Polært inertimoment

Bemærk: Forskellige discipliner bruger udtrykket inertimoment til at henvise til forskellige momenter. I fysik er inertimomentet strengt taget det andet massemoment i forhold til afstanden fra en akse, som karakteriserer en genstandes vinkelacceleration som følge af et påført moment. Inden for ingeniørvidenskab (især mekanik og civilvidenskab) henviser inertimomentet almindeligvis til arealets andet moment. Når man læser polært inertimoment, skal man være opmærksom på at kontrollere, at der henvises til "polært andet arealmoment" og ikke til inertimomentet. Polært andet arealmoment vil have enheder af længde til fjerde potens (f.eks. m 4 {\displaystyle m^{4}}} $m^{4}$ eller i n 4 {\displaystyle in^{4}}} $in^{4}$ ), mens inertimomentet er masse gange længde i kvadrat (f.eks. k g ∗ m 2 {\displaystyle kg*m^{2}}} $kg*m^{2}$ eller l b ∗ i n 2 {\displaystyle lb*in^{2}}} $lb*in^{2}$ ).

Det polære andet arealmoment (også kaldet "polært træghedsmoment") er et mål for en genstandes evne til at modstå vridning som funktion af dens form. Det er et aspekt af det andet arealmoment, der er knyttet til teoremet om den vinkelrette akse, hvor det plane andet arealmoment anvender en bjælkes tværsnitsform til at beskrive dens modstand mod deformation (bøjning), når den udsættes for en kraft, der påføres i et plan parallelt med dens neutrale akse, mens det polære andet arealmoment anvender en bjælkes tværsnitsform til at beskrive dens modstand mod deformation (torsion), når der påføres et moment (drejningsmoment) i et plan vinkelret på bjælkens neutrale akse. Mens det plane andet arealmoment oftest betegnes med bogstavet I {\displaystyle I} , betegnes det polære andet arealmoment oftest med enten I z {\displaystyle I_{z}} $I_{z}$ eller med bogstavet J {\displaystyle J} $J$ , i lærebøger om ingeniørvidenskab.

De beregnede værdier for det polære andet arealmoment anvendes oftest til at beskrive en massiv eller hul cylindrisk aksels modstand mod torsion, som f.eks. i en køretøjsaksel eller drivaksel. Når de anvendes på ikke-cylindriske bjælker eller aksler, bliver beregningerne af det polære andet arealmoment fejlagtige på grund af akslens/bjælkens forvridning. I disse tilfælde bør der anvendes en torsionskonstant, hvor en korrektionskonstant tilføjes til beregningen af værdien.

Det polære andet moment af arealet bærer enhederne længde til fjerde potens ( L 4 {\displaystyle L^{4}}} $L^{4}$ ); meter til fjerde potens ( m 4 {\displaystyle m^{4}}} $m^{4}$ ) i det metriske enhedssystem og tommer til fjerde potens ( i n 4 {\displaystyle in^{4}}} $in^{4}$ ) i det britiske enhedssystem. Den matematiske formel for direkte beregning er givet som et multipelintegral over en forms areal, R {\displaystyle R} $R$ , i en afstand ρ {\displaystyle \rho } $\rho$ fra en vilkårlig akse O {\displaystyle O} $O$

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA} $J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA$ .

I den mest enkle form er det polære andet arealmoment en summering af de to plane andet arealmomenter, I x {\displaystyle I_{x}} $I_{x}$ og I y {\displaystyle I_{y}} $I_{y}$ . Ved hjælp af pythagoras' sætning kan afstanden fra aksen O {\displaystyle O} $O$ , ρ {\displaystyle \rho } $\rho$ , kan opdeles i dens x {\displaystyle x} $x$ og y {\displaystyle y} $y$ komponenter, og ændringen i areal, d A {\displaystyle dA} $dA$ , opdelt i dens x {\displaystyle x} $x$ og y {\displaystyle y} $y$ komponenter, d x {\displaystyle dx} $dx$ og d y {\displaystyle dy} $dy$

Givet de to formler for de plane andet moment af arealet:

I x = ∬ R x x 2 d x d y {\displaystyle I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy} $I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy$ , og I y = ∬ R y 2 d x d d y {\displaystyle I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy} $I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy$

Forholdet til det polære andet moment af arealet kan vises som:

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA} $J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA$

J O = ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy} $J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy$

J O = ∬ R x 2 d x d y + ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy+\iint \limits _{R}y^{2}dxdy} $J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy+\iint \limits _{R}y^{2}dxdy$

∴ J = I x + I y {\displaystyle \dérfor J=I_{x}+I_{y}} $\therefore J=I_{x}+I_{y}$

Når størrelsen af det polære andet arealmoment øges (dvs. hvis objektet har et stort tværsnit), kræves der mere drejningsmoment for at forårsage en torsionsafbøjning af objektet. Det skal dog bemærkes, at dette ikke har nogen betydning for den torsionsstivhed, som genstandens materialer giver den; det polære andet moment af arealet er simpelthen den stivhed, som genstandens form alene giver den. Den torsionsstivhed, der opnås ved materialeegenskaber, er kendt som forskydningsmodulet G {\displaystyle G} $G$ komponenter af stivhed kan man beregne en bjælkes vridningsvinkel θ {\displaystyle \theta } $\theta$ , ved hjælp af:

θ = T l J G {\displaystyle \theta ={\frac {Tl}{JG}}} $\theta ={\frac {Tl}{JG}}$

Hvor T {\displaystyle T} $T$ er det påførte moment (drejningsmoment) og l {\displaystyle l} $l$ er længden af bjælken. Som det fremgår, fører større drejningsmomenter og bjælkelængder til større vinkelafbøjninger, hvor højere værdier for det polære andet arealmoment, J {\displaystyle J} $J$ og materialets forskydningsmodul, G {\displaystyle G} $G$ , reducerer potentialet for vinkelafbøjninger.

En skematisk fremstilling, der viser, hvordan det polære andet arealmoment ("polært træghedsmoment") beregnes for en vilkårlig form af arealet R omkring en akse o, hvor ρ er den radiale afstand til elementet dA.

Relaterede sider

Moment (fysik)
Andet moment af arealet
Liste over andet arealmoment for standardformer
forskydningsmodul

Spørgsmål og svar

Q: Hvad er inertimomentet i fysik?

A: I fysik er inertimomentet strengt taget det andet massemoment med hensyn til afstanden fra en akse, som karakteriserer et objekts vinkelacceleration som følge af et påført drejningsmoment.

Spørgsmål: Hvad henviser det polære andet arealmoment til i teknikken?

Svar: Inden for ingeniørvidenskab (især mekanik og civilvidenskab) henviser inertimomentet almindeligvis til arealets andet moment. Når man læser polært inertimoment, skal man være opmærksom på at kontrollere, at der henvises til "polært andet arealmoment" og ikke til inertimomentet. Det polære andet arealmoment vil have enheder af længde til fjerde potens (f.eks. m^4 eller in^4).

Spørgsmål: Hvordan beregner man et polært andet arealmoment?

Svar: Den matematiske formel for direkte beregning er givet som et multipelintegral over en forms areal R i en afstand ρ fra en vilkårlig akse O. J_O=∬∬Rρ2dA. I den mest enkle form er den polære anden