Gumbel-fordeling

Egenskaber

Gumbel-fordelingen er en kontinuert sandsynlighedsfordeling. Gumbel-fordelinger er en familie af fordelinger af samme generelle form. Disse fordelinger adskiller sig fra hinanden ved deres parametre for placering og skala: fordelingens gennemsnit ("gennemsnit") definerer dens placering, og standardafvigelsen ("variabilitet") definerer skalaen.

Man genkender Gumbel-sandsynlighedsdensitetsfunktionen (PDF) og Gumbel-kumulativ fordelingsfunktion (CDF).

PDF

I PDF-analysen findes sandsynligheden P for, at en værdi V forekommer mellem grænserne A og B, kort fortalt P(A<V<B), ved at beregne arealet under PDF-kurven mellem A og B.

Eksempel på sandsynlighed i PDF-dokumentet

I figuren med den normale sandsynlighedsdensitetsfunktion skal værdierne på den vandrette akse være henholdsvis μ-3σ, μ-2σ, μ-1σ, μ+1σ, μ+2σ og μ+3σ. μ = middelværdi, σ = standardafvigelse. Arealerne under kurven i intervallerne, der hver har en bredde på én standardafvigelse, giver sandsynligheden for forekomst i disse intervaller.  Eksempel: Sandsynligheden for at en værdi V forekommer i intervallet mellem A=μ+1σ og B=μ+2σ er P(μ+1σ<V<μ+2σ)=13,6 % eller 0,136

I modsætning til normalfordelingen er Gumbels PDF-format a-symmetrisk og skævt til højre.

CDF

I CDF'en findes sandsynligheden for, at en værdi V er mindre end A, direkte som CDF-værdien ved A:

P ( V ≤ A ) = C D F ( A ) {\displaystyle P(V\leq A)=CDF(A)} .

Eksempel på sandsynlighed i CDF'en

I Gumbel CDF-figuren angiver den røde kurve, at sandsynligheden for at V er mindre end 5 er 0,9 (eller 90 %), mens sandsynligheden for den mørkeblå linje er 0,7 eller 70 %.

 
Den normale sandsynlighedstæthedsfunktion (PDF) er symmetrisk.  

Matematik

CDF

Det matematiske udtryk for CDF'en er:

C D F ( A ) = e - e - e - ( A - μ ) / β , {\displaystyle CDF(A)=e^{-e^{-(A-\mu )/\beta }},}

hvor μ er modus (den værdi, hvor sandsynlighedstæthedsfunktionen når sit højdepunkt), e er en matematisk konstant, ca. 2,718, og β er en værdi relateret til standardafvigelsen (σ) :

β = σ 6 / π , {\displaystyle \beta =\sigma {\sqrt {6}}}/\pi ,}

hvor π er det græske symbol for Pi, hvis værdi er tæt på 22/7 eller 3,142, og symbolet {\displaystyle {\sqrt {\,\,}}} står for kvadratroden.

Mode og median

Mode μ kan findes ud fra medianen M, som er den værdi af A, hvor CDF(A)=0,5, og β:

μ = M + β ln ( ln 2 ) , {\displaystyle \mu =M+\beta \ln \ln \ venstre(\ln 2\ højre),}

hvor ln er den naturlige logaritme.

Gennemsnitlig

Middelværdien, E(x), er givet ved:

E ( x ) = μ + c β , {\displaystyle \operatornavn {E} (x)=\mu +c\beta ,}

hvor c {\displaystyle c} = Euler-konstant ≈ {\displaystyle \approx } 0.5772.

 
Der er to dataserier: rød og blå. Begge har samme middelværdi (gennemsnit) : 100, men den blå gruppe har en større standardafvigelse (SD=σ=50) end den røde gruppe (SD=σ=10).  

Vurdering

I en dataserie kan parametrene mode (μ) og β estimeres ud fra gennemsnittet, medianen og standardafvigelsen. Beregningen af de tre sidstnævnte størrelser forklares på de respektive Wiki-sider. Derefter kan faktorerne μ og β beregnes ved hjælp af formler, der er angivet i det foregående afsnit. På denne måde kan CDF'en for den Gumbel-fordeling, der hører til dataene, bestemmes, og sandsynligheden for interessante dataværdier kan findes.

 
Tilpasset kumulativ Gumbel-fordeling til de maksimale regnmængder i oktober på en dag ved hjælp af CumFreq  

Ansøgning

Inden for hydrologi anvendes Gumbel-fordelingen til at analysere variabler som månedlige og årlige maksimumsværdier for daglige nedbørsmængder og flodudløbsmængder samt til at beskrive tørkeperioder.

Det blå billede illustrerer et eksempel på tilpasning af Gumbel-fordelingen til de rangordnede maksimale regnmængder for en dag i oktober, der også viser 90 % konfidensbæltet baseret på binomialfordelingen.