Arkimediske legemer: Definition, egenskaber og liste
Opdag arkimediske legemer: klar definition, nøgleegenskaber, komplet liste og historisk kontekst med eksempler og illustrationer til forståelse.
I geometri er et arkimedisk fast stof en konveks form, der består af polygoner. Det er et polyeder med følgende egenskaber:
- Hver flade består af regelmæssige polygoner.
- Alle hjørner (vertex) af formen ser ens ud set fra symmetrien — formen er vertex-transitiv.
- Formen er hverken et platonisk fast stof, et prisme eller et antiprisme.
Egenskaber og terminologi
Arkimediske legemer hører til de såkaldte uniforme polyedre: alle hjørner er ækvivalente under polyederets symmetrier, og alle flader er regulære polygoner, men der kan være mere end én type polygon blandt fladerne. På dansk bruges ofte betegnelserne "arkimediske legemer", "arkimediske polyedre" eller "semiregular polyhedra".
Typiske egenskaber:
- Konvekse former.
- Regelmæssige polygoner som flader (trekanter, firkanter, femkanter osv.).
- Vertex-transitivitet: alle hjørnerne er identiske med hensyn til symmetri.
- Mindst to forskellige slags polygoner er nødvendige for at opbygge et arkimedisk legeme.
Historie
De arkimediske faste legemer er opkaldt efter den antikke græske matematiker Archimedes, som sandsynligvis studerede dem i det 3. århundrede f.Kr. Selve Archimedes' egne skrifter om emnet er ikke bevaret, men deres indhold blev opsummeret af Pappus af Alexandria i det 4. århundrede. I renæssancen fik kunstnere og matematikere større interesse for disse "rene" former, og mange figurer blev genopdaget og undersøgt igen. Johannes Kepler bidrog til at afslutte katalogiseringen omkring begyndelsen af 1600-tallet.
Hvor mange er der?
Der er almindeligvis tretten arkimediske legemer, men hvis man tæller spejlvendte varianter (chiralitet) af visse figurer separat, kan tallet blive femten. Forklaringen er, at to af legemerne forekommer i to ikke-kongruente spejlvendte versioner, som man ikke kan bringe til at falde sammen ved rotation alene — de er spejlbilleder af hinanden. Derfor omtales de undertiden som to ekstra varianter i optællingen.
Begrebet "kongruente" nævnes ofte i denne sammenhæng: nogle former findes i to ikke-kongruente spejlvendte varianter, og de kan derfor ikke gøres kongruente ved hjælp af rotation.
Eksempler og genkendelse
Et velkendt eksempel på et arkimedisk legeme er det klassiske "fodboldmønster": et mønster af femkanter og sekskanter, som svarer til et trunkeret icosaeder (truncated icosahedron). Trunkerede (afskårne) varianter af Platons faste legemer er en almindelig vej til at konstruere arkimediske legemer: man "skærer" hjørnerne af et platonisk legeme, så de opståede nye flader er regulære polygoner.
Liste over de arkimediske legemer
De tretten arkimediske legemer (med de to chiralpar talt som enkelt) er blandt andet kendt under disse navne:
- Trunkeret tetraeder (truncated tetrahedron)
- Kuboctaeder (cuboctahedron)
- Trunkeret kube (truncated cube)
- Trunkeret oktaeder (truncated octahedron)
- Rombicuboctaeder (rhombicuboctahedron)
- Trunkeret kuboctaeder / stort rombicuboctaeder (truncated cuboctahedron / great rhombicuboctahedron)
- Snub kube (snub cube) — findes i to chiraliteter
- Icosidodecahedron (icosidodecahedron)
- Trunkeret dodekaeder (truncated dodecahedron)
- Trunkeret ikosaeder (truncated icosahedron)
- Rhombicosidodecahedron (rhombicosidodecahedron)
- Trunkeret icosidodecahedron / stort rhombicosidodecahedron (truncated icosidodecahedron / great rhombicosidodecahedron)
- Snub dodekaeder (snub dodecahedron) — findes i to chiraliteter
Hvis de to snub-legemer tælles med hver for sig (dvs. venstre- og højrehånds-versioner), bliver totalen femten.
Dualer og relaterede klasser
Hvert arkimedisk legeme har en dual, der ikke er uniform, men som til gengæld har lige vilkårlige flader — disse dualer kaldes Catalan-legemer. Arkimediske legemer ligger desuden tæt på Platons faste legemer og på de uendelige familier af prismatiske og antiprismatiske former i klassifikationen af polyedre.
Anvendelser
Arkimediske legemer optræder i kunst, arkitektur, design og kemi (molekylære netværk og klynger), og de bruges ofte i undervisning som illustrerende eksempler på symmetri, grafteori og geometri. Deres blanding af forskellige regulære flader gør dem både æstetisk interessante og matematisk rige at studere.
Samlet set er arkimediske legemer en central klasse af symmetriske, konvekse polyedre, karakteriseret ved regelmæssige flader og et højt grad af hjørnesymmetri, men med større variation i fladetyper end de platoniske legemer.
Et afkortet isosaeder ligner en fodbold. Den består af 12 ligesidede femkanter og 20 regelmæssige sekskanter. Det har 60 hjørner og 90 kanter. Det er et arkimedisk rum
Egenskaber
- Arkimediske faste legemer består af regelmæssige polygoner, og derfor har alle kanter samme længde.
- Alle arkimediske faste legemer kan fremstilles af platoniske faste legemer ved at "skære kanterne" af de platoniske faste legemer.
- Den type polygoner, der mødes i et hjørne ("toppunkt"), karakteriserer både det arkimediske og det platoniske faste stof
Forbindelse med platoniske faste legemer
Platoniske faste legemer kan omdannes til arkimediske faste legemer ved at følge en række regler for deres konstruktion.
Archimedeans faste legemer kan konstrueres som generatorpositioner i et kalejdoskop
Oversigt over arkimediske faste legemer
Følgende er en liste over alle arkimediske faste legemer
| Billede | Navn | Ansigter | Type | Kanter | Toppene |
|
| Afkortet tetraeder | 8 | 4 trekanter 4 sekskanter | 18 | 12 |
|
| 14 | 8 trekanter 6 firkanter | 24 | 12 | |
|
| Afkortet terning | 14 | 8 trekanter 6 ottekanter | 36 | 24 |
|
| Afkortet oktaeder | 14 | 6 firkanter 8 sekskanter | 36 | 24 |
|
| Rhombikuboktaeder | 26 | 8 trekanter 18 firkanter | 48 | 24 |
|
| Afkortet kuboktaeder | 26 | 12 firkanter 8 sekskanter 6 ottekanter | 72 | 48 |
|
| Snub cube (2 spejlede versioner) | 38 | 32 trekanter 6 firkanter | 60 | 24 |
|
| Icosidodekaeder | 32 | 20 trekanter 12 femkanter | 60 | 30 |
|
| Afkortet dodekaeder | 32 | 20 trekanter 12 decagoner | 90 | 60 |
|
| Afkortet isosaeder | 32 | 12 femkanter 20 sekskanter | 90 | 60 |
|
| Rhombicosidodekaeder | 62 | 20 trekanter30 firkanter12 | 120 | 60 |
|
| Afkortet icosidodekaeder | 62 | 30 firkanter 20 sekskanter 12 decagoner | 180 | 120 |
|
| Snub dodekaeder (2 spejlede versioner) | 92 | 80 trekanter 12 femkanter | 150 | 60 |
Spørgsmål og svar
Spørgsmål: Hvad er et arkimedisk fast stof?
A: Et arkimedisk fast stof er en konveks form bestående af polygoner, som har de egenskaber, at hver side er en regulær polygon, at alle hjørner ser ens ud, og at det ikke er et platonisk fast stof, et prisme eller et antiprisme.
Sp: Hvor mange arkimediske faste legemer findes der?
Svar: Afhængigt af hvordan de tælles, er der enten tretten eller femten arkimediske faste legemer.
Spørgsmål: Hvem opdagede de arkimediske faste legemer?
A: De arkimediske faste størrelser er opkaldt efter den gamle græske matematiker Archimedes, som sandsynligvis opdagede dem i det 3. århundrede f.Kr.
Spørgsmål: Hvad gjorde Pappus af Alexandria med Archimedes' skrifter?
Svar: Pappus af Alexandria opsummerede Archimedes' skrifter om de arkimediske faste størrelser i det 4. århundrede.
Spørgsmål: Hvorfor genopdagede kunstnere og matematikere de arkimediske faste legemer i renæssancen?
Svar: I renæssancen satte kunstnere og matematikere pris på rene former, og de arkimediske faste legemer blev betragtet som rene former.
Sp: Hvornår afsluttede Johannes Kepler sin søgen efter alle de arkimediske faste legemer?
Svar: Johannes Kepler afsluttede sandsynligvis søgningen efter alle de arkimediske faste størrelser omkring 1620.
Spørgsmål: Hvad skal der til for at konstruere et arkiimedisk fast stof?
Svar: For at konstruere et arkimedisk rum kræver det mindst to forskellige polygoner.
Søge