Cylinder (geometri) | en af de mest grundlæggende kurvede tredimensionelle geometriske former

Almindelig anvendelse

I almindelig brug forstås ved en cylinder et endeligt snit af en ret cirkelcylinder, dvs. cylinderen med de genererende linjer vinkelret på bundene, med enderne lukket til to cirkelflader, som i figuren (til højre). Hvis cylinderen har en radius r og en længde (højde) h, er dens volumen givet ved:

V = πr h²

og dens overfladeareal er:

• arealet af toppen (πr² ) +
• bundens areal (πr² ) +
• arealet af siden (2πrh).

Uden top og bund (sideareal) er overfladearealet derfor:

A = 2πrh.

Med top og bund er overfladen:

A = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h).

For et givet rumfang har cylinderen med det mindste overfladeareal h = 2r. For et givet overfladeareal har cylinderen med det største rumfang h = 2r, dvs. cylinderen passer ind i en terning (højde = diameter).

 

Bind

Med en ret cirkelformet cylinder med en højde h enheder og en bund med radius r enheder med koordinatakserne valgt således, at oprindelsen er i centrum af den ene bund og højden måles langs den positive x-akse. Et plant snit i en afstand af x enheder fra oprindelsen har et areal på A(x) kvadrat enheder, hvor

A ( x ) = π r 2 {\displaystyle A(x)=\pi r^{2}}

eller

A ( y ) = π r 2 {\displaystyle A(y)=\pi r^{2}}

Et volumenelement er en ret cylinder med et grundareal Aw_i kvadrat enheder og en tykkelse på Δ_i x enheder. Hvis V kubik enheder er rumfanget af den højre cirkulære cylinder, er der således tale om Riemanns summer,

V o l u m e af c y l i n d e r = lim | | | Δ → 0 | | | ∑ i = 1 n A ( w i ) Δ i x {\displaystyle \mathrm {Volume\;af\;cylinder} =\lim _{||\\Delta \til 0|||}\sum _{i=1}^{n}A(w_{i})\Delta _{i}x}

= ∫ 0 h A ( y ) 2 d y {\displaystyle =\int _{0}^{h}A(y)^{2}\,dy}

= ∫ 0 h π π r 2 d y {\displaystyle =\int _{0}^{h}\pi r^{2}\,dy}

= π r 2 h {\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h\,}

Ved hjælp af cylindriske koordinater kan volumenet beregnes ved integration over

= ∫ 0 h ∫ 0 2 π ∫ 0 r s d s d d d ϕ d z {\displaystyle =\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\,d\phi \,dz}

= π r 2 h {\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h\,}

 

Cylindrisk snit

Cylindriske snit er skæringspunkterne mellem cylindre og planer. For en ret cirkulær cylinder er der fire muligheder. Et plan, der tangerer cylinderen, møder cylinderen i en enkelt lige linje. Flyves planen parallelt med sig selv, skærer den enten ikke cylinderen eller skærer den i to parallelle linjer. Alle andre planer skærer cylinderen i en ellipse eller, når de er vinkelret på cylinderens akse, i en cirkel.

 

Andre typer af cylindre

En elliptisk cylinder eller cylindroid er en kvadrisk overflade med følgende ligning i kartesiske koordinater:

( x a ) 2 + ( y b ) 2 = 1. {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}}\right)^{2}=1.}

Denne ligning gælder for en elliptisk cylinder, som er en generalisering af den almindelige cirkulære cylinder (a = b). Endnu mere generel er den generaliserede cylinder: tværsnittet kan være en hvilken som helst kurve.

Cylinderen er en degenereret kvadratur, fordi mindst en af koordinaterne (i dette tilfælde z) ikke indgår i ligningen.

En skrå cylinder har en over- og underside, der er forskudt fra hinanden.

Der findes andre mere usædvanlige typer af cylindre. Det er de imaginære elliptiske cylindre:

( x a ) 2 + ( y b ) 2 = - 1 {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}}\right)^{2}=-1}

den hyperboliske cylinder:

( x a ) 2 - ( y b ) 2 = 1 {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}}\right)^{2}=1}

og den paraboliske cylinder:

x 2 + 2 a y = 0. {\displaystyle x^{2}+2ay=0.\,}

 

 
En elliptisk cylinder  


I projektiv geometri er en cylinder simpelthen en kegle, hvis spids er i uendelighed, hvilket visuelt svarer til en cylinder i perspektiv, der ser ud til at være en kegle mod himlen.