Algebraisk sort
I matematik er algebraiske sorter (også kaldet sorter) et af de centrale studieobjekter inden for algebraisk geometri. De første definitioner af algebraiske sorter definerede dem som mængden af løsninger af et system af polynomielle ligninger over de reelle eller komplekse tal. Moderne definitioner af en algebraisk sort generaliserer dette begreb, samtidig med at de forsøger at bevare den geometriske intuition bag den oprindelige definition.
Der er forskellige konventioner for definitionen af en algebraisk sort: Nogle forfattere kræver, at en "algebraisk sort" pr. definition er irreducible (hvilket betyder, at den ikke er foreningen af to mindre mængder, der er lukkede i Zariski-topologien), mens andre ikke kræver det. Når den førstnævnte konvention anvendes, kaldes ikke-irreducible algebraiske sorter for algebraiske mængder.
Begrebet variation svarer til begrebet mangfoldighed. En forskel mellem en sort og en mangfoldighed er, at en sort kan have singulære punkter, mens en mangfoldighed ikke har det. Algebraens fundamentale sætning, der blev bevist omkring år 1800, etablerer en forbindelse mellem algebra og geometri ved at vise, at et monisk polynomium i én variabel med komplekse koefficienter (et algebraisk objekt) er bestemt af mængden af dets rødder (et geometrisk objekt). Hilberts Nullstellensatz, der generaliserer dette resultat, giver en grundlæggende korrespondance mellem idealer i polynomiske ringe og algebraiske mængder. Ved hjælp af Nullstellensatz og beslægtede resultater har matematikere etableret en stærk korrespondance mellem spørgsmål om algebraiske mængder og spørgsmål om ringteori. Denne korrespondance er algebraisk geometris særpræg blandt de andre delområder af geometrien.
Den snoede kubik er en projektiv algebraisk sort.
Spørgsmål og svar
Spørgsmål: Hvad er algebraiske sorter?
Svar: Algebraiske sorter er et af de centrale studieobjekter i algebraisk geometri. De er defineret som mængden af løsninger af et system af polynomielle ligninger over de reelle eller komplekse tal.
Spørgsmål: Hvordan adskiller moderne definitioner sig fra den oprindelige definition?
A: Moderne definitioner forsøger at bevare den geometriske intuition bag den oprindelige definition, samtidig med at de generaliserer den. Nogle forfattere kræver, at en "algebraisk variation" pr. definition er irreducible (hvilket betyder, at den ikke er foreningen af to mindre mængder, der er lukkede i Zariski-topologien), mens andre ikke kræver det.
Spørgsmål: Hvad er en forskel mellem en variation og en mangfoldighed?
A: En variation kan have singulære punkter, mens en manifold ikke har det.
Spørgsmål: Hvad fastslår algebraens fundamentale sætning?
Svar: Algebraens fundamentale sætning etablerer en forbindelse mellem algebra og geometri ved at vise, at et monisk polynomium i én variabel med komplekse koefficienter (et algebraisk objekt) er bestemt af mængden af dets rødder (et geometrisk objekt).
Sp: Hvad giver Hilberts nullstellensatz?
Svar: Hilberts nullstellensatz giver en grundlæggende korrespondance mellem idealer i polynomiale ringe og algebraiske mængder.
Spørgsmål: Hvordan er denne korrespondance blevet anvendt af matematikere?
A: Matematikere har etableret en stærk korrespondance mellem spørgsmål om algebraiske mængder og spørgsmål om ringteori ved hjælp af denne korrespondance.
Spørgsmål: Hvad gør dette særlige område unikt blandt andre underområder inden for geometri? Svar: Denne stærke korrespondance mellem spørgsmål om algebraiske mængder og spørgsmål om ringteori gør dette område unikt blandt andre delområder inden for geometri.
