Fraktal

Eksempler

Der findes mange typer fraktaler, som er lavet på mange forskellige måder. Et eksempel er Sierpinski-trekanten, hvor der er et uendeligt antal små trekanter inden for den store trekant. Et andet eksempel er Mandelbrot-mængden, der er opkaldt efter Benoît Mandelbrot. Sierpinksi-trekanten er konstrueret ved hjælp af mønstre, men Mandelbrot-mængden er baseret på en ligning.

Der er også mange naturlige eksempler på fraktaler i naturen, herunder træer, snefnug, visse grøntsager og kystlinjer.

Koch-kurven

Koch-kurven er et simpelt eksempel på en fraktal. Først starter vi med en del af en lige linje - kaldet et retlinjesegment. Skær linjen i 3 stykker af samme størrelse. Fjern den midterste af disse stykker, og sæt den øverste del af en trekant ind med sider, der er lige lange som den del, der skal skæres ud. Vi har nu 4 linjestykker, som berører hinanden i enderne. Vi kan nu gøre det, som vi lige har gjort med det første segment, med hver af de 4 stykker. Vi kan nu gøre det samme igen og igen med alle de stykker, vi får. Vi gør nu dette for evigt og ser, hvad vi ender med.

Længden af Koch-kurven er uendelig, og arealet af Koch-kurven er nul. Dette er ret mærkeligt. Et linjestykke (med dimension 1) kan have en længde på 1, men det har et areal på 0. Et kvadrat med længde 1 og bredde 1 (med dimension 2) vil have areal 1 og længde uendelig.

Dimensionen lighed

Koch-kurven synes altså at være større end noget af dimension 1 og mindre end noget af dimension 2. Ideen med lighedsdimensionen er at give en dimension, som giver en bedre idé om længde eller areal for fraktaler. Så for en Koch-kurve ønsker vi en dimension mellem 1 og 2.

Koch-kurven kan skæres i fire stykker, som hver er 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}}} af størrelsen af originalen. Vi kalder antallet af stykker, som en fraktal kan skæres i, for N {\displaystyle N} , og vi kalder størrelsesforskellen B {\displaystyle B} . Vi sætter dem ind i ligningen:

log N - log B {\displaystyle {\frac {\log N}{-\log B}}}

Hvor log {\displaystyle \log } er logaritmen af et tal. Dette tal er fraktalens Hausdorff-dimension. I Koch-kurven er dette log 4 - log 1 3 = 1,2619... {\displaystyle {\frac {\log 4}{-\log {\frac {\frac {1}{3}}}}=1,2619... } som vi ønskede.

Koch-kurven er en af de enkleste fraktalformer, og derfor er dens dimension let at beregne. Dens similaritetsdimension og Hausdorff-dimension er begge ens. Dette gælder ikke for mere komplekse fraktaler.

Koch snefnug

Koch-snefnuget (eller Koch-stjernen) er det samme som Koch-kurven, bortset fra at det starter med en ligesidet trekant i stedet for et linjestykke.

Sådan laver du Koch-kurven

Bruger

Fraktaler har mange anvendelsesmuligheder, f.eks. inden for biologi (lunge, nyrer, hjerterytmevariabilitet osv.), jordskælv, finanssektoren, hvor de er relateret til de såkaldte tunge halefordelinger, og inden for fysik. Dette tyder på, at fraktaler bør studeres for at forstå, hvorfor fraktaler er så hyppige i naturen.

Nogle fraktaler findes kun af kunstneriske årsager, men andre er meget nyttige. Fraktaler er meget effektive former for radioantenner og bruges i computerchips til effektivt at forbinde alle komponenterne. Kystlinjer kan også betragtes som fraktaler.