Polært træghedsmoment — definition, enheder og beregning

Polært træghedsmoment: klar definition, enheder (m⁴/in⁴), formler og beregningstrin med eksempler — forstå modstand mod torsion for aksler og tværsnit hurtigt.

Bemærk: Forskellige discipliner bruger udtrykket inertimoment til at henvise til forskellige momenter. I fysik er inertimomentet strengt taget det andet massemoment i forhold til afstanden fra en akse, som karakteriserer en genstandes vinkelacceleration som følge af et påført moment. Inden for ingeniørvidenskab (især mekanik og civilvidenskab) henviser inertimomentet almindeligvis til arealets andet moment. Når man læser polært inertimoment, skal man være opmærksom på at kontrollere, at der henvises til "polært andet arealmoment" og ikke til inertimomentet. Polært andet arealmoment vil have enheder af længde til fjerde potens (f.eks. m 4 {\displaystyle m^{4}}} eller i n 4 {\displaystyle in^{4}}} ), mens inertimomentet er masse gange længde i kvadrat (f.eks. k g ∗ m 2 {\displaystyle kg*m^{2}}} eller l b ∗ i n 2 {\displaystyle lb*in^{2}}} ).

Definition

Det polære andet arealmoment (ofte kaldet polært træghedsmoment) er et mål for et tværsnits evne til at modstå vridning. Det er en geometrisk egenskab af tværsnittet (afhænger kun af form og størrelse, ikke af materialet) og indgår i beregningen af, hvor meget en aksel eller bjælke vrider sig ved et givet drejningsmoment. Mens det plane andet arealmoment beskriver modstand mod bøjning i et bestemt plan, beskriver det polære andet arealmoment modstanden mod torsion omkring en akse vinkelret på tværsnittet.

Enheder

Det polære andet arealmoment har enheder af længde opløftet til fjerde potens: L 4 {\displaystyle L^{4}}. I praksis bruges typisk:

• SI: meter^4 (m4).
• Brittisk/imperial: tomme^4 (in4).

Bemærk forskellen til masse-inertimomentet (mellem fysik og mekanik): masseinertimoment har enheder som masse·længde^2 (f.eks. kg·m^2 eller lb·in^2).

Matematisk definition og relation til plane andetmomenter

Matematisk kan det polære arealmoment omkring en given punktakse O skrives som et dobbeltintegral over tværsnitsarealet R, hvor ρ er afstand fra O:

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA} .

Ved at indsætte ρ^2 = x^2 + y^2 fås forbindelsen mellem det polære moment og de to ortogonale plane andetmomenter omkring de centroidale akser x og y:

J O = ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy}

Dette giver den enkle og nyttige relation:

∬ R x 2 d x d y + ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy+\iint \limits _{R}y^{2}dxdy}

∴ J = I x + I y {\displaystyle \dérfor J=I_{x}+I_{y}}

Almindelige tværsnit — lukkede udtryk

For mange simple tværsnitsformer findes lukkede formler, som er nyttige i design og beregninger:

• Fuld cirkulær aksel (diameter d):
  J = (π/32)·d^4 = (π/2)·r^4 (hvor r = d/2).
• Hult cirkulært rør (ydiameter d_o, indiameter d_i):
  J = (π/32)·(d_o^4 − d_i^4).
• Rektangulært tværsnit (bredde b, højde h) omkring centroiden:
  I x = (b·h^3)/12 og I y = (h·b^3)/12, derfor J = I x + I y = (b·h^3 + h·b^3)/12 = (b·h (b^2 + h^2))/12.

Disse formler gælder for stive tværsnit uden væsentlig forvridning (Saint-Venant-torsion). For ikke-cirkulære tværsnit med fri kant kan der opstå warping (aksial forvridning), og så er en korrekt torsionskonstant (ofte betegnet J_t eller K) nødvendig i stedet for det simplere polære arealmoment.

Torsion, materialets egenskaber og vridningsvinkel

Når et tværsnit udsættes for et drejningsmoment T, bestemmes vridningsvinklen θ (for en prismeformet aksel af længde l og lineært elastisk materiale) af både formen (J) og materialet (forskyvningsmodulet G):

θ = T l J G {\displaystyle \theta ={\frac {Tl}{JG}}}

Her er:

• T {\displaystyle T} = påført drejningsmoment,
• l {\displaystyle l} = akselens længde,
• J {\displaystyle J} = polært andet arealmoment (eller torsionskonstant for ikke-cirkulære sektioner),
• G {\displaystyle G} = forskydningsmodulet for materialet.

Større J og højere G reducerer vridningsvinklen for et givet T og l. Bemærk, at J udelukkende beskriver geometrisk stivhed — materialets bidrag kommer gennem G.

Ikke-cylindriske tværsnit og torsionskonstant

For ikke-cirkulære tværsnit (f.eks. rektangler med lave højde/breddeforhold, åbne profiler som I- eller U-profiler) er forudsætningen om rent rigid tværsnit ofte ikke opfyldt. Så optræder:

• Warpage (aksialt udsving): tværsnittet kan deformeres i længderetningen under torsion.
• Torsionskonstant K eller J_t: en korrigeret værdi, som tager højde for både ren skæring og warping. K er den effektive størrelse, som anvendes i torsionsberegninger i stedet for det geometriske J for cirkler.

I praksis bruges numeriske metoder (f.eks. finite element-analyse) eller tabulerede korrektioner til at bestemme torsionskonstanten for komplekse sektioner.

Praktisk anvendelse

Det polære andet arealmoment bruges typisk til at:

• Dimensjonere aksler og drivaksler (f.eks. i biler og maskiner) for at begrænse vridning.
• Bestemme vridningsstivhed i forbindelse med maskinelementer og strukturer.
• Vurdere, om et tværsnit kræver brug af torsionskonstant og warping-analyse (især for ikke-cirkel-sektioner).

Når man anvender formler, er det vigtigt at kontrollere, at den anvendte J-værdi svarer til den relevante definition (polært arealmoment for lukkede, cirkulære snit eller torsionskonstant for åbne/ikke-cirkulære snit).

Afsluttende bemærkninger

Det polære andet arealmoment er et grundlæggende geometrisk udtryk for tværsnits modstand mod torsion. For simple, lukkede og især cirkulære tværsnit kan J beregnes direkte med lukkede formler. For andre tværsnit er det nødvendigt at være opmærksom på warping og at anvende en torsionskonstant eller numeriske metoder for at få korrekte resultater. Endelig skal man skelne mellem dette arealmoment og masse-inertimomentet, som har en helt anden fysisk betydning og enhed.

Spørgsmål og svar

Q: Hvad er inertimomentet i fysik?

Spørgsmål: Hvad henviser det polære andet arealmoment til i teknikken?

Spørgsmål: Hvordan beregner man et polært andet arealmoment?

Søg efter bogstav