Parallelepiped — tredimensionelt polyeder med seks parallelogrammer

Ethvert af de tre par parallelle flader kan betragtes som prismaets grundplan. Et parallelepiped har tre sæt af fire parallelle kanter; kanterne inden for hvert sæt er lige lange.

Parallelepipeder er et resultat af lineære transformationer af en terning (for de ikke-degenererede tilfælde: de bijektive lineære transformationer).

Da hver side har punktsymmetri, er et parallelepiped et zonoedre. Hele parallelepipeden har også punktsymmetri _{Ci (}se også triklin). Hver side er, set udefra, et spejlbillede af den modsatte side. Fladerne er i almindelighed chirale, men det er parallelepipeden ikke.

En rumfyldende tesselering er mulig med kongruente kopier af ethvert parallelepiped.

Rumfanget af et parallelepiped er produktet af arealet af basen A og højden h. Basen er en af de seks flader på parallelepipedets seks sider. Højden er den vinkelrette afstand mellem basen og den modsatte side.

En alternativ metode definerer vektorerne a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) og c = (c1, c2, c3) for at repræsentere tre kanter, der mødes ved et toppunkt. Parallelepipedets rumfang er så lig med den absolutte værdi af det skalare trippelprodukt a - (b × c):

V = | a ⋅ ( b × c ) | = | b ⋅ ( c × a ) | = | c ⋅ ( a × b ) | {\displaystyle V=\left|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right|=\left|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\right|=\left|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\right|}

Dette er sandt, fordi hvis vi vælger b og c som kanter af basen, er basens areal ifølge definitionen af krydsproduktet (se den geometriske betydning af krydsprodukt),

A = | b | | | c | sin θ = | b × c | , {\displaystyle A=\left|\mathbf {b} \right|\left|\mathbf {c} \right|\sin \theta =\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right|,}

hvor θ er vinklen mellem b og c, og højden er

h = | a | cos α , {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\cos \alpha ,}

hvor α er den indre vinkel mellem a og h.

Af figuren kan vi udlede, at størrelsen af α er begrænset til 0° ≤ α < 90°. Derimod kan vektoren b × c med a danne en indre vinkel β, der er større end 90° (0° ≤ β ≤ 180°). Da b × c er parallelt med h, er værdien af β nemlig enten β = α eller β = 180° - α. Så

cos α = ± cos β = | cos β | , {\displaystyle \cos \alpha =\pm \cos \beta =\left|\cos \beta \right|,}

og

h = | a | | | cos β | . {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\left|\cos \beta \right|. }

Vi konkluderer, at

V = A h = | a | | | b × c | | | cos β | , {\displaystyle V=Ah=\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right|\left|\cos \beta \right|,}

som ifølge definitionen af skalarproduktet (eller punktproduktet) svarer til den absolutte værdi af a - (b × c), Q.E.D.

Sidstnævnte udtryk svarer også til den absolutte værdi af determinanten af en tredimensionel matrix, der er opbygget med a, b og c som rækker (eller kolonner):

V = | det [ a 1 a 2 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ] | . {\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|. }

Dette findes ved hjælp af Cramers regel på tre reducerede todimensionale matricer, der er fundet ud fra den oprindelige.

Hvis a, b og c er parallelepipedets kantlængder, og α, β og γ er de indre vinkler mellem kanterne, er rumfanget

V = a b c 1 + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( γ ) - cos 2 ( α ) - cos 2 ( β ) - cos 2 ( γ ) . {\displaystyle V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\,}}. }

Tilsvarende tetraeder

Rumfanget af et tetraeder, der deler tre konvergerende kanter af et parallelepiped, har et rumfang svarende til en sjettedel af rumfanget af dette parallelepiped (se bevis).

For parallelepipeder med et symmetriplan er der to tilfælde:

• den har fire rektangulære flader
• den har to rhombiske flader, mens to af de andre flader er lige store, og de to andre også (de to par er hinandens spejlbilleder).

Se også monoklin.

En rektangulær kubus, også kaldet et rektangulært parallelepiped eller undertiden blot en kubus, er et parallelepiped, hvor alle flader er rektangulære; en terning er en kubus med firkantede flader.

Et rhomboeder er et parallelepiped med alle rombeflader; et trigonalt trapezoeder er et rhomboeder med kongruente rombeflader.

Et perfekt parallelepiped er et parallelepiped med kanter, fladediagonaler og rumdiagonaler af hele tals længde. I 2009 blev det påvist, at der findes snesevis af perfekte parallellepipeder, hvilket var svaret på et åbent spørgsmål fra Richard Guy. Et eksempel har kanterne 271, 106 og 103, de mindre diagonaler 101, 266 og 255, de større diagonaler 183, 312 og 323 og rumdiagonalerne 374, 300, 278 og 272.

Der findes nogle perfekte parallelopipeder med to rektangulære flader. Men det vides ikke, om der findes nogen med alle flader rektangulære; et sådant tilfælde ville blive kaldt en perfekt kubus.

Coxeter kaldte generaliseringen af en parallelepiped i højere dimensioner for en parallelotope.

Specifikt i n-dimensionelle rum kaldes det n-dimensionelle parallelotope, eller blot n-parallelotope. Et parallelogram er således en 2-parallelotope og et parallelepiped er en 3-parallelotope.

Mere generelt har en parallelotop, eller Voronoi-parallelotop, parallelle og kongruente modsatte facetter. En 2-parallelotope er således en parallelogon, som også kan omfatte visse sekskanter, og en 3-parallelotope er en paralleloeder, som omfatter 5 typer polyedre.

Diagonalerne i en n-parallelotop skærer hinanden i ét punkt og er delt i to dele af dette punkt. En omvendelse i dette punkt gør, at n-parallelotopen forbliver uændret. Se også faste punkter for isometrigrupper i det euklidiske rum.

De kanter, der udgår fra et toppunkt i en k-parallelotop, danner en k-ramme ( v 1 , ... , v n ) {\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})} i vektorrummet, og parallelotopen kan genfindes ud fra disse vektorer ved at tage lineære kombinationer af vektorerne med vægte mellem 0 og 1.

N-volumenet af en n-parallelotop indlejret i R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}} hvor m ≥ n {\displaystyle m\geq n}} kan beregnes ved hjælp af Gram-determinanten. Alternativt er volumenet normen for det ydre produkt af vektorerne:

V = ‖ v 1 ∧ ⋯ ⋯ ∧ v n ‖ . {\displaystyle V=\left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right\|. }

Hvis m = n, er det den absolutte værdi af determinanten af de n vektorer.

En anden formel til beregning af rumfanget af en n-parallelotop P i R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}} , hvis n + 1 hjørner er V 0 , V 1 , ... , V n {\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}} , er

V o l ( P ) = | d e t ( [ V 0 1 ] T , [ V 1 1 1 ] T , ... , [ V n 1 ] T ) | , {\displaystyle {\rm {Vol}}(P)=|{{\rm {det}}}\ ([V_{0}\ 1]^{\rm {T}},[V_{1}\ 1]^{\rm {T}},\ldots ,[V_{n}\ 1]^{\rm {T}})|,}

hvor [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]} er den rækkevektor, der er dannet ved sammenkædning af V i {\displaystyle V_{i}}} og 1. Faktisk er determinanten uændret, hvis [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{0}\ 1]} subtraheres fra [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]} (i > 0), og ved at placere [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{0}\ 1]} i den sidste position ændres kun dens fortegn.

På samme måde har volumenet af ethvert n-simplex, der deler n konvergerende kanter af en parallelotop, et volumen svarende til en 1/n! af volumenet af parallelotopen.

Ordet optræder som parallelipipedon i Sir Henry Billingsleys oversættelse af Euklids Elementer, dateret 1570. I 1644-udgaven af sin Cursus mathematicus anvendte Pierre Hérigone stavemåden parallelepipedum. Oxford English Dictionary nævner den nuværende parallelepipedum som værende første gang optrådt i Walter Charleton's Chorea gigantum (1663).

Charles Hutton's Dictionary (1795) viser parallelopiped og parallelopipedon, hvilket viser indflydelsen fra den kombinerende form parallelo-, som om det andet element var pipedon i stedet for epipedon. Noah Webster (1806) indeholder stavemåden parallelopiped. I 1989-udgaven af Oxford English Dictionary beskrives parallelopiped (og parallelipiped) eksplicit som ukorrekte former, men disse er anført uden kommentar i 2004-udgaven, og kun udtaler med vægt på den femte stavelse pi (/paɪ/) er angivet.

En ændring i forhold til den traditionelle udtale har skjult den forskellige opdeling, som de græske rødder lægger op til, idet epi- ("på") og pedon ("jord") kombineres til epiped, et fladt "plan". Således er fladerne i et parallelepiped plan, og de modsatte flader er parallelle.