Størrelse i matematik: definition, mål og typer (længde, areal, volumen)

Forstå størrelse i matematik: klar definition, målemetoder og typer — længde, areal og volumen forklaret med eksempler og praktiske anvendelser.

Forfatter: Leandro Alegsa

11-12-2025 10:58

Størrelsen af et matematisk objekt er dets størrelse: en egenskab, hvormed det kan være større eller mindre end andre objekter af samme art. I praksis betyder det, at vi kan sammenligne, måle eller rangordne objekter efter en bestemt målestok.

I matematisk sprog siger man ofte, at en størrelse definerer en orden eller et mål på den klasse af objekter, som det tilhører. Alt efter sammenhæng taler man dog om forskellige slags „størrelser“ – både i daglig tale og i matematikken.

Historisk perspektiv og klassifikation

De gamle grækere skelnede mellem flere forskellige typer af størrelser. Nogle af disse klassifikationer findes stadig i vores måde at måle og beskrive objekter på. Originallisten fra antikken kan gengives som:

(positive) fraktioner
linjestykker (ordnet efter længde)
Plane figurer (sorteret efter areal)
Faste stoffer (sorteret efter volumen)
Vinkler (ordnet efter vinkelstørrelse)

Grækerne viste blandt andet, at de to første typer (rationelle forhold og linjestykker) ikke nødvendigvis kan beskrives ved samme talsystem — opdagelsen af incommensurable størrelser (fx √2) førte til en væsentlig udvidelse af begrebet „størrelse“. De mente oprindeligt ikke, at negative størrelser var meningsfulde, og størrelser bruges stadig ofte i sammenhænge, hvor nul er mindste mulige størrelse eller ligger under alle mulige størrelser.

Grundlæggende typer af størrelser

Nedenfor beskrives de mest almindelige typer af størrelser, som optræder i geometri, fysik og daglig måling:

Længde — en-dimensionel størrelse, målt i metre (m) i SI-systemet. Eksempler: længden af et linjestykke, omkreds af en cirkel. Instrumenter: lineal, målebånd, skydebånd.
Areal — to-dimensionel størrelse, målt i kvadratmetre (m²). Formeleksempler: rektangel: a·b, cirkel: πr². Bruges til at beskrive overflader eller plane figurer.
Volumen — tre-dimensionel størrelse, målt i kubikmetre (m³). Formeleksempler: kube: a³, kugle: 4/3·πr³. Anvendes om rumfanget af faste stoffer eller væsker.
Vinkelstørrelse — måles i grader eller radianer, beskriver hvor stor en rotation eller spredning der er mellem to stråler med fælles toppunkt. Vinkler kan i nogle sammenhænge være signed (orienterede) og dermed få negative værdier.
Kardinalitet — i sættheori er „størrelse“ ofte antallet af elementer i et sæt (endeligt eller uendeligt). For uendelige mængder taler man om forskellige størrelser af uendelighed (f.eks. aleph-0).
Mål (measure) — i målteori knyttes en ikke-negativ funktion til delmængder af en rumlig struktur; et mål generaliserer begrebet areal/volumen og kan være defineret for meget uregelmæssige sæt.

Måling, enheder og værktøjer

Måling kræver en standardenhed og en metode til sammenligning. I praksis benyttes:

SI-enheder: meter (længde), kvadratmeter (areal), kubikmeter (volumen).
Alternative enheder: centimeter, kilometer, liter (volumen til væsker), grader/radianer (vinkler).
Måleinstrumenter: lineal, målebånd, skydebånd, mikrometer, planimeter (areal), måleglas eller frøstag (volumen/vægt), vandfordrivningsmetode for uregelmæssige objekter.

Matematisk formalisering og egenskaber

Matematikken skelner mellem flere måder at formaliseres „størrelse“ på:

Ordensteori: Mange størrelser giver en total eller delvis orden (fx kortere/længere, større/‑mindre). En lineær orden betyder, at enhver to objekter kan sammenlignes.
Målfunktioner: Et mål er typisk ikke-negativt og additiv (eller σ-additiv) over disjunkte mængder. Dette er grundlaget for integral- og sandsynlighedsteori.
Signed størrelser: I moderne matematik bruges også signed størrelser — fx signed mål eller orienterede længder/områder i integration og vektorregning — hvor negative værdier har mening.
Dimension: Størrelser har ofte en fysisk dimension (L, L², L³ osv.). Dimensional analyse hjælper med at sikre konsistens i formler og beregninger.

Praktiske og teoretiske bemærkninger

Et par vigtige pointer:

At noget er „større“ kan betyde forskellige ting afhængigt af hvilken størrelse man sammenligner (et objekt kan have større areal men mindre volumen end et andet).
I geometri førte opdagelsen af incommensurabel længde (fx √2) til udviklingen af reelle tal, som udvider de rationelle fraktioner til at beskrive enhver mulig længde i kontinua.
I moderne matematik adskiller man klart mellem kardinal størrelse (antal elementer) og målelig størrelse (mål/volumen). Disse er forskellige begreber og kan have meget forskellige egenskaber.
Negative størrelser kan være meningsfulde i visse kontekster (f.eks. orienterede vinkler, signed mål, økonomiske tab), men i klassiske målesammenhænge (areal, volumen) er størrelser normalt ikke-negative.

Eksempler

Rektangels areal: A = a·b (m²).
Cirkels areal: A = π·r² (m²).
Kubes volumen: V = a³ (m³).
Kugles volumen: V = 4/3·π·r³ (m³).
Længden af et linjestykke defineres ofte som afstanden mellem dets endepunkter i et metriske rum.

Samlet set er „størrelse“ et grundlæggende, men mangfoldigt begreb i matematik og naturvidenskab. Afhængigt af kontekst kan det betyde målbaren magnitude (længde, areal, volumen), antalsmæssig størrelse (kardinalitet) eller en abstrakt målstruktur (målteori). Historisk har opdagelser om forskellige slags størrelser ført til væsentlige udvidelser af det matematiske værktøjssæt, fra rationelle tal til reelle tal og videre til mål og σ-algebraer.

Reelle tal

Størrelsen af et reelt tal x {\displaystyle x} kaldes normalt den absolutte værdi eller modulus. Det skrives som | x | {\displaystyle |x|} $|x|$ , og er defineret ved:

| x | = x, hvis x ≥ 0

| x | = -x, hvis x < 0

Dette giver talets afstand fra nul på den reelle tallinje. F.eks. er modulus for -5 5.

Vektor

Størrelsen af en vektor v {\displaystyle \mathbf {v} } $\mathbf {v}$ kaldes dens norm, og skrives normalt som ‖ v ‖ v ‖ {\displaystyle \|\mathbf {v} \|} $\|\mathbf {v} \|$ . Den måler længden af vektoren. For en tredimensional vektor v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) {\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},v_{2},v_{3})} $\mathbf {v} =(v_{1},v_{2},v_{3})$ kan normen beregnes ved hjælp af formlen ‖ v ‖ v ‖ = v 1 2 + v 2 2 2 + v 3 2 {\displaystyle \|\mathbf {v} \|={{\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}}} $\|\mathbf {v} \|={\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}}$ .

Praktisk matematik

En størrelsesorden er aldrig negativ. Når man sammenligner størrelser, er det ofte nyttigt at bruge en logaritmisk skala. Eksempler fra den virkelige verden omfatter lydstyrke (decibel), lysstyrken af en stjerne eller Richterskalaen for jordskælvsstyrke.

Da størrelser ofte ikke er lineære, kan de normalt ikke adderes eller trækkes fra hinanden på en meningsfuld måde.

Relaterede sider

Størrelsesorden

Spørgsmål og svar

Sp: Hvad er definitionen på størrelse?

A: Størrelse er en egenskab, hvormed en genstand kan være større eller mindre end andre genstande af samme art. Det er en orden af den klasse af genstande, som den tilhører.

Spørgsmål: Hvilke typer størrelser skelnede de gamle grækere mellem?

A: De gamle grækere skelnede mellem positive brøker, linjestykker (ordnet efter længde), plane figurer (ordnet efter areal), faste legemer (ordnet efter volumen) og vinkler (ordnet efter vinkelstørrelse).

Spørgsmål: Mente de, at negative størrelser var meningsfulde?

Svar: Nej, de fandt ikke negative størrelser meningsfulde.

Spørgsmål: Hvordan bruger vi stadig primært størrelser i dag?

A: Vi bruger stadig primært størrelser i sammenhænge, hvor nul enten er den laveste størrelse eller mindre end alle mulige størrelser.

Spørgsmål: Beviste de gamle grækere, at to typer størrelser ikke kunne være ens?

A: Ja, de havde bevist, at to typer størrelser ikke kunne være ens, eller endog isomorfe størrelsessystemer.

Spørgsmål: Hvad overvejede de ikke, når de diskuterede forskellige størrelsestyper?

Svar: De mente ikke, at negative størrelser var meningsfulde, når de diskuterede forskellige størrelsestyper.

Spørgsmål: Hvad var en måde, hvorpå de gamle grækere ordnede deres forskellige størrelsestyper?

A: De gamle grækere ordnede deres forskellige typer størrelser som brøker, linjestykker, plane figurer, faste legemer og vinkler efter størrelse - f.eks. blev linjestykker ordnet efter længde, og plane figurer blev ordnet efter areal.

Søge