Schwarzschild-metrik

Schwarzschild-metrikken blev beregnet af Karl Schwarzschild som en løsning på Einsteins feltligninger i 1916. Den er også kendt som Schwarzschild-løsningen og er en ligning fra den generelle relativitetsteori inden for astrofysik. En metrik henviser til en ligning, der beskriver rumtiden; en Schwarzschild-metrik beskriver især gravitationsfeltet omkring et sort Schwarzschild-hul - et ikke-roterende, kugleformet sort hul uden magnetfelt, og hvor den kosmologiske konstant er nul.

Det er i bund og grund en ligning, der beskriver, hvordan en partikel bevæger sig gennem rummet i nærheden af et sort hul.

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{{\frac {2GM}{rc^{2}}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$

Afledning

Selv om man kan finde en mere kompliceret måde at beregne Schwarzschild-metrikken på ved hjælp af Christoffel-symboler, kan den også udledes ved hjælp af ligningerne for flugthastighed ( v e {\displaystyle v_{e}}} $v_{e}$ ), tidsudvidelse (dt') og længdekontraktion (dr'):

v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {\frac {2GM}{r}}}} $v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}$ (1)

v er partikelens hastighed
G er gravitationskonstanten
M er det sorte hulles masse
r er, hvor tæt partiklen er på det tunge objekt

d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dt'=dt{{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}}{c^{2}}}}}} $dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$ (2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}}{c^{2}}}}}}} $dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ (3)

dt' er partikelens sande ændring i tid
dt er partikelens ændring i tid
dr' er den sandt tilbagelagte afstand
dr er partikelens ændring i afstand
v er partikelens hastighed
c er lysets hastighed

Bemærk: det sande tidsinterval og den sande afstand, som partiklen tilbagelægger, er anderledes end den tid og afstand, der beregnes i den klassiske fysik, da den bevæger sig i et så kraftigt tyngdefelt!

Ved hjælp af ligningen for flad rumtid i sfæriske koordinater:

( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} $(ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (4)

ds er partiklens bane

θ {\displaystyle \theta } $\theta$ er vinklen
d θ {\displaystyle \theta } $\theta$ og d ϕ {\displaystyle \phi } $\phi$ er ændringen i vinklerne

Indtastning af ligningerne for flugthastighed, tidsudvidelse og længdekontraktion (ligning 1, 2 og 3) i ligningen for flad rumtid (ligning 4), for at få Schwarzschild-metrikken:

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (5)

Ud fra denne ligning kan vi udlede Schwarzschild-radius ( r s {\displaystyle r_{s}}} $r_{s}$ ), som er radius for dette sorte hul. Selv om dette oftest bruges til at beskrive et Schwarzschild sort hul, kan Schwarzschild-radius beregnes for ethvert tungt objekt.

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{{\frac {r_{s}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{{\frac {r_{s}}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (6)

r s {\displaystyle r_{s}}} $r_{s}$ er den fastsatte radiusgrænse for objektet

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er Schwarzschild-metrikken?

A: Schwarzschild-metrikken er en ligning fra den generelle relativitetsteori inden for astrofysik, der beskriver, hvordan en partikel bevæger sig gennem rummet nær et sort hul. Den blev beregnet af Karl Schwarzschild som en løsning på Einsteins feltligninger i 1916.

Spørgsmål: Hvad henviser en metrik til?

A: En metrik henviser til en ligning, der beskriver rumtiden; især beskriver en Schwarzschild-metrik gravitationsfeltet omkring et sort hul af Schwarzschilds type.

Sp: Hvad er nogle af Schwarzschilds sorte hullers karakteristika?

Svar: Schwarzschilds sorte hul er ikke-roterende, kugleformet og har intet magnetfelt. Desuden er dets kosmologiske konstant nul.

Spørgsmål: Hvordan kan man beskrive gravitationsfeltet omkring et sort hul efter Schwarzschild?

Svar: Vi kan beskrive det ved hjælp af Schwartzchilds metriske ligning, som beskriver, hvordan partikler bevæger sig gennem rummet i nærheden af denne type sort hul.

Spørgsmål: Hvem beregnede først denne ligning?

Svar: Karl Schwartzchild beregnede først denne ligning som en løsning på Einsteins feltligninger i 1916.

Spørgsmål: Hvad repræsenterer (ds)^2 i denne ligning?

Svar: (ds)^2 repræsenterer afstanden mellem to punkter i rumtiden målt med hensyn til tids- og rumkoordinater.