Det gyldne snit

Med et tal, nemlig a, og et andet mindre tal, b, finder man forholdet mellem de to tal ved at dividere dem. Deres forhold er a/b. Et andet forhold findes ved at lægge de to tal sammen og dividere dette med det større tal a. Det nye forhold er (a+b)/a. Hvis disse to forhold er lig med det samme tal, kaldes dette tal det gyldne snit. Det græske bogstav φ {\displaystyle \varphi } $\varphi$ (phi) bruges normalt som betegnelse for det gyldne snit.

Hvis f.eks. b = 1 og a/b = φ {\displaystyle \varphi } $\varphi$ , så er a = φ {\displaystyle \varphi } $\varphi$ . Det andet forhold (a+b)/a er så ( φ + 1 ) / φ {\displaystyle (\varphi +1)/\varphi } $(\varphi +1)/\varphi$ . Da disse to forhold er lige store, er dette sandt:

φ = φ + 1 φ {\displaystyle \varphi ={\frac {\varphi +1}{\varphi }}} $\varphi ={\frac {\varphi +1}{\varphi }}$

En måde at skrive dette tal på er

φ = 1 + 5 2 = 1.618... {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{{\sqrt {5}}}}{2}}}=1.618...} $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.618...$

5 {\displaystyle {\sqrt {5}}}} ${\sqrt {5}}$ er et tal, der, når det ganges med sig selv, giver 5: 5 × 5 = 5 {\displaystyle {\sqrt {5}}}\ gange {\sqrt {5}}}=5} ${\sqrt {5}}\times {\sqrt {5}}=5$ .

Det gyldne snit kaldes et irrationelt tal. Det betyder, at hvis man forsøger at skrive det, vil det aldrig stoppe og aldrig danne et mønster, men det vil starte sådan her: 1.6180339887... En vigtig ting ved dette tal er, at hvis du trækker 1 fra det eller dividerer 1 med det, får du det samme tal.

Gyldent rektangel

Hvis længden af et rektangel divideret med bredden er lig med det gyldne snit, så er rektanglet et "gyldent rektangel". Hvis man skærer et kvadrat af den ene ende af et gyldent rektangel, er den anden ende et nyt gyldent rektangel. På billedet er det store rektangel (blå og lyserødt sammen) et gyldent rektangel, fordi a/b = φ {\displaystyle a/b=\varphi } $a/b=\varphi$ . Den blå del (B) er et kvadrat, og den lyserøde del for sig selv (A) er et andet gyldent rektangel, fordi b / ( a - b ) = φ {\displaystyle b/(a-b)=\varphi } $b/(a-b)=\varphi$ . Det store rektangel og det lyserøde rektangel har samme form, men det lyserøde rektangel er mindre og er vendt.

Det store rektangel BA er et gyldent rektangel, dvs. at forholdet b:a er 1: φ {\displaystyle \varphi } $\varphi$ . For ethvert sådant rektangel, og kun for rektangler med dette specifikke forhold, gælder det, at hvis vi fjerner kvadrat B, er det, der er tilbage, A, endnu et gyldent rektangel, dvs. med de samme forhold som det oprindelige rektangel.

Fibonacci-tal

Fibonacci-tallene er en liste over tal. En person kan finde det næste tal på listen ved at lægge de to sidste tal sammen. Hvis en person dividerer et tal på listen med det tal, der kom før det, kommer dette forhold tættere og tættere på det gyldne snit.

Fibonacci-tallet	divideret med den foregående	forhold
1
1	1/1	= 1.0000
2	2/1	= 2.0000
3	3/2	= 1.5000
5	5/3	= 1.6667
8	8/5	= 1.6000
13	13/8	= 1.6250
21	21/13	= 1.6154...
34	34/21	= 1.6190...
55	55/34	= 1.6177...
89	89/55	= 1.6182...
...	...	...
	φ {\displaystyle \varphi } $\varphi$	= 1.6180...

Det gyldne snit i naturen

I naturen bruges det gyldne snit ofte til at arrangere blade eller blomster. Disse bruger den gyldne vinkel på ca. 137,5 grader. Blade eller blomster, der er arrangeret i denne vinkel, udnytter sollyset bedst.

Desuden er afstanden mellem midten af en persons krop og gulvet og afstanden mellem hovedets krone og rygsøjlens basis begge i overensstemmelse med det gyldne snit. På trods af at det ikke findes i almindelige arkitektoniske og designmæssige mønstre, er Leonardo Fibonaccis opdagelse bredt anerkendt som banebrydende. Det kan tage form af orkaner, elefantstødtænder, myrer, søpindsvin, søstjerner, honningbier og mange andre ting.

Fibonacci-sekvensen begynder med 0 og fortsætter evigt: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 13, 21, 34, 55. Der er en sum af to cifre før hvert ciffer. Selve mønsteret er ret elementært og ubemærket.

Det er indtil du lærer, at dette forhold ligger til grund for Mona Lisa's skønhed, de menneskelige lemmer, datakryptering og endda antallet af spiraler på en solblomsts hoved. Det ser ud til, at universet har en naturlig måde at holde styr på tal på.

Blomster har altid et ulige antal kronblade, hvilket er i overensstemmelse med Fibonacci-sekvensen. F.eks. har fredsliljen tre kronblade, smørblomster har fem, cikorie har 21, tusindfryd har 34 og så videre.

Her er nogle flere naturlige forekomster af det gyldne snit:

Frøhoveder. Blomsterne producerer frø i deres kerne, som derefter spiralformet udad for at fylde blomsterhovedet.

Ananas, blomkål og Romanesco-broccoli. Disse er ligeledes i overensstemmelse med Fibonacci-sekvensen.

Grankogler. Fyrrekogler har spiralmønstre på deres frøkapsler, hvor to spiraler på hver kogle vokser i modsatte retninger, mens de vokser.

Grene af et træ. I naturen ses dette mønster, når et træ udvikler en gren og derefter deler sig i to nye vækstpunkter. Derefter vil kun den ene af de to nye stammer vokse aktivt, mens den anden vil ligge i dvale.

Metoder til fugle, der flyver. Høgefuglens bedste angrebsvinkel er vinkelret på målets flyvevej, hvilket er det samme som spiralens stigning.

Spiralformede galakser. Der er flere spiralarme i Mælkevejen, hver med en logaritmisk spiral på omkring 12 grader.

Ved at bruge den gyldne vinkel udnytter du solens lys optimalt. Dette er et kig fra toppen.

Et blad af almindelig vedbend, der viser det gyldne snit

Relaterede sider

Fibonacci-tallene
Phi

Spørgsmål og svar

Sp: Hvad er forholdet mellem to tal?

Svar: Forholdet mellem to tal findes ved at dividere dem, så forholdet vil være a/b.

Spørgsmål: Hvordan kan man finde et andet forhold?

Svar: Man kan finde et andet forhold ved at lægge de to tal sammen og derefter dividere denne sum med det større tal, a. Dette nye forhold ville være (a+b)/a.

Spørgsmål: Hvad hedder det, når disse to forhold er lig med hinanden?

A: Når disse to forhold er lig med hinanden, kaldes det det gyldne snit. Det repræsenteres normalt med det græske bogstav צ eller phi.

Spørgsmål: Hvis b = 1 og a/b = צ , hvad betyder det så for a?

Svar: Hvis b = 1 og a/b = צ , betyder det, at a også er צ.

Spørgsmål: Hvordan kan man skrive dette tal?

Svar: En måde at skrive dette tal på er צ = 1 + 5 / 2 = 1,618...

Spørgsmål: Hvad betyder det, hvis man trækker 1 fra det eller dividerer 1 med det?

Svar: Hvis du trækker 1 fra det eller dividerer 1 med det, får du det samme tal tilbage - med andre ord vil de begge være lig med det gyldne snit.

Spørgsmål: Er det gyldne snit et irrationelt tal?

Svar: Ja, det gyldne snit er et irrationelt tal, hvilket betyder, at hvis nogen forsøger at skrive det ud, vil der aldrig være en ende og intet mønster - kun starte med noget som "1,6180339887...".