I geometri er et arkimedisk fast stof en konveks form, der består af polygoner. Det er et polyeder med følgende egenskaber:

  • Hver flade består af regelmæssige polygoner.
  • Alle hjørner (vertex) af formen ser ens ud set fra symmetrien — formen er vertex-transitiv.
  • Formen er hverken et platonisk fast stof, et prisme eller et antiprisme.

Egenskaber og terminologi

Arkimediske legemer hører til de såkaldte uniforme polyedre: alle hjørner er ækvivalente under polyederets symmetrier, og alle flader er regulære polygoner, men der kan være mere end én type polygon blandt fladerne. På dansk bruges ofte betegnelserne "arkimediske legemer", "arkimediske polyedre" eller "semiregular polyhedra".

Typiske egenskaber:

  • Konvekse former.
  • Regelmæssige polygoner som flader (trekanter, firkanter, femkanter osv.).
  • Vertex-transitivitet: alle hjørnerne er identiske med hensyn til symmetri.
  • Mindst to forskellige slags polygoner er nødvendige for at opbygge et arkimedisk legeme.

Historie

De arkimediske faste legemer er opkaldt efter den antikke græske matematiker Archimedes, som sandsynligvis studerede dem i det 3. århundrede f.Kr. Selve Archimedes' egne skrifter om emnet er ikke bevaret, men deres indhold blev opsummeret af Pappus af Alexandria i det 4. århundrede. I renæssancen fik kunstnere og matematikere større interesse for disse "rene" former, og mange figurer blev genopdaget og undersøgt igen. Johannes Kepler bidrog til at afslutte katalogiseringen omkring begyndelsen af 1600-tallet.

Hvor mange er der?

Der er almindeligvis tretten arkimediske legemer, men hvis man tæller spejlvendte varianter (chiralitet) af visse figurer separat, kan tallet blive femten. Forklaringen er, at to af legemerne forekommer i to ikke-kongruente spejlvendte versioner, som man ikke kan bringe til at falde sammen ved rotation alene — de er spejlbilleder af hinanden. Derfor omtales de undertiden som to ekstra varianter i optællingen.

Begrebet "kongruente" nævnes ofte i denne sammenhæng: nogle former findes i to ikke-kongruente spejlvendte varianter, og de kan derfor ikke gøres kongruente ved hjælp af rotation.

Eksempler og genkendelse

Et velkendt eksempel på et arkimedisk legeme er det klassiske "fodboldmønster": et mønster af femkanter og sekskanter, som svarer til et trunkeret icosaeder (truncated icosahedron). Trunkerede (afskårne) varianter af Platons faste legemer er en almindelig vej til at konstruere arkimediske legemer: man "skærer" hjørnerne af et platonisk legeme, så de opståede nye flader er regulære polygoner.

Liste over de arkimediske legemer

De tretten arkimediske legemer (med de to chiralpar talt som enkelt) er blandt andet kendt under disse navne:

  • Trunkeret tetraeder (truncated tetrahedron)
  • Kuboctaeder (cuboctahedron)
  • Trunkeret kube (truncated cube)
  • Trunkeret oktaeder (truncated octahedron)
  • Rombicuboctaeder (rhombicuboctahedron)
  • Trunkeret kuboctaeder / stort rombicuboctaeder (truncated cuboctahedron / great rhombicuboctahedron)
  • Snub kube (snub cube) — findes i to chiraliteter
  • Icosidodecahedron (icosidodecahedron)
  • Trunkeret dodekaeder (truncated dodecahedron)
  • Trunkeret ikosaeder (truncated icosahedron)
  • Rhombicosidodecahedron (rhombicosidodecahedron)
  • Trunkeret icosidodecahedron / stort rhombicosidodecahedron (truncated icosidodecahedron / great rhombicosidodecahedron)
  • Snub dodekaeder (snub dodecahedron) — findes i to chiraliteter

Hvis de to snub-legemer tælles med hver for sig (dvs. venstre- og højrehånds-versioner), bliver totalen femten.

Dualer og relaterede klasser

Hvert arkimedisk legeme har en dual, der ikke er uniform, men som til gengæld har lige vilkårlige flader — disse dualer kaldes Catalan-legemer. Arkimediske legemer ligger desuden tæt på Platons faste legemer og på de uendelige familier af prismatiske og antiprismatiske former i klassifikationen af polyedre.

Anvendelser

Arkimediske legemer optræder i kunst, arkitektur, design og kemi (molekylære netværk og klynger), og de bruges ofte i undervisning som illustrerende eksempler på symmetri, grafteori og geometri. Deres blanding af forskellige regulære flader gør dem både æstetisk interessante og matematisk rige at studere.

Samlet set er arkimediske legemer en central klasse af symmetriske, konvekse polyedre, karakteriseret ved regelmæssige flader og et højt grad af hjørnesymmetri, men med større variation i fladetyper end de platoniske legemer.