt tal bruges ordet tegn også på forskellige beslægtede måder i matematik og videnskaberne:

• I grafteori er en signeret graf en graf, hvor hver kant er markeret med et positivt eller negativt tegn.
• I fysik er enhver elektrisk ladning forsynet med et tegn, enten positivt eller negativt. Ifølge de generelle regler er en positiv ladning en ladning med samme fortegn som en proton, og en negativ ladning er en ladning med samme fortegn som en elektron.

Målt fra x-aksen er vinkler på enhedscirklen positive mod uret og negative med uret.


Elektrisk ladning kan være positiv eller negativ.

Søg efter bogstav