Algebraiske varieteter: definition, egenskaber og Nullstellensatz
Lær om algebraiske varieteter: definition, egenskaber og Hilberts Nullstellensatz — central i algebraisk geometri, korrespondance mellem idealer og geometriske løsninger.
I matematik er algebraiske varieteter (ofte også kaldet algebraiske sorter eller blot sorter) et centralt studieobjekt inden for algebraisk geometri. Intuitivt er en algebraisk varietet de løsninger i et affint rum til et system af polynomielle ligninger. De klassiske definitioner betragtede sådanne løsninger over de reelle eller komplekse tal, men moderne formuleringer arbejder ofte over et hvilket som helst algebraisk lukkede felt eller endda over mere generelle baser.
Definition og grundbegreber
En simpel, konkret definition er: en (affin) algebraisk mængde er mængden af fælles nulpunkter til en familie af polynomer i k[x1,…,xn]. Altså er en algebraisk varietet en algebraisk mængde, som man ofte kræver at være irreducibel (dvs. ikke skrivbar som union af to strengere lukkede delmængder i Zariski-topologien). Når man kræver irreducibilitet, bruges udtrykket "algebraisk mængde" til at dække også de reducible tilfælde.
Zariski-topologien
En central struktur er Zariski-topologien på det affinte rum knyttet til polynomringen: de lukkede sæt er netop de algebraiske mængder (fælles nulpunkter til polynomer). Zariski-topologien er meget "fin" (få åbne sæt) sammenlignet med den euklidiske topologi, men den afspejler algebraiske egenskaber direkte og er dermed velegnet i algebraisk geometri.
Koordinatring og korrespondance
Til en affine algebraisk varietet V tilknytter man koordinatringen k[V] = k[x1,…,xn]/I(V), hvor I(V) er idealet af alle polynomer, der annullerer på V. Denne ring indeholder al den algebraiske information om V. Mange geometriske spørgsmål om V kan omskrives til spørgsmål om ringen k[V] og om idealer i polynomringen — det er denne korrespondance, der gør algebraisk geometri så tæt forbundet med
algebra og især med ringteori.
Nullstellensatz (Hilberts Nullstellensatz)
Hilberts Nullstellensatz er et af de fundamentale resultater i klassisk algebraisk geometri. I sin mest brugte formuleringsvariant siger den groft: der er en tæt korrespondance mellem radicale idealer i polynomringen k[x1,…,xn] (over et algebraisk lukket felt k) og affine algebraiske mængder i k^n. Konsekvenser og versioner:
- Svag Nullstellensatz: Hvis I er et ideal i k[x1,…,xn] og I ikke er hele ringen, så har I en fælles fælles løsning i en algebraisk lukket udvidelse af k.
- Stærk Nullstellensatz: For et ideal I gælder I(V(I)) = rad(I), hvor V(I) er mængden af fælles nulpunkter og rad(I) er idealets radikal. Dermed identificeres radikale idealer med algebraiske mængder.
Denne korrespondance gør det muligt at studere geometriske egenskaber via algebraiske metoder og omvendt — et centralt tema i algebraisk geometri, som man kan se af analogien med Algebraens fundamentale sætning, der knytter polynomier til deres rødder.
Irreducible vs. reducible; varieteter vs. mangfoldigheder
En varietet kaldes irreducibel, hvis den ikke kan skrive som en ikke-triviel union af Zariski-lukkede delmængder. Mange forfattere kræver irreducibilitet i definitionen af en "varietet"; ellers bruger man begrebet "algebraisk mængde" for generelle unionssituationer. Begrebet mangfoldighed (variety/manifold) fra differentialgeometri svarer på mange måder til en glat algebraisk varietet, men en vigtig forskel er, at en algebraisk varietet kan have singulariteter (punkter, hvor tangentrummet springer i dimension), mens en (differentiabel) mangfoldighed er glat overalt.
Singulariteter og dimension
Dimension er et grundlæggende invariants: for en affine varietet svarer dimensionen til transcendentgraden af dens funktionfelt eller til kæden af irreducible lukkede delmængder. Singulære punkter defineres algebraisk via rangkrav på Jacobi-matricen for de polynomielle ligninger eller via egenskaber af lokalringen ved punktet. Studiet af singulariteter er vigtigt både teoretisk og i anvendelser.
Eksempler
- En løs linje i k^2: givet af en lineær ligning; affint isomorf med k.
- En cirkel i R^2: givet af x^2 + y^2 − 1 = 0 — over reelle tal er dette et klassisk eksempel; over et algebraisk lukket felt som C er den topologiske fortolkning anderledes.
- Planære kurver som ellipse, hyperbel og nodale kurver illustrerer forskellen mellem glatte og singulære varieteter.
Grundlæggende konsekvenser og anvendelser
Nullstellensatz og koordinatrings-tilgangen betyder, at mange geometriske problemer kan oversættes til algebraiske problemer om idealer og ringegenskaber. Det giver adgang til teknikker fra kommutativ algebra (som primideal-teori, primfaktorisering, dimensionsteori) og gør det muligt at forbinde geometri med talteori, representations-teori, kompleks analyse og mere.
Varieteter vs. moderne generaliseringer
Moderne algebraisk geometri bruger ofte kategorien af schemer for at håndtere situationer, hvor basefelter, nilpotente elementer eller globale sammenføjninger spiller en rolle. Schemer generaliserer varieteter og bevarer mange af de intuitive geometriske idéer, men giver større fleksibilitet i algebraiske konstruktioner.
Afsluttende bemærkninger
Algebraiske varieteter står dermed som bindeleddet mellem algebra og geometri: fra den simple forbindelse mellem polynomier og deres rødder til Hilberts Nullstellensatz og videre til moderne schemeteori. Ved at oversætte geometriske problemer til studiet af idealer og ringe får man magtfulde værktøjer, og samtidig giver geometrisk intuition ofte vejledning i algebraiske beviser og konstruktioner.
Den snoede kubik er en projektiv algebraisk sort.
Spørgsmål og svar
Spørgsmål: Hvad er algebraiske sorter?
Svar: Algebraiske sorter er et af de centrale studieobjekter i algebraisk geometri. De er defineret som mængden af løsninger af et system af polynomielle ligninger over de reelle eller komplekse tal.
Spørgsmål: Hvordan adskiller moderne definitioner sig fra den oprindelige definition?
A: Moderne definitioner forsøger at bevare den geometriske intuition bag den oprindelige definition, samtidig med at de generaliserer den. Nogle forfattere kræver, at en "algebraisk variation" pr. definition er irreducible (hvilket betyder, at den ikke er foreningen af to mindre mængder, der er lukkede i Zariski-topologien), mens andre ikke kræver det.
Spørgsmål: Hvad er en forskel mellem en variation og en mangfoldighed?
A: En variation kan have singulære punkter, mens en manifold ikke har det.
Spørgsmål: Hvad fastslår algebraens fundamentale sætning?
Svar: Algebraens fundamentale sætning etablerer en forbindelse mellem algebra og geometri ved at vise, at et monisk polynomium i én variabel med komplekse koefficienter (et algebraisk objekt) er bestemt af mængden af dets rødder (et geometrisk objekt).
Sp: Hvad giver Hilberts nullstellensatz?
Svar: Hilberts nullstellensatz giver en grundlæggende korrespondance mellem idealer i polynomiale ringe og algebraiske mængder.
Spørgsmål: Hvordan er denne korrespondance blevet anvendt af matematikere?
A: Matematikere har etableret en stærk korrespondance mellem spørgsmål om algebraiske mængder og spørgsmål om ringteori ved hjælp af denne korrespondance.
Spørgsmål: Hvad gør dette særlige område unikt blandt andre underområder inden for geometri? Svar: Denne stærke korrespondance mellem spørgsmål om algebraiske mængder og spørgsmål om ringteori gør dette område unikt blandt andre delområder inden for geometri.
Søge