Ligedannethed i geometri — definition, egenskaber og trekanter

Ligedannethed i geometri: klar definition, centrale egenskaber og særlige regler for trekanter. Lær vinkler, sideproportionalitet og praktiske eksempler.

Lighed er en grundlæggende idé i geometri. Det betyder, at to polygoner, linjestykker eller andre figurer kan blive ens ved at ændre størrelsen. Lignende objekter behøver ikke nødvendigvis at have samme størrelse. To figurer er ens, hvis deres vinkler har samme mål og deres sider er proportionale. To cirkler, firkanter eller linjestykker er altid ens. Hvis figur F {\displaystyle F} svarer til figur F ′ {\displaystyle F'} , så skriver vi F ∼ F ′ {\displaystyle F\sim F'}.

Hvad betyder lighed præcist?

To figurer er ens (ligedannede), når der eksisterer en lighedstransformation (en skalering, evt. kombineret med rotation, translation og/eller spejling), som sender den ene figur over på den anden. Skaleringen angives ofte ved et lighedsforhold eller skalfaktor k, hvor forholdet mellem tilsvarende sidernes længder er k. Hvis k = 1, er figurerne ikke blot ens, men også kongruente (samme størrelse).

Vigtige egenskaber ved ligedannethed

• Tilsvarende vinkler er lige store: Hver vinkel i den ene figur svarer til en vinkel i den anden figur med samme mål.
• Tilsvarende sider er proportionale: Hvis siderne i den ene figur har længder a, b, c …, og de tilsvarende sider i den anden figur har længder a', b', c' …, så gælder a'/a = b'/b = c'/c = k (lighedsforholdet).
• Perimeter og areal: Perimeteren skalerer med k, dvs. P' = kP. Arealet skalerer med k^2, dvs. A' = k^2 A.
• Alle cirkler er ligedannede: To cirkler med radier r og r' har r'/r = k, og formen er identisk uanset størrelse.
• Relation til kongruens: Hvis k = 1, er ligedannethed det samme som kongruens. Alle kongruente figurer er derfor også ens, men ikke omvendt.
• Lighed er en ækvivalensrelation: Den er refleksiv (en figur er ens med sig selv), symmetrisk (hvis A er ens med B, så er B ens med A) og transitiv (hvis A er ens med B og B med C, så er A ens med C).

Ligedannethed for trekanter — hvorfor særlige?

Når det drejer sig om trekanter, er kravene til at fastslå ligedannethed enklere end for andre polygoner. Det skyldes, at en trekant er bestemt af enten vinklerne eller forholdet mellem siderne, så man kan fastslå ligedannethed med færre oplysninger. De mest brugte kriterier er:

• AA (vinkel–vinkel): Hvis to vinkler i én trekant er lige store med to vinkler i en anden trekant, er trekantenes tredje vinkler også lige store, og trekantene er ligedannede.
• SAS (side–vinkel–side) for lighed: Hvis to sider i én trekant er proportionale med to sider i en anden trekant, og den mellemliggende vinkel er lig med den tilsvarende vinkel, så er trekantene ligedannede.
• SSS (side–side–side) for lighed: Hvis alle tre sider i én trekant er proportionale med alle tre sider i en anden trekant (samme forhold k), er trekantene ligedannede.

Disse kriterier gør trekanter praktiske at arbejde med i konstruktioner og bevisførelse: ofte er det nok at kende to vinkler (AA) eller at kunne måle sider og vinkler i et par positioner (SAS eller SSS).

Eksempler og anvendelser

• Hvis en trekant har siderne 3, 4 og 5, og en anden trekant har tilsvarende sider 6, 8 og 10, så er de ligedannede med k = 2.
• Hvis du kender én trekants sidelængder og ved, at en anden trekant er ligedannet med den, kan du finde alle ukendte længder ved at gange med k. Arealet fås ved at gange med k^2.
• Ligedannethed bruges i måleteknik, korttegning, arkitektur og i trigonometriske anvendelser, når man ønsker at bestemme afstande eller højder ved hjælp af proportioner.

Ligedannethed for andre polygoner

For polygoner med flere end tre sider kræver man normalt både, at de tilsvarende vinkler er lige store, og at tilsvarende sider er proportionale. Det betyder, at man i praksis ofte sammenligner både vinkler og sidelængder for at afgøre ligedannethed mellem f.eks. fem- eller sekskanter.

Ligedannelses-transformationer

En lighedstransformation kan beskrives som en sammensætning af:

• Skalering (dilation): forstørrer eller formindsker figuren med faktor k omkring et centrum.
• Isometrier: rotation, translation og spejling — de ændrer ikke størrelsen, kun position eller orientering.

Sammenfattende kan man sige, at to figurer er ligedannede, hvis den ene kan opnås ved først at skalere den anden og derefter evt. rotere, forskyde eller spejle den.

Afsluttende bemærkninger

Ligedannethed er et centralt begreb i geometri, som gør det muligt at sammenligne former på tværs af størrelse. For trekanter kan man ofte afgøre ligedannethed med få oplysninger (AA, SAS, SSS), mens andre polygoner kræver både vinkellighed og proportionalitet mellem siderne. Husk også de praktiske formler: perimiter skalerer med k, og areal med k², hvilket gør det nemt at beregne størrelser, når lighedsforholdet er kendt.

Lighed er meget lig kongruens. Kongruente figurer har de samme sider og vinkler. Derfor er to figurer kongruente med hinanden, hvis den ene kan blive til den anden ved at dreje, spejle eller flytte den. Faktisk er alle former, der er kongruente med hinanden, også ens, men ikke omvendt.

Spørgsmål og svar

Q: Hvad er lighed?

Spørgsmål: Hvordan ved man, om to figurer ligner hinanden?

Spørgsmål: Er alle polygoner ens?

Spørgsmål: Hvordan er lighed sammenlignet med kongruens?

Spørgsmål: Er cirkler altid ens?

Søg efter bogstav