Med to positive tal, nemlig a og et mindre tal b, kan man finde forholdet mellem dem ved at dividere dem: forholdet er a/b. Et andet forhold fås ved at lægge de to tal sammen og dividere summen med det større tal a: (a+b)/a. Hvis disse to forhold er lige store, kaldes fællesværdien det gyldne snit. Det græske bogstav {\displaystyle \varphi } (phi) bruges almindeligvis som betegnelse for dette tal.

Hvis vi sætter b = 1 og lader a/b være {\displaystyle \varphi }, bliver a = φ. Det andet forhold (a+b)/a kan da skrives som ()/φ, hvilket i overensstemmelse med definitionen må være lig φ. Dermed får vi

{\displaystyle \varphi ={\frac {\varphi +1}{\varphi }}}

Omskrevet giver det den kvadratiske ligning

φ² = φ + 1, altså φ² − φ − 1 = 0.

Den positive løsning af denne ligning er

{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.618...}

{\displaystyle {\sqrt {5}}} er kvadratroden af 5: når det ganges med sig selv, giver det 5 ( {\displaystyle {\sqrt {5}}\times {\sqrt {5}}=5} ).

Egenskaber

  • Numerisk værdi: φ ≈ 1.6180339887498948482... (irrationelt tal — decimaludviklingen stopper aldrig og gentager aldrig).
  • Selvinvariante relationer: φ − 1 = 1/φ og φ² = φ + 1. Derfor gælder også 1/φ = φ − 1.
  • Konjugat: Den anden rod af φ's kvadratiske ligning er ψ = (1 − √5)/2 ≈ −0.6180339887. De opfylder ψ + φ = 1 og φ·ψ = −1.
  • Kontinuerlig brøk: φ har den simple uendelige kontinuerte brøk [1;1,1,1,...], dvs. φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + ...)).
  • Algebraisk og irrationel: φ er et algebraisk tal (løsning til en heltallig polynomiel ligning med grad 2), men ikke et rationalt tal.
  • Gode rationelle approksimationer: Brøker dannet af på hinanden følgende Fibonacci-tal nærmer sig φ meget hurtigt, fx 13/8 = 1.625, 21/13 ≈ 1.615..., 34/21 ≈ 1.619..., osv.

Forbindelse til Fibonacci

Forholdet mellem to på hinanden følgende tal i Fibonacci‑rækken (Fn+1/Fn) konvergerer mod φ når n → ∞. Dette giver en praktisk måde at nærme sig det gyldne snit med heltalsbrøker.

Anvendelser og forekomster

  • Geometri: Det gyldne snit optræder i en regulær femkant og i forholdene i et regulært femkantet stjernet polygon (pentagram). Et gyldent rektangel har sider i forholdet φ:1 og bevarer sit forhold, når der fjernes et kvadrat — et forhold ofte brugt i kunst og design.
  • Natur: Mønstre i vækst (fx bladplacering, frøstande hos solsikke) og visse spiralformer i sneglehuse og galakser kan beskrives med logaritmiske spiraler relateret til φ.
  • Kunst og arkitektur: Mange kunstnere og arkitekter har anvendt gyldne snit i komposition og proportionering for at opnå æstetisk balance (selvom anvendelsen ofte er mere historisk/mytisk end stringens videnskabelig regel).
  • Matematik og teoretisk fysik: φ dukker op i talteori, kombinatorik, dynamiske systemer og i sammenhænge som Penrose‑fliser, hvor forhold baseret på φ skaber ikke-periodiske flisemønstre.

Opsummering

Det gyldne snit φ er et særligt tal defineret ved forholdet mellem to segmenter, hvor hele segmentet til det største svarer til det største til det mindste. Det er irrationelt, algebraisk af grad 2, opfylder φ² = φ + 1 og kan udtrykkes som φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.6180339887.... Dets enkle aritmetiske og geometriske egenskaber gør det brugbart både i teoretiske sammenhænge og i praktiske anvendelser inden for kunst, natur og design.

Det gyldne snit har desuden en lang tradition for at blive undersøgt i både matematik og æstetik, og det fortsætter med at være et fascinerende emne med mange overraskende forbindelser.