Proportioner: Definition og forklaring i matematik, statistik med eksempler
Lær proportioner: klar definition, trin-for-trin forklaring og praktiske eksempler i matematik og statistik — forstå procent, stikprøve- og populationsproportioner.
I matematik betyder ordet "proportioner" en lighed mellem to forhold. Altså en ligning af formen a/b = c/d, hvor både tællere og nævnere er tal eller udtryk. Proportioner bruges til at sammenligne størrelser og til at finde en ukendt værdi ved hjælp af krydsmultiplikation.
Grundlæggende eksempler
Nogle simple eksempler på proportioner:
- 50/100 = 1/2
- 75/100 = 3/4
- x/100 = 3/4, hvor x = 75 (løses ved at gange begge sider med 100)
Hvordan man løser en proportion
Hvis man har en proportion a/b = c/d, kan man bruge krydsmultiplikation: a·d = b·c. For at finde en ukendt værdi isolerer man den ved at dividere eller gange begge sider efter behov.
Eksempel: x/100 = 3/4. Krydsmultiplikation giver x·4 = 100·3, altså x = 300/4 = 75.
Anvendelse i algebra — praktisk eksempel
Proportioner bruges ofte til at beregne ændringer, når én størrelse ændres i forhold til en anden. Eksempel:
Antag, at man tidligere købte benzin for $40 til prisen $3,50 pr. enhed. Hvis prisen stiger til $3,85, hvad vil det samme antal enheder så koste?
Fremgangsmåde: Først finder vi hvor mange enheder man fik for $40 ved den gamle pris: 40 / 3,50. Det samme antal enheder til den nye pris koster derfor
x/3,85 = 40/3,50
Løsning ved krydsmultiplikation:
- x = (40 / 3,50) · 3,85 = 44,00
Det betyder, at det samme antal enheder koster $44,00 efter prisstigningen — altså $4 mere end før.
Direkte og omvendt proportionalitet
To begreber, der ofte omtales i forbindelse med proportioner:
- Direkte proportionalitet: Når én størrelse vokser i samme forhold som en anden. Formelt: y = kx (k er konstant). Eksempel: prisen på flere identiske varer er direkte proportional med antallet af varer.
- Omvendt proportionalitet: Når én størrelse falder, når den anden vokser, så produktet er konstant: y = k/x. Eksempel: tid ≈ arbejde/antal personer (ved konstant arbejdsindsats).
Proportioner i statistik
I statistik kaldes en proportion (andel) et tal, der angiver hvor stor en del af en stikprøve eller en population der har en bestemt egenskab. Ofte udtrykkes den som en brøk, et decimaltal eller en procentdel.
Til at repræsentere en stikprøveandel bruges ofte bogstavet
og til populationsandelen bruges bogstavet
Hvis x er antallet af "succeser" i en stikprøve af størrelse n, så er stikprøveandelen p = x/n. Eksempel: Hvis 30 ud af 120 adspurgte foretrækker en given mulighed, er p = 30/120 = 0,25 = 25%.
Ved statistiske analyser bruger man proportioner blandt andet til at beregne standardfejl, konfidensintervaller og til hypotesetest. Standardfejlen for en stikprøveproportion p er f.eks. sqrt(p(1−p)/n).
Yderligere bemærkninger
- Procenter er blot proportioner multipliceret med 100. Fx svarer 3/4 til 75%.
- Ved løsning af proportioner er det vigtigt at holde styr på enhederne (fx kr./liter eller personer/time) — enheden i resultatet følger af regnestykket.
- Proportioner er et enkelt, men meget anvendeligt værktøj i matematik, fysik, økonomi og statistik til at beskrive relationer mellem størrelser.
Proportionalitetskonstant
En proportionalitetskonstant er et tal, der bruges til at omregne en måling i ét system til den tilsvarende måling i et andet system. F.eks. kan folk, der er bekendt med det traditionelle enhedssystem, der anvendes i USA (pund, fod, tommer osv.), have brug for at finde ud af, hvad der svarer til disse mål i gram og meter. For at foretage disse beregninger har de brug for nogle proportionalitetskonstanter.
En måde at skrive en formel, der viser, hvordan man bruger en proportionalitetskonstant K, er:
KX = Y
F.eks. kan folk vide, at de har 100 æg, og de vil gerne vide, hvor mange dusin æg de har. Proportionalitetskonstanten K er i så fald 1 dusin/ 12 æg.
100 æg × (1 dusin / 12 æg) = 8 dusin æg + 4 æg
Generelt gælder det, at hvis to funktioner 
og 
, hvis der er en konstant 
, således at 
, så siger vi, at " 
er direkte proportional med 
". I symboler kan dette skrives som 
.
Eksempler på proportionalitetskonstanter
· Planck-konstanten udtrykker energien af en foton med en given frekvens i en almindeligt anvendt energienhed, joule.
Relaterede sider
- Proportionalitet
Spørgsmål og svar
Spørgsmål: Hvad betyder ordet "proportioner" i matematik?
A: I matematik betyder ordet "proportioner" to forholdsforhold, der sættes ind i en ligning.
Spørgsmål: Hvordan kan proportioner bruges til at løse almindelige problemer?
A: Proportioner kan bruges til at løse mange almindelige problemer om ændrede tal. Hvis prisen på et køb f.eks. stiger, kan man bruge proportioner til at beregne, hvor mange flere penge der skal bruges til det pågældende køb.
Spørgsmål: Hvad er en andel i statistik?
A: I statistik er en andel et tal, der måler omfanget af en bestemt egenskab i en stikprøve eller population og kan opfattes som en procentdel.
Spørgsmål: Hvordan repræsenteres stikprøveproportioner?
A: Proportioner i stikprøver repræsenteres ved hjælp af bogstavet p.
Spørgsmål: Hvordan repræsenteres populationsproportioner?
Svar: Befolkningsproportioner repræsenteres ved hjælp af det græske bogstav ً (pi).
Spørgsmål: Hvad er et eksempel på, hvordan proportioner kan bruges til at løse et problem?
A: Som et eksempel kan man for en stigning i et køb af benzin (benzin) til 40 $ sige, at hvis prisen steg 35 cent fra 3,50 $ til 3,85 $, så ville andelen være +x⁄3,85 = +40⁄3,50 $, og løsningen ville simpelthen være x = 40 $/3,50 x 3,85 = 44,00 $ eller 4 $ mere, når 0,35 $ højere .
Spørgsmål: Er der andre beregninger, der kan løses med proportioner?
A: Ja, mange andre almindelige beregninger kan løses ved at bruge proportioner til at vise sammenhænge mellem tal
Søge