Central grænsesætning | sætninger om den begrænsende adfærd for aggregerede sandsynlighedsfordelinger

Inden for sandsynlighedsteori og statistik er de centrale grænsesætninger, forkortet CLT, sætninger om grænseadfærd for aggregerede sandsynlighedsfordelinger. De siger, at givet et stort antal uafhængige tilfældige variabler, vil deres sum følge en stabil fordeling. Hvis variansen af de tilfældige variabler er begrænset, vil der opstå en gaussisk fordeling. Dette er en af grundene til, at denne fordeling også er kendt som normalfordeling.

Den mest kendte og vigtigste af disse er kendt som den centrale grænsesætning. Det drejer sig om et stort antal tilfældige variabler med samme fordeling, som hver har en identisk begrænset varians og forventet værdi.

Mere specifikt, hvis X 1 , ... , X n {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}} $X_{1},\ldots ,X_{n}$ er n identiske og uafhængigt fordelte tilfældige variabler med middelværdi μ {\displaystyle \mu } $\mu$ og standardafvigelse σ {\displaystyle \sigma } $\sigma$ , så er fordelingen af deres stikprøvens middelværdi ( X 1 + ⋯ $(X_{1}+\cdots +X_{n})/n$ , når n bliver stor, er omtrent normal med middelværdi μ {\displaystyle \mu } $\mu$ og standardafvigelse σ n {\displaystyle {\tfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}} ${\tfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}$ . Desuden er fordelingen af deres sum, X 1 + ⋯ $X_{1}+\cdots +X_{n}$ , når n bliver stor, også tilnærmelsesvis normal, med middelværdien n μ {\displaystyle n\mu } $n\mu$ og standardafvigelsen n σ {\displaystyle {\sqrt {n}}}\sigma } ${\sqrt {n}}\sigma$ .

Der findes forskellige generaliseringer af dette teorem. Nogle af disse generaliseringer kræver ikke længere en identisk fordeling af alle tilfældige variabler. I disse generaliseringer sikrer en anden forudsætning, at ingen enkelt tilfældig variabel har en større indflydelse på resultatet end de andre. Eksempler herpå er Lindeberg- og Lyapunov-betingelserne.

Navnet på sætningen er baseret på en artikel af George Pólya fra 1920, About the Central Limit Theorem in Probability Theory and the Moment problem.

Relaterede sider

Standardfejl

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er den centrale grænsesætning?

A: Den centrale grænsesætning (CLT) er en sætning om den begrænsende adfærd for aggregerede sandsynlighedsfordelinger. Det fastslår, at givet et stort antal uafhængige tilfældige variabler, vil deres sum følge en stabil fordeling. Hvis variansen af de tilfældige variabler er begrænset, vil der opstå en gaussisk fordeling.

Spørgsmål: Hvem har skrevet den artikel, som denne sætning er baseret på?

Svar: George Pَlya skrev i 1920 artiklen "About the Central Limit Theorem in Probability Theory and the Moment Problem", som dannede grundlag for denne sætning.

Spørgsmål: Hvilken type fordeling opstår, når alle tilfældige variabler har finite varians?

Svar: Når alle tilfældige variabler har finite varians, vil der ved anvendelse af CLT fremkomme en gaussisk eller normalfordeling.

Spørgsmål: Er der nogen generaliseringer af CLT?

Svar: Ja, der findes forskellige generaliseringer af CLT, som ikke længere kræver en identisk fordeling af alle tilfældige variabler. Disse generaliseringer omfatter Lindeberg- og Lyapunovbetingelser, som sikrer, at ingen enkelt tilfældig variabel har større indflydelse end andre på resultatet.

Spørgsmål: Hvordan fungerer disse generaliseringer?

A: Disse generaliseringer sikrer, at ingen enkelt tilfældig variabel har større indflydelse end andre på resultatet ved at indføre yderligere forudsætninger såsom Lindeberg- og Lyapunovbetingelser.

Spørgsmål: Hvad siger CLT om stikprøvens gennemsnit og summen af et stort antal uafhængige tilfældige variabler med samme fordeling?

Svar: Ifølge CLT gælder det, at hvis n identiske og uafhængigt fordelte tilfældige variabler med middelværdi ى {\displaystyle \mu } og standardafvigelse َ {\displaystyle \sigma } så vil deres stikprøvegennemsnit (X1+...+Xn)/n være omtrent normalt med middelværdi ى {\displaystyle \mu } og standardafvigelse َ/√n {\displaystyle {\tfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}} . Desuden vil deres sum X1+...+Xn også være omtrent normal med middelværdi nى {\displaystyle n\mu } og standardafvigelse √nَ {\displaystyle {\sqrt {n}}\sigma } .