Torsion i mekanik — definition, vridning, spænding og drejningsvinkel

Torsion i mekanik: forstå vridning, beregn skubspænding (τ=Tr/J) og drejningsvinkel (θ=TL/JG) med klare formler, eksempler og anvendelser for aksler og cirkulære sektioner.

I fast mekanik er torsion den vridning af en genstand, der er resultatet af et påført drejningsmoment. I cirkulære sektioner er den resulterende forskydningsspænding vinkelret på radius.

Skubspændingen i et punkt på en aksel er:

τ θ z = T r J {\displaystyle \tau _{\theta _{z}}={Tr \over J}}

T er det påførte drejningsmoment, r er afstanden fra rotationscentret, og J er det polære inertimoment.

Drejningsvinklen kan findes ved at bruge:

θ = T L J G {\displaystyle \theta _{}={TL \over JG}}

Hvor:

• T — drejningsmoment (N·m).
• r — radius eller afstand fra centrum til det betragtede punkt (m).
• J — polært inertimoment for tværsnittet (m4). For en massiv rund aksel med radius R er J = π R4 / 2. For et rør med inderradius Ri og yderradius Ro er J = (π/2)(Ro4 − Ri4). For tyndvæggede lukkede ringe kan man ofte bruge approksimationen J ≈ 2π r3 t (r = middelradius, t = vægtykkelse).
• G — forskydningsmodulet (GPa eller Pa), materialets afstivning i forskydning (shear modulus).
• L — længden af den akselende, over hvilken vridningen beregnes (m).
• θ — vinkel på vridning (rad).

Vigtige antagelser og anvendelsesområde

Formlerne τ = Tr / J og θ = TL / (JG) gælder for prismeformede (ensartede) aksler under lineær elastisk belastning, homogent og isotropt materiale samt små deformationer. For cirkulære tværsnit (massive eller hule) er spændingsfordelingen cirkulær og τ vokser lineært med r, med maksimum ved yderradius R: τmax = T R / J.

Non-cirkulære tværsnit og warping

For ikke-cirkulære tværsnit (f.eks. rektangulære, I-profiler eller åbne tyndvæggede snit) bliver problemet mere komplekst: vridningen kan medføre warping (aksial deformation af tværsnittet), og den relevante stykkonstant kaldes ofte torsionsstivhed eller torsionskonstant J_t, som ikke nødvendigvis er det samme som det polære inertimoment. Saint-Venants løsning og specialiserede metoder (shear flow, FEM) anvendes til disse tværsnit. Åbne tyndvæggede snit har generelt lav torsionsstivhed og er særligt følsomme over for warping.

Forskydningssætning og forskydningsstrækning

Relateret til τ er forskydningsvinklen per længdeenhed (vinkelgradient): dθ/dx = T / (J G). Den lokale forskydningssætning γ (shear strain) i afstand r fra centrum er:

γ = r dθ/dx = Tr/(JG)

Dimensioner og enheder

• Moment T i N·m, J i m4, G i Pa → θ i rad (dimensionløs).
• Kontroller altid enheder ved indsættelse af størrelser (fx mm vs m).

Hvad man typisk kontrollerer i design

• Styrke: sammenligne τmax med materialets tilladte forskydningsstyrke (ved flydning eller brud). En almindelig sikkerhedsregel bruger Tresca-kriteriet: maks. tilladt τ ≈ σy/2 (hvor σy er flydespændingen i træk).
• Stivhed: beregne θ for at sikre, at vridningen ikke er for stor for kravet til præcision eller funktion.
• Træthed: cyklisk torsion kan forårsage træthedsbrud; vurdering kræver amplituder og materialets træthedsegenskaber.
• Stabilitet: åbne tværsnit kan udvise betydelig warping og lokal udmattelse ved koncentratorer (nøgler, nøglegroove).

En kort numerisk illustration

Eksempel: massiv stålaksel med R = 0,02 m, T = 1000 N·m, G ≈ 79·10^9 Pa.

• J = π R4 / 2 = π(0,02)4 / 2 ≈ 2,51·10−7 m4.
• τmax = T R / J ≈ 1000·0,02 / 2,51·10−7 ≈ 7,96·107 Pa ≈ 79,6 MPa.
• dθ/dx = T / (J G) ≈ 1000 / (2,51·10−7 · 79·10^9) ≈ 0,0504 rad/m → for L = 2 m er θ ≈ 0,1008 rad ≈ 5,78°.

Ekstra bemærkninger

- For rotationsmaskineri kan den transmissible effekt beregnes med P = T ω, hvor ω er vinkelhastigheden (rad/s).
- Ved dimensionering af aksler tages som regel hensyn til både kombineret bøjning og torsion, hvilket kræver kombinerede styrkebetragtninger (fx von Mises eller modificerede tillæg for træthed).

Kort sagt: torsion beskriver, hvordan et drejningsmoment skaber cirkulære forskydningsspændinger og vridning i tværsnittet. For cirkulære aksler gælder simple lukkede-formler (τ = Tr/J og θ = TL/(JG)), mens andre snit kræver mere avancerede metoder og ofte numeriske beregninger.

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er torsion?

Spørgsmål: Hvordan er forskydningsspænding relateret til torsion?

Spørgsmål: Hvilken ligning kan anvendes til at beregne forskydningsspændingen i et punkt på en aksel?

Sp: Hvilken ligning kan anvendes til at finde drejningsvinklen?

Spørgsmål: Hvad betyder "T" i ligningerne for forskydningsspænding og vridningsvinkel?

Sp: Hvad betyder "r" i ligningen for forskydningsspænding?

Sp: Hvad repræsenterer "J" i begge ligninger?

Søg efter bogstav