En ellipse er en flad kurve, der ligner en oval eller en fladtrykt cirkel. I geometri er en ellipse også en af de klassiske keglesnit, der opstår ved at skære en kegle med et plan på en sådan måde, at snittet er en lukket kurve. En ellipse kan desuden defineres som mængden af alle punkter i planen, hvis afstandssum til to faste punkter (de såkaldte brændpunkter) er en konstant.
Definition og grundegenskaber
Ellipsegenskaber i korte træk:
- En ellipse har et centrum, to akse (den lange kaldes storakse, den korte småakse) og to brændpunkter (foci).
- For en vilkårlig ellipse er summen af afstanden fra et punkt på ellipsen til de to brændpunkter konstant og lig med 2a (storaksens længde).
- En cirkel er et specialtilfælde af en ellipse, hvor storaksen og småaksen har samme længde (a = b). I dette tilfælde falder de to brændpunkter sammen med centrum (brændpunkt, eller mere almindeligt: centrum).
- Planetbaner i solsystemet er approksimativt ellipser med Solen i det ene brændpunkt (Keplers første lov).
Ligning og parametre
Den almindelige (aksekoblede) ligning for en ellipse med centrum i (h,k) og akser parallelt med koordinatakserne er
((x - h)²) / a² + ((y - k)²) / b² = 1
Hvor:
- a er halvdelen af storaksen (a > 0).
- b er halvdelen af småaksen (b > 0).
- Hvis a > b ligger storaksen langs x-retningen; hvis b > a ligger storaksen langs y-retningen.
Original billedformular i kilden (bevares her): 
Brændpunkter, c og ekscentricitet
Afstanden fra centrum til hvert brændpunkt betegnes normalt c. Relationen mellem a, b og c er
c² = a² − b² (antaget a ≥ b).
- Afstanden mellem de to brændpunkter er dermed 2c.
- Ekscentriciteten e defineres ved e = c / a og opfylder 0 ≤ e < 1. For en cirkel er e = 0.
- Summen af afstandene fra et punkt P(x,y) på ellipsen til brændpunkterne er 2a.
Parametrisk form og andre ligninger
Parametrisk kan ellipsen med centrum i (h,k) og akserne langs koordinatakserne beskrives ved:
x = h + a cos t, y = k + b sin t, t ∈ [0, 2π)
En roteret ellipse (hvor akserne ikke er parallelle med koordinatakserne) kan beskrives ved en mere generel andengradsligning af formen Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 med B ≠ 0 i almindelighed.
Areal og omkreds
- Areal: Arealet af en ellipse er A = πab.
- Omkreds: Der findes ingen elementær lukket formel for omkredsen. Et godt approksimativt udtryk (Ramanujan) er:
P ≈ π [3(a + b) − √((3a + b)(a + 3b))]
Egenskaber og anvendelser
- Refleksionsegenskab: En stråle, der udspringer fra ét brændpunkt, reflekteres af ellipsens rand og passerer gennem det andet brændpunkt. Denne egenskab bruges i akustik (konkave spejle), optik og mikrobølger.
- Konisk fortolkning: Som nævnt kan en ellipse opstå som snit af et plan og en dobbeltkegle, når snitplanet skærer kun én af keglens “skåle” og ikke er parallelt med en kantelement (dette giver en lukket kurve).
- Konstruktion med snor: En praktisk måde at tegne en ellipse på er med to stifter og en snor: fastgør snorens ender i brændpunkterne, før en blyant ind i snorens løkke og træk stramt rundt — blyanten beskriver en ellipse.
- Anvendelser: Putekonstruktioner, design, optik, akustik, satellitbaner og astronomi (planetbaner, kometbaner med e ≥ 1 som parabel/hyperbel som specialtilfælde i koniske scenarier).
Bemærkninger
Det er vigtigt at bemærke, at i den almindelige ligning er betegnelserne a og b typisk valgt så a ≥ b; hvis ikke, byttes rollerne mellem stor- og småaksen. Relationerne og definitionerne ovenfor forudsætter denne konvention.
Eksempelvis er den velkendte praktiske demonstration med to stifter og en snor stadig en af de enkleste måder at forstå ellipsens definition: summen af afstandene fra ethvert punkt på snorbanen til de to stifter er konstant (= snorens længde), hvilket netop er definitionen af en ellipse. Planetbanerne er ellipser med Solen i det ene brændpunkt, mens det andet brændpunkt ligger i det tomme rum på den modsatte side af centrum.
