Cirkel | en rund, todimensionel form

En cirkel er en rund, todimensional form. Alle punkter på kanten af cirklen er i samme afstand fra centrum.

En cirkels radius er en linje fra cirklens centrum til et punkt på siden. Matematikere bruger bogstavet r {\displaystyle r} for længden af en cirkels radius. En cirkels centrum er punktet i midten af cirklen. Det skrives ofte som O {\displaystyle O} $O$ .

Diameteren (som betyder "hele vejen igennem") af en cirkel er en lige linje, der går fra den ene side til den modsatte side og lige igennem cirklens centrum. Matematikere bruger bogstavet d {\displaystyle d} $d$ for længden af denne linje. Diameteren af en cirkel er lig med det dobbelte af dens radius ( d {\displaystyle d} $d$ er lig med 2 gange r {\displaystyle r} ):

d = 2 r {\displaystyle d=2r} $d=2r$

Omkredsen (som betyder "hele vejen rundt") af en cirkel er den linje, der går rundt om cirklens centrum. Matematikere bruger bogstavet C {\displaystyle C} $C$ for længden af denne linje.

Tallet π (skrevet som det græske bogstav pi) er et meget nyttigt tal. Det er længden af omkredsen divideret med længden af diameteren ( π {\displaystyle \pi } $\pi$ er lig med C {\displaystyle C} $C$ divideret med d {\displaystyle d} $d$ ). Som brøkdel er tallet π {\displaystyle \pi } $\pi$ lig med ca. 22 / 7 {\displaystyle 22/7} $22/7$ eller 355 / 113 {\displaystyle 355/113} $355/113$ (hvilket er det nærmeste) og som tal er det ca. 3,1415926535.

Arealet, A {\displaystyle A} $A$ , inden for en cirkel er lig med radius ganget med sig selv og derefter ganget med π {\displaystyle \pi } $\pi$ ( A {\displaystyle A} $A$ er lig med π {\displaystyle \pi } $\pi$ gange r {\displaystyle r} gange r {\displaystyle r} ).

Cirklens areal er lig med π {\displaystyle \pi } $\pi$ gange arealet af det grå kvadrat.

En cirkel

Beregning af π

π {\displaystyle \pi } $\pi$ kan måles ved at tegne en cirkel og derefter måle dens diameter ( d {\displaystyle d} $d$ ) og omkreds ( C {\displaystyle C} $C$ ). Dette skyldes, at omkredsen af en cirkel altid er lig med π {\displaystyle \pi } $\pi$ gange dens diameter.

π = C d {\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}} $\pi ={\frac {C}{d}}$

π {\displaystyle \pi } $\pi$ kan også beregnes udelukkende ved hjælp af matematiske metoder. De fleste metoder, der anvendes til at beregne værdien af π {\displaystyle \pi } $\pi$ , har ønskelige matematiske egenskaber. De er dog svære at forstå uden at kende trigonometri og regning. Nogle metoder er dog ret enkle, f.eks. denne form af Gregory-Leibniz-serien:

π = 4 1 - 4 3 + 4 5 - 4 7 + 4 9 - 4 11 ... {\displaystyle \pi ={\frac {4}{1}}}-{\frac {4}{3}}}+{\frac {4}{5}}}-{\frac {4}{7}}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}}\,\ldots } $\pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}\,\ldots$

Selv om denne serie er let at skrive og beregne, er det ikke let at se, hvorfor den er lig med π {\displaystyle \pi } $\pi$ . En meget nemmere måde at gribe det an på er at tegne en imaginær cirkel med radius r {\displaystyle r} centreret om oprindelsen. Så vil ethvert punkt ( x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} ), hvis afstand d {\displaystyle d} $d$ fra oprindelsen er mindre end r {\displaystyle r} , beregnet ved hjælp af pythagoras' sætning, ligge inden for cirklen:

d = x 2 + y 2 {\displaystyle d={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} $d={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

Ved at finde et sæt punkter inden for cirklen kan cirklens areal A {\displaystyle A} $A$ estimeres, f.eks. ved at bruge hele koordinater for et stort r {\displaystyle r} . Da arealet A {\displaystyle A} $A$ af en cirkel er π {\displaystyle \pi } $\pi$ gange radius i kvadrat, kan π {\displaystyle \pi } $\pi$ tilnærmes ved hjælp af følgende formel:

π = A r 2 {\displaystyle \pi ={\frac {A}{r^{2}}}} $\pi ={\frac {A}{r^{2}}}$

Beregning af arealet, omkredsen, diameteren og radius af en cirkel

Område

Ved hjælp af dens radius: A = π r 2 {\displaystyle A=\pi r^{2}} $A=\pi r^{2}$

Ved hjælp af dens diameter: A = π d 2 4 {\displaystyle A={{\frac {\pi d^{2}}}{4}}}} $A={\frac {\pi d^{2}}{4}}$

Ved hjælp af dens omkreds: A = C 2 4 π {\displaystyle A={\frac {C^{2}}}{4\pi }}} $A={\frac {C^{2}}{4\pi }}$

Omkreds

Ved hjælp af dens diameter: C = π d {\displaystyle C=\pi d} $C=\pi d$

Ved hjælp af dens radius: C = 2 π r {\displaystyle C=2\pi r} $C=2\pi r$

Ved hjælp af sit område: C = 2 π A {\displaystyle C=2{\sqrt {\pi A}}} $C=2{\sqrt {\pi A}}$

Diameter

Ved hjælp af dens radius: d = 2 r {\displaystyle d=2r} $d=2r$

Ved hjælp af dens omkreds: d = C π {\displaystyle d={\frac {C}{\pi }}} $d={\frac {C}{\pi }}$

Ved hjælp af dens areal: d = 2 A π {\displaystyle d=2{\sqrt {\frac {A}{\pi }}}} $d=2{\sqrt {\frac {A}{\pi }}}$

Radius

Ved hjælp af dens diameter: r = d 2 {\displaystyle r={\frac {d}{2}}}} $r={\frac {d}{2}}$

Ved hjælp af dens omkreds: r = C 2 π {\displaystyle r={\frac {C}{2\pi }}} $r={\frac {C}{2\pi }}$

Ved hjælp af dens areal: r = A π {\displaystyle r={\sqrt {\frac {A}{\pi }}}} $r={\sqrt {\frac {A}{\pi }}}$

Relaterede sider

Halvcirkel
Kugle
At gøre cirklen til en firkant
Pi
Pi (bogstav)
Tau

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er en cirkel?

A: En cirkel er en rund, todimensionel form. Alle punkter på kanten af cirklen er i samme afstand fra centrum.

Q: Hvad bruger matematikere til at repræsentere længden af en cirkels radius?

A: Matematikere bruger bogstavet r til at angive længden af en cirkels radius.

Spørgsmål: Hvad skrives som O i cirkler?

Svar: Centrum i en cirkel skrives ofte som O.

Sp: Hvor lang er diameteren på en cirkel?

Svar: Diameteren (som betyder "hele vejen igennem") i en cirkel er en lige linje, der går fra den ene side til den modsatte side og lige igennem cirklens centrum. Den er lig med det dobbelte af dens radius (d er lig med 2 gange r).

Sp: Hvilket bogstav bruger matematikere til at repræsentere omkredsen?

A: Matematikere bruger C for omkreds, som betyder "hele vejen rundt".

Spørgsmål: Hvordan kan vi beregne arealet inden for en cirkel?

A: Arealet, A, inden for en cirkel kan beregnes ved at gange dens radius med sig selv og derefter multipliceres med ً (A er lig med ً gange r gange r).