Hvad er hyperbolisk geometri? Definition, egenskaber og eksempler

Parallelpostulatet i euklidisk geometri siger, at i det todimensionale rum er der for enhver given linje l og et punkt P, der ikke ligger på l, præcis én linje gennem P, der ikke skærer l. Denne linje kaldes parallel til l. I hyperbolisk geometri er der mindst to sådanne linjer gennem P. Da de ikke skærer l, er parallelpostulatet forkert. Der er blevet konstrueret modeller inden for euklidisk geometri, som overholder aksiomerne i hyperbolisk geometri. Disse modeller beviser, at parallelpostulatet er uafhængigt af Euklids andre postulater.

Da der ikke findes nogen hyperbolisk analog til euklidiske parallelle linjer, varierer den hyperboliske brug af parallelle og beslægtede udtryk fra forfattere til forfattere. I denne artikel kaldes de to begrænsende linjer asymptotiske og linjer, der har en fælles vinkelret, kaldes ultraparallelle; det enkle ord parallel kan anvendes på begge.

En interessant egenskab ved hyperbolisk geometri følger af, at der er mere end én parallel linje gennem et punkt P: der findes to klasser af ikke-snittede linjer. Lad B være det punkt på l, hvor linjen PB er vinkelret på l. Betragt linjen x gennem P, således at x ikke skærer l, og vinklen θ mellem PB og x mod uret fra PB er så lille som muligt; dvs. at enhver mindre vinkel vil tvinge linjen til at skære l. Dette kaldes en asymptotisk linje i hyperbolisk geometri. Symmetrisk set vil linjen y, der danner den samme vinkel θ mellem PB og sig selv, men med uret fra PB, også være asymptotisk. x og y er de eneste to linjer gennem P, der er asymptotiske til l. Alle andre linjer gennem P, der ikke skærer l, og som har vinkler større end θ med PB, kaldes ultraparallelle (eller disjointly parallel) til l. Bemærk, at da der findes et uendeligt antal mulige vinkler mellem θ og 90 grader, og hver af dem vil bestemme to linjer gennem P, som er disjointly parallelle med l, findes der et uendeligt antal ultraparallelle linjer.

Vi har således denne modificerede form af det parallelle postulat: I hyperbolisk geometri er der, givet en hvilken som helst linje l og et punkt P, der ikke ligger på l, præcis to linjer gennem P, der er asymptotiske til l, og uendeligt mange linjer gennem P, der er ultraparallelle til l.

Forskellene mellem disse typer af linjer kan også ses på følgende måde: Afstanden mellem asymptotiske linjer går mod nul i den ene retning og vokser ubegrænset i den anden retning; afstanden mellem ultraparallelle linjer vokser i begge retninger. Den ultraparallelle sætning fastslår, at der findes en unik linje i det hyperbolske plan, som er vinkelret på hvert af et givet par ultraparallelle linjer.

I euklidisk geometri er parallelitetsvinklen en konstant; det vil sige, at enhver afstand ‖ B P ‖ {\displaystyle \lVert BP\rVert } mellem parallelle linjer giver en parallelitetsvinkel på 90°. I hyperbolisk geometri varierer parallelitetsvinklen med funktionen Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} . Denne funktion, der er beskrevet af Nikolai Ivanovich Lobachevsky, giver en unik parallelvinkel for hver afstand p = ‖ B P ‖ {\displaystyle p=\lVert BP\rVert } . Når afstanden bliver kortere, nærmer Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} sig 90°, mens Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} med stigende afstand nærmer sig 0°. Efterhånden som afstandene bliver mindre, opfører det hyperbolske plan sig således mere og mere som euklidisk geometri. På små skalaer sammenlignet med 1 - K {\displaystyle {\frac {\frac {1}{\sqrt {-K}}}} , hvor K {\displaystyle K\!} er planets (konstante) gaussiske krumning, vil en observatør have svært ved at afgøre, om han befinder sig i det euklidiske eller det hyperbolske plan.

I århundreder har geometere forsøgt at bevise det parallelle postulat. Det lykkedes dem ikke, men deres bestræbelser gav anledning til den hyperboliske geometri. Alhacen Khayyams sætninger om kvadrilateraler var de første sætninger om hyperbolisk geometri. Deres værker om hyperbolisk geometri havde indflydelse på udviklingen af den hos senere europæiske geometrikere, herunder Witelo, Alfonso og John Wallis.

I det nittende århundrede blev den hyperboliske geometri udforsket af János Bolyai og Nikolai Ivanovich Lobachevsky, efter hvem den nogle gange er opkaldt. Lobachevsky offentliggjorde den i 1830, mens Bolyai uafhængigt opdagede den og offentliggjorde den i 1832. Karl Friedrich Gauss studerede også hyperbolisk geometri og beskrev i et brev fra 1824 til Taurinus, at han havde konstrueret den, men offentliggjorde ikke sit arbejde. I 1868 fremskaffede Eugenio Beltrami modeller af den og brugte dette til at bevise, at hyperbolisk geometri var konsistent, hvis euklidisk geometri var det.

Udtrykket "hyperbolisk geometri" blev introduceret af Felix Klein i 1871. For mere historie, se artiklen om ikke-euklidisk geometri.

Der er tre modeller, der almindeligvis anvendes til hyperbolisk geometri: Klein-modellen, Poincaré-skive-modellen og Lorentz-modellen eller hyperbolmodellen. Disse modeller definerer et reelt hyperbolisk rum, som opfylder aksiomerne for hyperbolisk geometri. Trods navngivningen blev de to skivemodeller og halvplanemodellen indført som modeller af det hyperbolske rum af Beltrami, ikke af Poincaré eller Klein.

1. Klein-modellen, også kendt som den projektive skivemodel og Beltrami-Klein-modellen, bruger det indre af en cirkel som hyperbolisk plan og kredsens strenge som linjer.
2. I Poincaré-modellen med halvplanet antages halvdelen af det euklidiske plan, som bestemmes af en euklidisk linje B, at være det hyperbolske plan (B selv er ikke medtaget).
• Hyperbolske linjer er så enten halvcirkler, der er vinkelrette på B, eller stråler, der står vinkelret på B.
• Begge Poincaré-modeller bevarer hyperboliske vinkler og er dermed konforme. Alle isometrier inden for disse modeller er derfor Möbius-transformationer.
• Halvplansmodellen er identisk (ved grænsen) med Poincaré-skivemodellen ved kanten af skiven
• Denne model har direkte anvendelse på den specielle relativitetsteori, da Minkowski 3-rum er en model for rumtid, hvor den ene rumlige dimension er undertrykt. Man kan antage, at hyperboloiden repræsenterer de begivenheder, som forskellige bevægelige observatører, der udstråler udad i et rumplan fra et enkelt punkt, vil nå i løbet af en fast egentid. Den hyperboliske afstand mellem to punkter på hyperboloiden kan så identificeres med den relative hastighed mellem de to tilsvarende observatører.

M. C. Eschers berømte tryk Cirkelgrænse III Arkiveret 2009-03-18 på Wayback Machine og Cirkelgrænse IV Arkiveret 2009-03-18 på Wayback Machine illustrerer den konforme skivemodel ganske godt. På begge kan man se geodætiske linjer. (I III er de hvide linjer ikke geodætiske linjer, men hypercykler, som løber langs med dem). Man kan også ret tydeligt se den negative krumning af det hyperbolske plan gennem dets virkning på summen af vinkler i trekanter og kvadrater.

I det euklidiske plan ville deres vinkler tilsammen være 450°, dvs. en cirkel og en fjerdedel. Heraf fremgår det, at vinkelsummen af en trekant i det hyperbolske plan må være mindre end 180°. En anden synlig egenskab er eksponentiel vækst. I Circle Limit IV kan man f.eks. se, at antallet af engle og dæmoner Archived 2009-03-18 at the Wayback Machine inden for en afstand af n fra centrum stiger eksponentielt. Dæmonerne har samme hyperboliske areal, så arealet af en kugle med radius n må stige eksponentielt i n.

Der er flere måder at realisere et hyperbolisk plan (eller en tilnærmelse af et hyperbolisk plan) fysisk på. En særlig velkendt papirmodel baseret på pseudosfæren skyldes William Thurston. Hæklekunsten er blevet brugt til at demonstrere hyperboliske planer, hvor den første blev lavet af Daina Taimina. I 2000 demonstrerede Keith Henderson en papirmodel, der er hurtig at lave, og som blev kaldt "den hyperboliske fodbold".

• Coxeter, H. S. M. M. (1942) Non-Euclidean geometry, University of Toronto Press, Toronto
• Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry, Oversætter og redaktør: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010.
• Milnor, John W. (1982) Hyperbolisk geometri: The first 150 years, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 6, Number 1, pp. 9-24.
• Reynolds, William F. (1993) Hyperbolic Geometry on a Hyperboloid, American Mathematical Monthly 100:442-455.
• Stillwell, John. (1996) Sources in Hyperbolic Geometry, bind 10 i AMS/LMS-serien History of Mathematics.
• Samuels, David. (marts 2006) Knit Theory Discover Magazine, bind 27, nummer 3.
• James W. Anderson, Hyperbolic Geometry, Springer 2005, ISBN 1-85233-934-9