Radix (talbase): Guide til talsystemer — decimal, binær og hexadecimal

I matematik er en base eller radix det antal forskellige cifre eller kombinationer af cifre og bogstaver, som et tællesystem bruger til at repræsentere tal. Den mest almindelige base, der anvendes i dag, er f.eks. decimalsystemet. Da "dec" betyder 10, anvendes de 10 cifre fra 0 til 9. De fleste mennesker tror, at vi oftest bruger base 10, fordi vi har 10 fingre.

En base er normalt et helt tal større end 1, selv om ikke-heltalsbaser også er matematisk mulige. Et tals base kan skrives ved siden af tallet: f.eks. 23 8 {\displaystyle 23_{8}} $23_{8}$ betyder 23 i base 8 (hvilket er lig med 19 i base 10). Om Trecentosexagesimal, Vinkelgrader.

Hvad betyder "base" i praksis?

I et positionelt talsystem bestemmer basen, hvor meget hver cifferposition vægter. I base b vægter cifrene fra højre mod venstre som b^0, b^1, b^2 osv. For eksempel i decimalsystemet (base 10) betyder tallet 347: 3·10^2 + 4·10^1 + 7·10^0.

Eksempler på almindelige baser

Base 10 (decimal): De cifre, der bruges, er 0–9. Dagligdags talsystem.
Base 2 (binær): Cifre 0 og 1. Bruges i digitale computere, f.eks. 1011₂ = 1·2^3 + 0·2^2 + 1·2^1 + 1·2^0 = 11₁₀.
Base 8 (oktal): Cifre 0–7. Historisk brug i nogle computerkulturer.
Base 16 (hexadecimal): Cifre 0–9 og bogstaverne A–F (hvor A=10 … F=15). F.eks. 1A₁₆ = 1·16 + 10 = 26₁₀.
Base 60 (sexagesimal): Bruges traditionelt i måling af tid og vinkler (f.eks. 60 sekunder i et minut, 60 minutter i en time).

Notation

For at undgå forveksling med decimalnotation skriver man ofte basen som en lille indeks (subscript) efter tallet: f.eks. 23₈ for "23 i base 8". I tekst og kode kan man også se andre konventioner, fx 0x1A for hexadecimal eller 0b1011 for binært.

Hvordan konverterer man mellem baser?

Her er to grundlæggende metoder:

Hele tal (til decimal): Udregn summen af hver cifferværdi ganget med basens potens. Fx 23₈ = 2·8^1 + 3·8^0 = 16 + 3 = 19₁₀.
Hele tal (fra decimal til anden base): Gentagen division: del tallet med den nye base, noter resterne fra sidste til første. Resterne udgør cifrene i den nye base.
Brøkmæssige dele: Gang den brøkmæssige del med basen, heltalsdelen af resultatet bliver næste ciffer; gentag med den nye fraktion.

Praktiske tips

Til hurtig konvertering mellem binær og hexadecimal grupperes binære cifre i grupper af 4 (svarende til ét hex-ciffer): fx 1101 0110₂ = D6₁₆.
De tilladte cifre i en base b er 0,1,…,b−1. For b>10 bruges ofte bogstaver til at repræsentere værdier ≥10.
Base 1 (unær) er et særligt tilfælde, hvor et tal typisk repræsenteres ved gentagne symboler, men det er ikke positionelt.

Ikke-hele baser og mere avancerede emner

Matematisk kan man også definere systemer med ikke-hele baser (f.eks. reelle tal som base), negative baser (f.eks. base −2) eller kompleks base. Disse er mere teoretiske og bruges sjældent i praksis, men de viser, at konceptet base kan generaliseres langt ud over de simple, positive heltalsbaser.

Opsummering

En base eller radix angiver hvor mange cifre der er til rådighed og bestemmer vægten af hver position i et talsystem. Decimal er den mest almindelige i hverdagen, mens binær og hexadecimal er centrale i datalogi. Forståelse af baser og konverteringsmetoder gør det nemmere at arbejde med tal i forskellige repræsentationer.

I computere

Der anvendes ofte forskellige baser i computere. Binær base (base 2) anvendes, fordi computere på det mest simple niveau kun kan håndtere 0'er og 1'er. Hexadecimal (base 16) anvendes, fordi computere grupperer binære cifre sammen. Hver fire binære cifre bliver til ét hexadecimalt ciffer, når der skiftes mellem dem. Da der er mere end 10 cifre i hexadecimaltal, vises de seks cifre efter 9 som A, B, C, D, E og F.

Måling

De ældste tællesystemer brugte base 1. At lave mærker på en væg og bruge et mærke for hver ting, der tælles, er et eksempel på unær tælling. Nogle gamle målesystemer anvender duodecimal radix (base 12). Dette ses på engelsk, da der findes ord som dozen (12) og gross (144 = 12×12) og længder som feet (12 tommer).

Skriftlige baser

Når du skriver en base, er det lille tal, der angiver basen, normalt i base ti. Det skyldes, at hvis radix blev skrevet i sin egen base, ville det altid være "10", så man ville ikke kunne vide, hvilken base det skulle være i.

Tal i forskellige baser

Her er nogle eksempler på, hvordan nogle tal skrives i forskellige baser i forhold til decimaltal:

Decimaltal (base 10)	Binær (base 2)	Undecimal (base 11)	Hexadecimalt (base 16)	Senary (Base 6)	Unary (Base 1)
1	1	1	1	1	1
2	10	2	2	2	11
3	11	3	3	3	111
4	100	4	4	4	1111
5	101	5	5	5	11111
6	110	6	6	10	111111
7	111	7	7	11	1111111
8	1000	8	8	12	11111111
9	1001	9	9	13	111111111
10	1010	A	A	14	1111111111
11	1011	10	B	15	11111111111
12	1100	11	C	20	111111111111
13	1101	12	D	21	1111111111111
14	1110	13	E	22	11111111111111
15	1111	14	F	23	111111111111111
16	10000	15	10	24	1111111111111111

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er en base eller radix i matematik?

A: En base eller radix er det antal forskellige cifre eller kombinationer af cifre og bogstaver, som et tællesystem anvender til at repræsentere tal.

Sp: Hvad er et eksempel på den mest almindelige base, der anvendes i dag?

A: Den mest almindelige base, der anvendes i dag, er decimalsystemet.

Spørgsmål: Hvorfor anvendes base 10 oftest?

A: De fleste mennesker tror, at base 10 bruges, fordi vi har 10 fingre.

Spørgsmål: Er en base altid et helt tal, der er større end 1?

Svar: Ja, en base er normalt et helt tal større end 1.

Spørgsmål: Kan ikke-tallige baser være matematisk mulige?

Svar: Ja, ikke-tallige baser er også matematisk mulige.

Spørgsmål: Hvordan angives basen for et tal?

A: Et tals base kan skrives ved siden af tallet.

Spørgsmål: Hvad betyder eksemplet "23 8"?

A: Eksemplet "23 8" betyder 23 i base 8 (hvilket er lig med 19 i base 10).