Aritmetikkens fundamentalsætning | en sætning i talteori

Bevis

Den første person, der beviste sætningen, var Euklid. Det første detaljerede og korrekte bevis blev fundet i Disquisitiones Arithmeticae af Carl Friedrich Gauß.

Nogle mennesker tror måske, at sætningen er sand overalt. Sætningen er imidlertid ikke sand i mere generelle talsystemer, som f.eks. algebraiske heltal. Dette blev første gang nævnt af Ernst Kummer i 1843 i hans arbejde om Fermats sidste sætning. For yderligere oplysninger om dette: læs algebraisk talteori.

Beviset består af to dele: først viser vi, at ethvert tal kan skrives som et produkt af primtal; dernæst viser vi, at hvis vi skriver et tal som et produkt af primtal for anden gang, så må de to lister over primtal være de samme.

Første del af beviset

Vi viser, at hvis ikke alle tal større end 1 kan skrives som et produkt af primtal, ender vi i en slags umulighed. Så herefter konkluderer vi, at det må være sandt, at alle tal kan skrives som et produkt af primtal.

Så se nu, hvad der sker, når nogen siger, at han/hun kender et positivt heltal, der er større end 1, som ikke kan skrives som et produkt af primtal. I så fald beder vi ham/hende om at nævne alle de tal, der er større end 1, som ikke kan skrives som et produkt af primtal. Et af disse tal skal være det mindste af dem: vi kalder det n. Naturligvis kan dette tal n ikke være 1. Det kan heller ikke være et primtal, for et primtal er et "produkt" af et enkelt primtal: sig selv. Det skal altså være et produkt af tal. Således-

n = ab

hvor både a og b er positive hele tal, der naturligvis er mindre end n. Men: n var det mindste tal, der ikke kan skrives som et produkt af primtal. Så det må være muligt at skrive a og b som produkter af primtal, fordi de begge er mindre end n. Men så er produktet

n = ab

kan også skrives som et produkt af primtal. Dette er en umulighed, fordi vi sagde, at n ikke kan skrives som et produkt af primtal.

Vi har nu vist, at det er umuligt, hvis den første del af sætningen ikke er sand. På denne måde har vi nu bevist den første del af sætningen.

Anden del af beviset

Nu skal vi bevise, at der kun er én måde at skrive et positivt tal større end 1 på som et produkt af primtal.

Til dette formål bruger vi følgende lemma: Hvis et primtal p deler et produkt ab, så deler det enten a eller b (Euklids lemma). Først skal vi nu bevise dette lemma. Godt, antag nu, at p ikke deler a. Så er p og a coprime, og vi har Bezout's identitet, der siger, at der må være hele tal x og y, således at

px + ay = 1.

Multiplikation af alt med b giver

pbx + aby = b,

Husk, at ab kunne deles med p. Så nu har vi på venstre side to termer, der er delelige med p. Så termen på højre side er også delelig med p. Vi har nu bevist, at hvis p ikke deler a, må det dele b. Det beviser lemmaet.

Nu skal vi bevise, at vi kun kan skrive et heltal større end 1 på én måde som et produkt af primtal. Tag to produkter af primtal A og B, som har samme resultat. Vi ved altså for produkternes udfald, at A = B. Tag et vilkårligt primtal p fra det første produkt A. Det deler A, så det deler også B. Ved flere gange at bruge det lemma, vi lige har bevist, kan vi se, at p så må dele mindst én faktor b af B. Men faktorerne er alle primtal selv, så også b er primtal. Men vi ved, at p også er primtal, så p må være lig med b. Så nu dividerer vi A med p og dividerer også B med p. Og vi får et resultat som A* = B*. Igen kan vi tage et primtal p fra det første produkt A* og finde ud af, at det er lig med et tal i produktet B*. Hvis vi fortsætter på denne måde, kan vi til sidst se, at primfaktorerne i de to produkter må være nøjagtig ens. Dette beviser, at vi kun kan skrive et positivt heltal som et produkt af primtal på én enkelt måde.

Relaterede sider

• Grundlæggende sætning i algebra