Hilbertrum
Et Hilbert-rum er et matematisk begreb, der dækker den ekstradimensionale anvendelse af det euklidiske rum - dvs. et rum med mere end tre dimensioner. Et Hilbert-rum bruger matematikken i to og tre dimensioner til at forsøge at beskrive, hvad der sker i mere end tre dimensioner. Det er opkaldt efter David Hilbert.
Vektoralgebra og vektorregning er metoder, der normalt anvendes i det todimensionelle euklidiske plan og det tredimensionelle rum. I Hilbert-rum kan disse metoder anvendes med et vilkårligt endeligt eller uendeligt antal dimensioner. Et Hilbert-rum er et vektorrum, der har strukturen af et indre produkt, som gør det muligt at måle længde og vinkel. Hilbert-rum skal også være komplette, hvilket betyder, at der skal eksistere tilstrækkeligt mange grænser, for at beregning kan fungere.
De tidligste Hilbert-rum blev undersøgt i det første årti af det 20. århundrede af David Hilbert, Erhard Schmidt og Frigyes Riesz. John von Neumann var den første, der fandt på navnet "Hilbert-rum". Hilbertrummetoderne gjorde en stor forskel for funktionel analyse.
Hilbert-rum er meget udbredt i matematik, fysik og teknik, ofte som uendeligt dimensionelle funktionsrum. De er især nyttige til undersøgelse af partielle differentialligninger, kvantemekanik og Fourier-analyse (som omfatter signalbehandling og varmeoverførsel). Hilbert-rum anvendes i ergodisk teori, som er det matematiske grundlag for termodynamikken. Alle normale euklidiske rum er også Hilbert-rum. Andre eksempler på Hilbert-rum omfatter rum af kvadratintegrerbare funktioner, rum af sekvenser, Sobolev-rum bestående af generaliserede funktioner og Hardy-rum af holomorfe funktioner.
Hilbert-rum kan bruges til at studere harmonikerne i vibrerende strenge.
Spørgsmål og svar
Spørgsmål: Hvad er et Hilbert-rum?
A: Et Hilbert-rum er et matematisk begreb, der bruger matematikken i to og tre dimensioner til at forsøge at beskrive, hvad der sker i større end tre dimensioner. Det er et vektorrum med en indre produktstruktur, der gør det muligt at måle længde og vinkel, og det skal også være fuldstændigt, for at regnearket kan fungere.
Spørgsmål: Hvem navngav begrebet Hilbert-rum?
Svar: Begrebet Hilbert-rum blev først undersøgt i begyndelsen af det 20. århundrede af David Hilbert, Erhard Schmidt og Frigyes Riesz. Det var John von Neumann, der fandt på navnet "Hilbertrum".
Spørgsmål: Hvad er nogle af Hilbert-rummenes anvendelsesmuligheder?
A: Hilbert-rum anvendes inden for mange områder som f.eks. matematik, fysik, ingeniørvidenskab, funktionel analyse, partielle differentialligninger, kvantemekanik, Fourier-analyse (som omfatter signalbehandling og varmeoverførsel), ergodisk teori (det matematiske grundlag for termodynamik), kvadratintegrerbare funktioner, sekvenser, Sobolev-rum bestående af generaliserede funktioner, Hardy-rum for holomorfiske funktioner.
Spørgsmål: Bliver alle normale euklidiske rum også betragtet som Hilbert-rum?
A: Ja - alle normale euklidiske rum anses også for at være Hilbert-rum.
Spørgsmål: Hvordan har Hilbert-rummene gjort en forskel for funktionel analyse?
A: Brugen af Hilbert-rum gjorde en stor forskel for funktionel analyse ved at give nye metoder til undersøgelse af problemer i forbindelse med dette område.
Spørgsmål: Hvilken type matematik skal man have kendskab til, når man arbejder med et Hilbert Space?
A: Vektoralgebra og kalkulation anvendes normalt, når man arbejder med et todimensionelt euklidisk plan eller et tredimensionelt rum; disse metoder kan dog også anvendes med et hvilket som helst endeligt eller uendeligt antal dimensioner, når man arbejder med et Hilbert-rum.
