Gennemsnit (middelværdi) – definition, typer og beregning

Lær hvad middelværdi er, forskelle mellem aritmetisk, geometrisk og median, samt trin-for-trin beregning med eksempler, tolkning og faldgruber.

Forfatter: Leandro Alegsa

11-12-2025 23:06

I matematik og statistik er middelværdien en slags gennemsnit. Ud over det almindelige (aritmetiske) gennemsnit findes der flere andre typer gennemsnit, hver med sine anvendelser, fordele og ulemper.

Hvad er aritmetisk middelværdi?

Det mest almindelige gennemsnit er det aritmetiske gennemsnit. Det beregnes ved at lægge alle værdierne sammen og dividere med antallet af værdier. Hvis værdierne er x1, x2, ..., xn, så er aritmetisk middelværdi:

x̄ = (x1 + x2 + ... + xn) / n

Eksempel og tolkning

Tag f.eks. datasættet 1, 2, 2, 2, 100, 100. Summen af tallene er 1 + 2 + 2 + 2 + 100 + 100 = 207. Der er 6 tal, så det aritmetiske gennemsnit er 207 / 6 = 34,5.

Dette viser en vigtig pointe: det aritmetiske gennemsnit er følsomt over for ekstreme værdier (outliers). Selvom gennemsnittet er 34,5, ligger de fleste observationer omkring 2, så gennemsnittet giver et misvisende billede i dette tilfælde.

Alternative mål for centraltendens for samme datasæt:

Median (midterværdien): For 1,2,2,2,100,100 er medianen gennemsnittet af 3.- og 4.-værdien = (2 + 2) / 2 = 2. Medianen er robust over for ekstreme værdier.
Typetal (modus): Det mest hyppigt forekommende tal er 2.

Andre typer gennemsnit og hvornår man bruger dem

Vægtet middelværdi — bruges når nogle observationer skal tælle mere end andre. Formel: (Σ wi·xi) / (Σ wi). Eksempel: karakterer med vægtninger eller gennemsnitspris med mængde som vægte.
Geometrisk middelværdi — nyttig ved gennemsnitlig vækst eller multiplicative størrelser. Hvis faktorerne er g1, g2, ..., gn, så er geometrisk middelværdi (g1·g2·...·gn)^(1/n). Bruges fx ved årlige vækstrater eller investeringsafkast.
Harmonisk middelværdi — relevant når gennemsnittet af hastigheder eller forhold beregnes (når det er inversen af størrelsen, der summeres). For to hastigheder v1 og v2 for samme distance: harmonisk middel = 2 / (1/v1 + 1/v2). Eksempel: hvis man kører samme distance med 60 km/t og 120 km/t, bliver den gennemsnitlige hastighed 80 km/t.
Trimmet gennemsnit — fjerner en procentdel af de højeste og laveste værdier før beregning af gennemsnittet. Bruges for at reducere effekten af outliers, uden helt at gå over til medianen.

Population vs. stikprøve

I statistik skelner man mellem populationsmiddelværdi (ofte betegnet μ) og stikprøve-middelværdi (ofte betegnet x̄). Begge beregnes principielt på samme måde, men i stikprøve-sammenhænge bruger man gennemsnittet som et estimat af populationsmidlet.

Hvornår skal man vælge hvilket mål?

Brug aritmetisk middelværdi når data er symmetriske og uden ekstreme værdier.
Brug medianen når data er skævt fordelt eller indeholder outliers.
Brug modus når du er interesseret i den hyppigst forekommende værdi.
Brug vægtet gennemsnit når observationerne har forskellig betydning eller hyppighed.
Brug geometrisk eller harmonisk middel når målene er multiplicative eller inverse størrelser.

Kort opsummering

Middelværdi er et begreb for centraltendens — det mest kendte er det aritmetiske gennemsnit.
Der findes flere typer gennemsnit (aritmetisk, vægtet, geometrisk, harmonisk, median, modus), og valget afhænger af datasættets karakter og hvilket spørgsmål man vil besvare.
Vær opmærksom på outliers — de kan trække det aritmetiske gennemsnit væsentligt væk fra, hvad der opleves som "typisk".

Beregningsoplysninger

Generelt gælder det, at for at finde gennemsnittet af N {\displaystyle N} $N$ tal, lægges de N {\displaystyle N} $N$ tal sammen, og det samlede tal divideres med N {\displaystyle N} $N$ .

I symboler, hvis tallene er X 1 {\displaystyle X_{1}}} $X_{1}$ , X 2 {\displaystyle X_{2}} $X_{2}$ , X 3 {\displaystyle X_{3}} $X_{3}$ , ... X N {\displaystyle X_{N}} $X_{N}$ , er den samlede mængde:

X 1 + X 2 + X 3 + . . . + X N {\displaystyle X_{1}+X_{2}+X_{2}+X_{3}+...+X_{N}} $X_{1}+X_{2}+X_{3}+...+X_{N}$

Det samlede tal divideres med N {\displaystyle N} $N$ for at beregne gennemsnittet:

X 1 + X 2 + X 3 + . . . + X N N {\displaystyle {X_{1}+X_{2}+X_{3}+...+X_{N}} \over N}} ${X_{1}+X_{2}+X_{3}+...+X_{N}} \over N$

Hvis X 1 {\displaystyle X_{1}}} $X_{1}$ , X 2 {\displaystyle X_{2}} $X_{2}$ , X 3 {\displaystyle X_{3}} $X_{3}$ , ..., X N {\displaystyle X_{N}}} $X_{N}$ er alle tallene i en stikprøve X {\displaystyle X} $X$ , så kaldes dette gennemsnit også for middelværdien af X {\displaystyle X} $X$ og repræsenteres ved symbolet X ¯ {\displaystyle {\overline {X}}}} ${\overline {X}}$ .

Eksempler

Lucy er 5 år gammel. Tom er 6 år gammel. Emily er 7 år gammel. For at finde den gennemsnitlige alder:

Læg de tre tal sammen :

5 + 6 + 7 = 18 {\displaystyle 5+6+7=18} $5+6+7=18$

· Det samlede antal er 18. Del det samlede tal 18 med tre:

18 / 3 = 6 {\displaystyle 18/3=6} $18/3=6$

· Gennemsnittet af de tre tal er 6.

5 + 6 + 7 3 {\displaystyle {\frac {\frac {5+6+7}{3}}}} ${\frac {5+6+7}{3}}$

Derfor er gennemsnitsalderen for Lucy, Tom og Emily 6 år.

Relaterede beregninger

Ideen bag middelværdien er at repræsentere et antal målinger eller værdier ved hjælp af én enkelt værdi. Men der er forskellige måder at beregne en sådan repræsentativ værdi på.

Medianen er det tal, der deler alle prøverne på en sådan måde, at halvdelen af prøverne ligger under og den anden halvdel over dette tal. Eksempel: 1, 10, 50, 100, 100 er et sæt tal eller scorer. Hvis vi ser på disse scoringer, opdager vi, at tallet 50 falder i midten af talrækken, hvilket fortæller os, at halvdelen af tallene eller scoringerne ligger over dette tal, og halvdelen af tallene og scoringerne ligger under dette tal. Dette er flere oplysninger, afhængigt af hvad du forsøger at finde ud af om denne gruppe af tal, der kan hjælpe dig med at finde ud af det, du ønsker at vide. Det er ikke altid muligt at gøre den øverste og den nederste gruppe til hver præcis halvdelen af totalen (f.eks. mislykkes den lige store deling for listen 1, 2, 2).

Modus eller mode er det tal, der forekommer oftest. Eksempel: 1, 2, 2, 2, 100, 200 er et sæt tal eller point. Hvis vi ser på tallene, opdager vi, at tallet 2 forekommer hyppigst, og det vil fortælle os, at tallet eller scoren 2 er den mest almindelige score eller det mest almindelige tal i gruppen.

Det aritmetiske gennemsnit er blot gennemsnittet, dvs. den værdi, der er summen af alle værdier divideret med deres antal. Det er det, der oftest omtales som middelværdi.

Det geometriske gennemsnit er roden af produktet af alle værdierne. F.eks. er det geometriske gennemsnit af 4, 6 og 9 6, fordi 4 gange 6 gange 9 er 216, og kubikroden (fordi der er tre værdier) af 216 er 6.

Det harmoniske gennemsnit er det reciprokke af det aritmetiske gennemsnit af de reciprokke værdier. Det bruges ofte, når man ønsker et gennemsnit af satser eller procenter.

Kvadratmiddelværdien (eller det kvadratiske gennemsnit) er kvadratroden af det aritmetiske gennemsnit af værdiernes kvadrater. Kvadratværdien er mindst lige så høj som det aritmetiske gennemsnit, og normalt højere.

Hvis folk foretager mange forskellige målinger, vil de få mange forskellige resultater. Disse resultater har en vis fordeling, og de kan også være centreret omkring en gennemsnitsværdi. Denne gennemsnitsværdi er det, som matematikere kalder aritmetisk gennemsnit.

Middelværdi kan også stå for forventet værdi. For en tilfældig variabel X {\displaystyle X} $X$ , er dette repræsenteret ved symbolet E ( X ) {\displaystyle E(X)} $E(X)$ .

Relaterede sider

Standardafvigelse

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er det betyder?

A: Gennemsnittet er en slags gennemsnit, der bruges i matematik og statistik.

Q: Hvordan beregner man det aritmetiske gennemsnit?

A: Det aritmetiske gennemsnit beregnes ved at lægge alle værdierne sammen og derefter dividere med antallet af værdier.

Spørgsmål: Hvad er andre former for gennemsnit ud over gennemsnittet?

A: Nogle andre former for gennemsnit omfatter median, mode og harmonisk gennemsnit.

Spørgsmål: Hvad er nogle former for gennemsnit?

Svar: Nogle former for gennemsnit omfatter aritmetisk gennemsnit, geometrisk gennemsnit og harmonisk gennemsnit.

Spørgsmål: Hvordan kan vi finde ud af, hvilken slags score et sæt tal repræsenterer?

Svar: For at finde ud af, hvilken slags score et sæt tal repræsenterer, er det nødvendigt at se på hver enkelt score eller værdi for at få en forståelse for, hvilken type eller hvilket interval de falder inden for.

Spørgsmål: Hvad fortæller det os, når vi dividerer 205 med 5 i dette eksempel? Svar: Når vi dividerer 205 med 5 i dette eksempel, fortæller det os, at det aritmetiske gennemsnit er 41.

Søge