Schwarzschild-metrik: Definition og betydning for sorte huller

Lær Schwarzschild-metrikkens definition og betydning for sorte huller: hvordan rumtid og gravitation beskriver ikke-roterende sorte huller og partiklens bevægelse tæt ved singulariteten.

Forfatter: Leandro Alegsa

20-01-2026 10:11

Schwarzschild-metrikken blev beregnet af Karl Schwarzschild som en løsning på Einsteins feltligninger i 1916. Den er også kendt som Schwarzschild-løsningen og er en ligning fra den generelle relativitetsteori inden for astrofysik. En metrik henviser til en ligning, der beskriver rumtiden; en Schwarzschild-metrik beskriver især gravitationsfeltet omkring et sort Schwarzschild-hul - et ikke-roterende, kugleformet sort hul uden magnetfelt, og hvor den kosmologiske konstant er nul.

Det er i bund og grund en ligning, der beskriver, hvordan en partikel bevæger sig gennem rummet i nærheden af et sort hul.

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{{\frac {2GM}{rc^{2}}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$

Definition og grundlæggende egenskaber

Schwarzschild-metrikken er en eksakt, vakuumløsning (dvs. uden materiefelter, T_μν=0) til Einsteins feltsætning, som beskriver en statisk, spherisk symmetrisk rumtid uden elektrisk ladning eller rotation. Den afhænger kun af massen M og de fysiske konstanter G (gravitation) og c (lys- hastighed). For store afstande (r → ∞) går metrikten over i Minkowski-rumtiden (specielle relativitetsteori), hvilket betyder, at den beskriver et isoleret massepunkt i tom rumtid.

Schwarzschild-radius og begreber

Schwarzschild-radius r_s = 2GM/c². Denne radius markerer den klassiske begivenhedshorisont for et Schwarzschild-sort hul: alt, også lys, der ligger inden for r < r_s, kan ikke undslippe til uendelig.
Numerisk: r_s ≈ 2,95 km × (M / M_sun). For et objekt med Solens masse er Schwarzschild-radius altså kun et par kilometer.
Begivenhedshorisont ved r = r_s er ikke en fysisk (krumning-) singularitet men en koordinatsingularitet i Schwarzschild-koordinater: visse metrikkomponenter går til uendelig der, men rumtidens krumning (Riemann-tensorens invarians) er fin ved r = r_s.
Den sande fysiske singularitet findes i r = 0, hvor kurvaturinvarianter divergerer og den klassiske relativitet bryder sammen.
Krumningen af rumtiden uden for et punktligt massedistributionsområde er givet af denne løsning; Birkhoffs sætning siger, at enhver spherisk symmetrisk vakuumløsning er statisk og svarer til Schwarzschild-løsningen.

Fysiske konsekvenser og observationer

Tidsforlængelse og rødforskydning: Tidsfaktoren for en stasjonær observatør i Schwarzschild-rumtid er g_tt = -(1 - r_s/r). Et ur nær et massivt objekt går langsommere set udefra: den gravitationelle tidsdilation giver målbar rødforskydning af lys, hvilket er blevet testet i Jordens gravitationsfelt og i solsystemet.
Geodæter og baner: Partikler og fotoner følger geodæter i denne metrik. Løsningen forklarer f.eks. perihelpræcessionen for planeter og lysbøjning ved stjerner—begge observerede effekter, der bekræfter den generelle relativitet.
Lys og begivenhedshorisont: For lys er ds² = 0. Inden for r_s kan ingen lysstråle med fremadrettet tidsretning nå uendelig; derfor er r = r_s et enevejsgrænse (hvorimod en partikel udefra kan falde ind, men ikke komme ud).
Astrofysisk relevans: Schwarzschild-metrikken anvendes som første tilnærmelse for mange sorte huller (især langsomt roterende), for neutronstjerner i visse grænsetilfælde og til modellering af gravitationelle fænomener omkring kompakte objekter.

Koordinater, forlængelser og singulariteter

Schwarzschild-koordinaterne (t, r, θ, φ) er nyttige, men har begrænsning ved r = r_s. For at forstå, hvad der sker ved horisonten, indfører man alternative koordinater, der fjerner koordinatsingulariteten:

Eddington–Finkelstein-koordinater: Gør det muligt at beskrive lysstrålers og partiklers passage gennem horisonten kontinuerligt.
Kruskal–Szekeres-koordinater: Giver en maximal analytisk forlængelse af Schwarzschild-rumtid og viser klart strukturens globale egenskaber, herunder at horisonten er en lyslignende flade og at der findes en rigtig singularitet ved r = 0.

Begrænsninger og generaliseringer

Schwarzschild-løsningen gælder kun for ikke-roterende, uladede masser i vakuum. Virkelige sorte huller kan have spin og eventuelt ladning. De generelle varianter er f.eks. Kerr-metrikken (roterende) og Reissner–Nordström (ladet).
Den klassiske løsning forudsiger en fysisk singularitet ved r = 0; kvantegravitation forventes at ændre denne opførsel, men ingen fuldt ud accepteret kvanteteorie er endnu bekræftet eksperimentelt.

Kort opsummering

Schwarzschild-metrikken er den simpleste eksakte løsning i generel relativitet for et spherisk symmetrisk massesystem i vakuum.
Den introducerer begreberne Schwarzschild-radius (r_s = 2GM/c²) og begivenhedshorisonten, forklarer flere observerbare effekter (tidsdilation, rødforskydning, lysbøjning og perihelpræcession) og er begyndelsen til forståelsen af sorte huller.
For fuld forståelse af horisonten og global rumtidsstruktur anvendes andre koordinatsystemer som Kruskal–Szekeres eller Eddington–Finkelstein.

Bemærk: Den medfølgende formel og billedrepræsentation (ovenfor) viser Schwarzschild-metrikken i de klassiske Schwarzschild-koordinater; r i metrikken er her den cirkumferentielle radius (så omkreds = 2πr), ikke direkte den normale afstand målt langs en rak linje.

Afledning

Selv om man kan finde en mere kompliceret måde at beregne Schwarzschild-metrikken på ved hjælp af Christoffel-symboler, kan den også udledes ved hjælp af ligningerne for flugthastighed ( v e {\displaystyle v_{e}}} $v_{e}$ ), tidsudvidelse (dt') og længdekontraktion (dr'):

v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {\frac {2GM}{r}}}} $v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}$ (1)

v er partikelens hastighed
G er gravitationskonstanten
M er det sorte hulles masse
r er, hvor tæt partiklen er på det tunge objekt

d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dt'=dt{{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}}{c^{2}}}}}} $dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$ (2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}}{c^{2}}}}}}} $dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ (3)

dt' er partikelens sande ændring i tid
dt er partikelens ændring i tid
dr' er den sandt tilbagelagte afstand
dr er partikelens ændring i afstand
v er partikelens hastighed
c er lysets hastighed

Bemærk: det sande tidsinterval og den sande afstand, som partiklen tilbagelægger, er anderledes end den tid og afstand, der beregnes i den klassiske fysik, da den bevæger sig i et så kraftigt tyngdefelt!

Ved hjælp af ligningen for flad rumtid i sfæriske koordinater:

( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} $(ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (4)

ds er partiklens bane

θ {\displaystyle \theta } $\theta$ er vinklen
d θ {\displaystyle \theta } $\theta$ og d ϕ {\displaystyle \phi } $\phi$ er ændringen i vinklerne

Indtastning af ligningerne for flugthastighed, tidsudvidelse og længdekontraktion (ligning 1, 2 og 3) i ligningen for flad rumtid (ligning 4), for at få Schwarzschild-metrikken:

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (5)

Ud fra denne ligning kan vi udlede Schwarzschild-radius ( r s {\displaystyle r_{s}}} $r_{s}$ ), som er radius for dette sorte hul. Selv om dette oftest bruges til at beskrive et Schwarzschild sort hul, kan Schwarzschild-radius beregnes for ethvert tungt objekt.

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{{\frac {r_{s}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{{\frac {r_{s}}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (6)

r s {\displaystyle r_{s}}} $r_{s}$ er den fastsatte radiusgrænse for objektet

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er Schwarzschild-metrikken?

A: Schwarzschild-metrikken er en ligning fra den generelle relativitetsteori inden for astrofysik, der beskriver, hvordan en partikel bevæger sig gennem rummet nær et sort hul. Den blev beregnet af Karl Schwarzschild som en løsning på Einsteins feltligninger i 1916.

Spørgsmål: Hvad henviser en metrik til?

A: En metrik henviser til en ligning, der beskriver rumtiden; især beskriver en Schwarzschild-metrik gravitationsfeltet omkring et sort hul af Schwarzschilds type.

Sp: Hvad er nogle af Schwarzschilds sorte hullers karakteristika?

Svar: Schwarzschilds sorte hul er ikke-roterende, kugleformet og har intet magnetfelt. Desuden er dets kosmologiske konstant nul.

Spørgsmål: Hvordan kan man beskrive gravitationsfeltet omkring et sort hul efter Schwarzschild?

Svar: Vi kan beskrive det ved hjælp af Schwartzchilds metriske ligning, som beskriver, hvordan partikler bevæger sig gennem rummet i nærheden af denne type sort hul.

Spørgsmål: Hvem beregnede først denne ligning?

Svar: Karl Schwartzchild beregnede først denne ligning som en løsning på Einsteins feltligninger i 1916.

Spørgsmål: Hvad repræsenterer (ds)^2 i denne ligning?

Svar: (ds)^2 repræsenterer afstanden mellem to punkter i rumtiden målt med hensyn til tids- og rumkoordinater.

Søge