Algebraiske strukturer: definition og eksempler på grupper, ringe, felter

Få klare definitioner, nøgletidspunkter og konkrete eksempler på algebraiske strukturer — grupper, ringe og felter forklaret enkelt for studerende og matematikinteresserede.

I matematik er en algebraisk struktur en mængde sammen med en, to eller flere binære operationer defineret på den. En binær operation på en mængde M er en regel, som til ethvert ordnet par (a, b) af elementer i M knytter et entydigt element a ⋆ b i M; operationen er altså en funktion M × M → M. Vigtige egenskaber for binære operationer er f.eks. lukkethed (resultatet ligger i mængden), associativitet, kommutativitet, tilstedeværelsen af et identitetselement og muligheden for inverse elementer.

De grundlæggende algebraiske strukturer med én binær operation er følgende:

• Magma (matematik)

En magma er blot en mængde udstyret med en binær operation (ingen yderligere krav som associativitet eller identitet). Mange naturlige eksempler opstår, når man har en lukket sammensætningsregel, f.eks. vil enhver mængde af funktioner med sammensætning eller enhver mængde af tal med en given måde at kombinere dem på være magmas.

• Semigruppe

En semigruppe er en magma, hvor operationen er associativ: for alle a, b, c gælder (a ⋆ b) ⋆ c = a ⋆ (b ⋆ c). Eksempel: de naturlige tal med addition eller multiplikation.

• Monoide

En monoide er en semigruppe, som desuden har et identitetselement e, dvs. et element med e ⋆ a = a ⋆ e = a for alle a. Eksempler: de naturlige tal inklusive 0 med addition (0 er identiteten), eller endomorfier af en mængde med sammensætning (identitetsafbildningen er identiteten).

• Gruppe

En gruppe er en monoide, hvor hvert element har et omvendt element (invers): for hvert a findes et b sådan at a ⋆ b = b ⋆ a = e. Grupper er centrale i algebra og symmetri. Eksempler: (Z, +) er en abelsk (kommutativ) gruppe; den generelle lineære gruppe GL(n, R) af invertible n×n-matricer er en ikke-kommutativ gruppe under matrixmultiplikation.

• Kommutativ gruppe

En kommutativ (abelsk) gruppe er en gruppe hvis operation er kommutativ, dvs. a ⋆ b = b ⋆ a for alle a, b. Mange grupper i talteori og additiv algebra er kommutative, fx vektorers addition.

Strukturer med to binære operationer

Når en mængde har to indbyrdes forbundne binære operationer, taler man typisk om addition og multiplikation. De mest almindelige eksempler er ringe og felter.

• Ring

En ring er en mængde med to operationer (sædvanligvis skrevet + og ·), hvor (M, +) danner en kommutativ gruppe, (M, ·) danner en semigruppe (nogle definitioner kræver en enhed for multiplikation, andre tillader ikke), og multiplikationen er distributiv over addition fra begge sider. Ringe optræder overalt i algebra; klassiske eksempler er heltalene Z, heltal modulo n, og polynomier over et felt. Ofte skelner man mellem ringe med 1 (enhed) og såkaldte rng'er uden enhed.

• Kommutativ ring

En kommutativ ring er en ring hvis multiplikation er kommutativ. Mange fundamentale konstruktioner i algebraisk geometri og talteori bruger kommutative ringe.

• Område

En område (ofte kaldet integritetsdomæne på dansk) er en kommutativ ring uden nuldivisorer, hvor multiplikationen på de ikke-nul elementer giver en (multiplikativ) semigruppe uden degenerering ved nul. En tæt beslægtet og stærkere struktur er et felt:

• Felt (felt)

Et felt er en kommutativ ring med 1 ≠ 0, hvor alle ikke-nul elementer har en multiplikativ invers. Det betyder, at (F \ {0}, ·) er en abelsk gruppe. Klassiske eksempler er rationelle tal Q, reelle tal R, komplekse tal C, og endelige felter GF(p) for primtal p. Felter er grundlaget for lineær algebra og mange områder af talteori og algebraisk geometri.

Vigtige egenskaber og begreber

• Identitet og enhedselement: Nogle strukturer kræver et neutralt element for en operation (f.eks. 0 for addition, 1 for multiplikation).
• Inverser: Eksistensen af inverser (additive eller multiplicative) er central i grupper og felter.
• Associativitet og kommutativitet: Mange teorier bygger på, om operationerne er associative/kommutative eller ej.
• Nuldivisorer og enhedselementer (units): I ringteori er det vigtigt at kende, hvilke elementer der har multiplikative inverser (units) og hvilke par der giver produkt 0 (nuldivisorer).
• Karakteristik: Et tal, der angiver, hvor mange gange 1 må lægges til sig selv for at få 0; det skelner mellem f.eks. felter af karakteristik 0 (Q, R, C) og karakteristik p (GF(p)).
• Homomorfier: Strukturbevarende afbildninger (f.eks. gruppemorphism, ringhomomorfier) og deres kerner og billeder er grundlæggende i studiet af algebraiske strukturer.
• Undermængder og kvotienter: Begreber som undergrupper, idealer og normalundergrupper tillader konstruktion af nye strukturer (kvotientgrupper og kvotientringe).

Typiske eksempler

• Grupper: (Z, +) — den additive gruppe af heltal; cykliske grupper Z/nZ; symmetriske grupper S_n på n symboler; dihedrale grupper D_n (symmetrier af en regulær n‑kant); matrixgrupper som GL(n, R).
• Ringe: heltallene Z; restklasser Z/nZ; polynomier R[x]; matricer M_n(R) (ikke-kommutativ ring); ringen af kontinuerte funktioner på et rum.
• Felter: Q, R, C; endelige felter GF(p) og GF(p^k); feltet af rationale funktioner k(x).

Videre konstruktioner og anvendelser

Algebraiske strukturer kombineres og bygges videre på mange måder: direkte produkter, sum- og tensorprodukter, lokalisation, polynomringkonstruktion og feltudvidelser (f.eks. algebraiske udvidelser og Galoisteori). Disse konstruktioner ligger til grund for moderne algebraisk geometri, talteori, kodningsteori, kryptering og mange dele af moderne matematik og anvendt matematik.

Kort sagt: en algebraisk struktur er et sæt med bestemte operationsregler, og ved at stille flere krav (associativitet, identitet, inverser, distributivitet mv.) får man specialiserede strukturer som grupper, ringe og felter, som hver især har righoldige teorier og mange anvendelser.

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er en algebraisk struktur?

Spørgsmål: Hvad er de grundlæggende algebraiske strukturer med én binær operation?

Spørgsmål: Hvad er de grundlæggende algebraiske strukturer med to binære operationer?

Sp: Hvad er en magma (matematik)?

Spørgsmål: Hvad er en semigruppe?

Spørgsmål: Hvad betyder det, at en operation er kommutativ?

Søg efter bogstav