Algebraiske løsninger — definition, metoder og Abel–Ruffini-sætningen

Algebraiske løsninger: definition, metoder og Abel–Ruffini — lær om rødder, kvadratiske/kubiske/kvartiske formler og hvorfor generelle 5.-gradsligninger ikke har algebraiske løsninger.

Algebraisk løsning betegner et udtryk, der giver rødderne til en algebraisk ligning alene ved hjælp af de elementære algebraiske operationer: addition, subtraktion, multiplikation, division og udtrækning af rødder (kvadratrødder, terningerødder osv.). Et algebraisk udtryk af denne type kaldes også en løsning “ved rødder” eller “ved radikaler”.

Eksempler på algebraiske løsninger

Det mest kendte eksempel er løsningen af den generelle kvadratiske ligning. For ligningen

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a , {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}},}

a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}

(hvor a ≠ 0). Denne formel udtrykker rødderne udelukkende ved hjælp af addition, subtraktion, multiplikation, division og kvadratrod — altså en algebraisk løsning.

Der findes også algebraiske formler for den generelle kubiske ligning (Cardanos formel) og den generelle kvartiske ligning (Ferraris metode). Disse udtryk er mere komplicerede end kvadratisk formel, men er stadig givet ved radikaler.

Metoder til at finde algebraiske løsninger

• Direkte faktorisering: Hvis et polynomium kan faktoriseres i laveregradspolynomier med kendte rødder, kan rødderne findes algebraisk.
• Substitution og reduktion: Tschirnhaus-transformationer og andre substitutioner kan reducere et polynomium til en enklere form, som er mulig at løse ved radikaler.
• Cardano og Ferrari: Klassiske metoder til kubiske og kvartiske ligninger som giver eksplicitte radikale udtryk.
• Symmetri og gruppeovervejelser: Ved at studere symmetrier i rødderne (permutationsgrupper) kan man afgøre, om løsningen kan udtrykkes ved radikaler.

Begrænsninger: Abel–Ruffini-sætningen

Abel–Ruffini-sætningen siger, at der ikke findes nogen algebraisk formel (dvs. ingen udtryk ved hjælp af en endelig kombination af +, −, ×, ÷ og n’te rødder) som løser den generelle polynomiske ligning af grad n for n ≥ 5. Med andre ord: der findes ingen universel formel i radikaler, der giver rødderne for alle polynomier af grad fem eller højere.

Bemærk nøje ordet generelle: sætningen siger ikke, at ingen enkel grad ≥ 5-polynomium kan løses ved radikaler — den siger, at der ikke er en enkelt formel, der virker for alle sådanne polynomier. Mange polynomier af højere grad er stadig algebraisk løselige, hvis deres struktur er særlig (f.eks. hvis polynomiet faktoriserer, eller hvis dets Galoisgruppe er en løselig gruppe).

Den moderne forklaring bygger på Galois-teori: et polynomium er løseligt ved radikaler præcis når dets Galois-gruppe (over rationals) er en løselig gruppe. Abel–Ruffini viser, at den typiske (generelle) Galois-gruppe for et grad-5-polynomium er S5, som ikke er løselig, og derfor er en universel radikalformel umulig.

Undtagelser og alternative repræsentationer

Selv om en generel kvintisk ligning ikke har en formel i radikaler, findes der særlige kvintiske polynomier, som er løselige ved radikaler. Desuden kan rødder i mange tilfælde udtrykkes ved andre elementære eller specielle funktioner:

• Visse kvintiske kan nedbringes til en form, der er løselig ved radikaler.
• Nogle ligninger kan udtrykkes ved elliptiske funktioner eller hypergeometriske funktioner — det giver ikke en løsning "ved radikaler", men en lukket, analytisk repræsentation.
• Hvis polynomiet er af formen x^m = a (en såkaldt enkel potensligning), er løsningen åbenlys ved udtrækning af rødder: x = a^{1/m}.

Eksempel på en sådan simpel løsning:

x 10 = a {\displaystyle x^{10}=a}

x = a 1 / 10 . {\displaystyle x=a^{1/10}. }

Praktiske metoder når algebraiske løsninger ikke findes

• Numeriske metoder: Newton–Raphson, Durand–Kerner, Jenkins–Traub m.fl. giver effektive numeriske approksimationer af rødder.
• Symbolsk manipulation: Computeralgebra-systemer kan i mange tilfælde udføre faktorisering, finde præcis algebraisk repræsentation af rødder (f.eks. som udtryk i radikaler eller som algebraiske tal i et udtryk), når det er muligt.
• Specielle funktioner: I mangel af radikalformler kan rødder beskrives med elliptiske eller andre specielle funktioner, hvilket ofte er nyttigt i teoretiske sammenhænge.

Afsluttende bemærkninger

Algebraiske tal er netop tal, der er rødder til et ikke-trivielt polynomium med heltalskoefficienter; når sådanne rødder kan udtrykkes ved radikaler, har man en algebraisk løsning i den klassiske forstand. Abel–Ruffini-sætningen begrænser, hvad man kan forvente i form af generelle radikale formler, men langt fra alle praktiske problemer rammes — mange ligninger kan behandles enten symbolsk, numerisk eller via specialfunktioner.

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er en algebraisk løsning?

Spørgsmål: Hvad er et velkendt eksempel på en algebraisk løsning?

Spørgsmål: Er der en mere kompliceret løsning for ligninger af højere grad?

Spørgsmål: Har alle polynomielle ligninger en algebraisk løsning?

Spørgsmål: Er der nogen betingelser, hvorunder vi kan få algebraiske løsninger for ligninger af højere grad?

Spørgsmål: Hvordan løser man en kvadratisk ligning?

Søg efter bogstav