Algebraisk geometri

Algebraisk geometri er en gren af matematikken, der beskæftiger sig med polynomiske ligninger. Moderne algebraisk geometri er baseret på mere abstrakte teknikker fra abstrakt algebra, især kommutativ algebra, med geometriens sprog og problemer.

De vigtigste studieobjekter i algebraisk geometri er algebraiske sorter, som er geometriske manifestationer af sæt af løsninger af systemer af polynomielle ligninger. Eksempler på de mest studerede klasser af algebraiske sorter er: plane algebraiske kurver, som omfatter linjer, cirkler, parabler, ellipser, hyperboler, kubiske kurver som elliptiske kurver og kvartiske kurver som lemniscater og Cassini-ovaler. Et punkt i planen hører til en algebraisk kurve, hvis dets koordinater opfylder en given polynomiel ligning. Grundlæggende spørgsmål omfatter undersøgelse af punkter af særlig interesse som f.eks. singulære punkter, bøjningspunkter og punkter i uendelighed. Mere avancerede spørgsmål omfatter kurvens topologi og relationer mellem kurver, der er givet ved forskellige ligninger.

Algebraisk geometri indtager en central plads i moderne matematik. De begreber, den anvender, forbinder den med så forskellige områder som kompleks analyse, topologi og talteori. I begyndelsen handlede algebraisk geometri om at studere systemer af polynomielle ligninger i flere variabler. Algebraisk geometri starter der, hvor ligningsløsning slutter: I mange tilfælde er det vigtigere at finde de egenskaber, som alle løsninger af et givet sæt ligninger har, end at finde en bestemt løsning: dette fører ind på nogle af de dybeste områder i hele matematikken, både begrebsmæssigt og teknisk.

I det 20. århundrede er algebraisk geometri blevet opdelt i flere delområder.

  • Hovedstrømmen af algebraisk geometri er afsat til studiet af de komplekse punkter af algebraiske sorter og mere generelt til punkterne med koordinater i et algebraisk lukket felt.
  • Undersøgelsen af punkterne i en algebraisk sort med koordinater i feltet af de rationelle tal eller i et talfelt blev aritmetisk geometri (eller mere klassisk diophantinsk geometri), et underområde af algebraisk talteori.
  • Studiet af de reelle punkter i en algebraisk sort er emnet for den reelle algebraiske geometri.
  • En stor del af singularitetsteorien er helliget singulariteterne i algebraiske sorter.
  • Da computere blev mere almindelige, udviklede der sig et område kaldet "computational algebraisk geomeri". Det beskæftiger sig med krydsfeltet mellem algebraisk geometri og computeralgebra. Det drejer sig om udvikling af algoritmer og software til at studere og finde egenskaberne ved eksplicit givne algebraiske variationer.

En stor del af udviklingen af hovedstrømmen af algebraisk geometri i det 20. århundrede fandt sted inden for en abstrakt algebraisk ramme, med stigende vægt på "iboende" egenskaber af algebraiske sorter, der ikke er afhængige af en bestemt måde at indlejre sorten i et omgivende koordinatrum. Udviklingen inden for topologi, differentialgeometri og kompleks geometri foregik stort set på samme måde. Et af de vigtigste resultater af denne abstrakte algebraiske geometri er Grothendiecks skema-teori, som gør det muligt at bruge sheaf-teori til at studere algebraiske sorter på en måde, der minder meget om dens anvendelse i studiet af differentielle og analytiske mangfoldigheder. Dette opnås ved at udvide punktbegrebet: I klassisk algebraisk geometri kan et punkt i en affin sort identificeres med et maksimalt ideal i koordinatringen gennem Hilberts nullstellensatz, mens punkterne i det tilsvarende affine skema er alle primidealer i denne ring. Det betyder, at et punkt i et sådant skema kan være enten et almindeligt punkt eller en undervariant. Denne fremgangsmåde gør det også muligt at forene sproget og værktøjerne i den klassiske algebraiske geometri, som hovedsagelig beskæftiger sig med komplekse punkter, og i algebraisk talteori. Wiles' bevis for den gamle formodning, der kaldes Fermats sidste sætning, er et eksempel på denne fremgangsmådes styrke.

Denne Togliatti-overflade er en algebraisk overflade af femte grad. Billedet repræsenterer en del af dens reelle stedZoom
Denne Togliatti-overflade er en algebraisk overflade af femte grad. Billedet repræsenterer en del af dens reelle sted

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er algebraisk geometri?


Svar: Algebraisk geometri er en gren af matematikken, der studerer polynomielle ligninger.

Spørgsmål: Hvilke teknikker anvendes i moderne algebraisk geometri?


A: Moderne algebraisk geometri anvender mere abstrakte teknikker fra abstrakt algebra, såsom kommutativ algebra, til at behandle sproget og problemerne i geometri.

Spørgsmål: Hvilken type ligninger undersøger algebraisk geometri?


Svar: Algebraisk geometri undersøger polynomiske ligninger.

Spørgsmål: Hvordan bruger den abstrakt algebra?


A: Den bruger abstrakt algebra, især kommutativ algebra, til at forstå sproget og problemerne i forbindelse med geometri.

Spørgsmål: Er der en bestemt type sprog, der anvendes på dette område?


Svar: Ja, moderne algebraisk geometri anvender det sprog og de problemer, der er forbundet med geometri.

Spørgsmål: Hvordan har moderne teknologi påvirket dette område?


A: Moderne teknologi har gjort det muligt at anvende mere avancerede teknikker fra abstrakt algebra til at studere polynomielle ligninger på dette område.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3