Hyperbel
En hyperbel er en type keglesnit. Ligesom de tre andre typer keglesnit - parabler, ellipser og cirkler - er det en kurve, der er dannet af skæringspunktet mellem en kegle og et plan. En hyperbel opstår, når planen skærer begge halvdele af en dobbeltkegle, hvorved der opstår to kurver, der ligner hinanden på en prik, men som åbner sig i modsatte retninger. Dette sker, når vinklen mellem keglens akse og planen er mindre end vinklen mellem en linje på siden af keglen og planen.
Hyperbolaer findes mange steder i naturen. F.eks. kan et objekt i en åben bane omkring et andet objekt - hvor det aldrig vender tilbage - bevæge sig i form af en hyperbel. På et solur er den vej, som skyggens spids følger over tid, en hyperbel.
En af de mest kendte hyperboler er grafen for ligningen f ( x ) = 1 / x {\displaystyle f(x)=1/x}
.
En hyperbel er skæringspunktet mellem begge halvdele af en dobbeltkegle og et plan.
Definitioner og ligninger
De to adskilte kurver, der udgør en hyperbel, kaldes arme eller grene.
De to punkter, hvor grenene er tættest på hinanden, kaldes toppunkterne. Linjen mellem disse to punkter kaldes den tværgående akse eller hovedakse. Midtpunktet af den tværgående akse er hyperbolens centrum.
Ved store afstande fra centrum nærmer hyperbolens grene sig to rette linjer. Disse to linjer kaldes asymptoterne. Efterhånden som afstanden fra centrum øges, kommer hyperbolen tættere og tættere på asymptoterne, men skærer dem aldrig.
Den konjugerede akse eller lille akse er vinkelret på eller vinkelret på den tværgående akse. Den konjugerede akse har sit endepunkt i den højde, hvor et segment, der skærer toppunktet og er vinkelret på den tværgående akse, skærer asymptoterne.
En hyperbel, der har centrum i det kartesiske koordinatsystems oprindelse, som er punktet (0,0), og som har en tværgående akse på x-aksen, kan skrives som ligningen
x 2 a 2 - y 2 b 2 2 = 1. {\displaystyle {\frac {\frac {x^{2}}}{a^{2}}}}-{\frac {y^{2}}}{b^{2}}}}=1.} 
a er afstanden mellem centrum og et toppunkt. Længden af den tværgående akse er lig med 2a. b er længden af et vinkelret linjestykke fra et toppunkt til en asymptote. Længden af den konjugerede akse er lig med 2b.
De to grene af ovenstående type hyperbel åbner sig til venstre og til højre. Hvis grenene åbner sig opad og nedad, og den tværgående akse er på y-aksen, kan hyperbolaen skrives som ligningen
y 2 a 2 - x 2 b 2 2 = 1. {\displaystyle {\frac {\frac {y^{2}}}{a^{2}}}}-{\frac {x^{2}}}{b^{2}}}}=1.} 
Graf af en hyperbel (røde kurver). Asymptoterne er vist som blå stiplede linjer. Centrum er mærket C, og de to toppunkter er placeret ved -a og a. Foci er mærket F 1og F 2.
Hyperbolisk bane
En hyperbolisk bane er den bane, som et objekt følger, når dets hastighed er større end en planets, satellits eller stjernes flugthastighed. Det betyder, at dens excentricitet er større end 1. F.eks. nærmer meteorer sig på en hyperbolisk bane, og interplanetariske rumsonder tager af sted på en hyperbolisk bane.
Spørgsmål og svar
Spørgsmål: Hvad er en hyperbel?
A: En hyperbel er en type keglesnit, som er en kurve dannet af skæringspunktet mellem en kegle og et plan. Den opstår, når planen skærer begge halvdele af en dobbeltkegle, hvorved der opstår to kurver, der ligner hinanden på en prik, men som åbner sig i modsatte retninger.
Spørgsmål: Hvordan danner man en hyperbel?
Svar: En hyperbel opstår, når planen skærer begge halvdele af en dobbeltkegle, hvorved der opstår to kurver, der ligner hinanden på en prik, men som åbner sig i modsatte retninger. Dette sker, når vinklen mellem keglens akse og planen er mindre end vinklen mellem en linje på siden af keglen og planen.
Spørgsmål: Hvor kan vi finde eksempler på hyperboler i naturen?
Svar: Hyperboler kan findes mange steder i naturen. F.eks. kan et objekt i en åben bane omkring et andet objekt - hvor det aldrig vender tilbage - bevæge sig i form af en hyperbel. På et solur har skyggespidsen på et solur også form som en hyperbel.
Spørgsmål: Hvilken ligning beskriver et velkendt eksempel på en hyperbel?
Svar: Et velkendt eksempel på en ligning, der beskriver en hyperbel, er f(x)=1/x .
Spørgsmål: Hvad er nogle andre typer keglesnit ud over hyperboler?
A: Andre typer af keglesnit er parabler, ellipser og cirkler.
Spørgsmål: Hvordan adskiller disse forskellige typer sig fra hinanden?
A: Parabler er U-formede kurver med ét toppunkt; ellipser er ovale former med to brændpunkter; cirkler har ingen toppunkter eller brændpunkter; og endelig har hyperboler to separate buede linjer, der åbner sig udad fra deres midtpunkt i forskellige vinkler.
