Præcision i tal: Signifikante cifre, decimaler og afrunding

Forstå signifikante cifre, decimaler og korrekt afrunding — praktiske regler, eksempler og hvordan du undgår falsk præcision i videnskab og økonomi.

Præcisionen af en numerisk værdi beskriver antallet af cifre, der bruges til at vise værdien. I en videnskabelig sammenhæng er dette det samlede antal cifre (undertiden kaldet signifikante tal eller signifikante cifre) eller, mindre almindeligt, antallet af brøkcifre eller decimaler (antallet af cifre efter decimalkommaet). Denne anden definition er nyttig i finansielle og tekniske anvendelser, hvor antallet af cifre i brøkdelen har særlig betydning.

Begreberne er centrale, fordi de fortæller noget om den pålidelige nøjagtighed i en måling eller beregning. Signifikante cifre angiver hvor mange cifre i tallet, der menes at være meningsfulde målt i forhold til usikkerheden i målingen. Decimaler angiver, hvor mange cifre der vises efter decimalkommaet og er særligt relevante i regnskab og valuta, hvor faste antal decimaler ofte kræves.

I begge tilfælde kan udtrykket "præcision" bruges til at beskrive den position, hvor et upræcist resultat vil blive afrundet. I f.eks. flydende aritmetik afrundes et resultat til en given eller fast præcision, som er længden af den resulterende signifikant. I finansielle beregninger afrundes et tal ofte til et bestemt antal steder (f.eks. til to steder efter decimaladskillelsen for mange verdensvalutaer).

Hovedregler for afrunding og præcision:

• Addition og subtraktion: resultatet afrundes til den mindste præcision i decimalsted (dvs. samme antal cifre efter decimalkommaet som det operand med færrest decimaler).
• Multiplikation og division: resultatet afrundes til samme antal signifikante cifre som det operand med færrest signifikante cifre.
• Tie-break (halv-tilfælde): der findes flere metoder: "round half up" (almindelig afrunding), "round half to even" (bankers rounding) m.fl. Valg af metode påvirker især gentagne beregninger og statistiske summer.
• Rapportering af usikkerhed: det sidste cifre i et tal er typisk usikkert og bør ledsages af en usikkerhedsangivelse (f.eks. 12,3 ± 0,1).

F.eks. kan decimaltallet 12,345 udtrykkes med forskellige antal betydende cifre eller decimaler. Hvis der ikke er tilstrækkelig præcision til rådighed, afrundes tallet på en måde, så det passer til den tilgængelige præcision. Følgende tabel viser resultaterne for forskellige samlede præcisioner og decimaler afrundet til den nærmeste værdi ved hjælp af afrundingsmetoden.

Eksempler for 12,345

Samlede signifikante cifre (p):

• 5 signifikante cifre: 12,345
• 4 signifikante cifre: 12,35
• 3 signifikante cifre: 12,3
• 2 signifikante cifre: 12
• 1 signifikant ciffer: 10

Antal decimaler (cifre efter decimalkommaet):

• 3 decimaler: 12,345
• 2 decimaler: 12,35
• 1 decimal: 12,3
• 0 decimaler: 12

Bemærk, at det ofte ikke er hensigtsmæssigt at vise et tal med flere cifre end det, der kan måles. Hvis et apparat f.eks. måler til nærmeste gram og giver en måling på 12,345 kg, ville det skabe falsk præcision, hvis målingen blev udtrykt som "12,34500 kg" med 2 ekstra nuller ("00") til sidst.

Yderligere bemærkninger om nulpunkter og fortolkning:

• Ledende nuller (f.eks. 0,0025) tæller ikke som signifikante cifre. De markerer kun decimalplacering.
• Indskudte (faste) nuller mellem ikke-nul cifre (f.eks. 1002) er signifikante.
• Endende nuller kan være tvetydige. I tallet 1200 er det uklart, om der er to, tre eller fire signifikante cifre—brug videnskabelig notation (f.eks. 1,20×10^3 eller 1,200×10^3) eller decimalkomma (1200.) for at gøre betydningen klar.
• Eksakte tal (definitioner, optællinger osv.) betragtes som uendeligt præcise i den sammenhæng, hvor de anvendes (f.eks. 12 æbler = nøjagtigt 12, har uendeligt mange signifikante cifre i beregningen).

rund(10-n-x)-10n, hvor n = gulv(log10 x) + 1 - p.

Forklaring til formlen ovenfor: for et positivt tal x med p signifikante cifre bestemmer man først n, som angiver hvor mange pladser man skal flytte decimalkommaet for at få p cifre. Funktionen rund anvendes derefter for at udføre selve afrundingen i den aktuelle position. Denne fremgangsmåde svarer i praksis til at omskrive tallet i videnskabelig notation, afrunde den signifikante del og så gange tilbage til normal skala.

For et negativt tal er den numeriske værdi minus den absolutte værdi. Tallet 0 kan med enhver nøjagtighed betragtes som 0.

Praktiske råd

• Brug videnskabelig notation (f.eks. 1,2345×10^1) når du vil angive eksakt antal signifikante cifre uden tvetydighed.
• Ved rapportering af målinger angiv også usikkerhed (f.eks. 12,35 ± 0,01) i stedet for kun at give flere cifre.
• Vær opmærksom på computerens repræsentation af tal: binær flydende repræsentation kan give små repræsentationsfejl, som bør håndteres ved passende afrunding ved præsentation.
• Vælg og dokumentér altid den afrundingsmetode, I bruger, især i finans- og statistiske beregninger, hvor systematisk bias kan opstå ved gentagen afrunding.

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er præcision i en numerisk værdi?

Spørgsmål: Hvordan kan præcision bruges til at beskrive den position, hvor et upræcist resultat vil blive afrundet?

Sp: Hvordan kan 12,345 udtrykkes med forskellige antal betydende cifre eller decimaler?

Sp: Hvad sker der, når der ikke er tilstrækkelig præcision til rådighed?

Spørgsmål: Er det hensigtsmæssigt at vise et tal med flere cifre end det, der kan måles?

Sp: Hvilken formel repræsenterer positive tal x med en præcision på p signifikante cifre?

Søg efter bogstav