Algebraisk ligning
I matematikken er en algebraisk ligning, også kaldet polynomiel ligning over et givet felt, en ligning af formen
P = Q {\displaystyle P=Q} 
hvor P og Q er polynomier over det pågældende felt og har én (univariat) eller flere (multivariat) variable. For eksempel:
y 4 + x y 2 = x 3 3 3 - x y 2 + y 2 - 1 7 {\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}}={\frac {x^{3}}}{3}}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}} 
er en algebraisk ligning over de rationelle tal.
To ligninger kaldes ækvivalente, hvis de har det samme sæt af løsninger. Det betyder, at alle løsninger i den anden ligning også skal være løsninger i den første og omvendt. Ligningen P = Q {\displaystyle P=Q} er ækvivalent med P - Q = 0 {\displaystyle P-Q=0}
. Undersøgelsen af algebraiske ligninger svarer altså til undersøgelsen af polynomier.
Hvis en algebraisk ligning er over de rationale tal, kan den altid omdannes til en tilsvarende ligning, hvor alle koefficienterne er hele tal. I ligningen ovenfor multiplicerer vi f.eks. med 42 = 2-3-7 og grupperer termerne i det første led. Ligningen omdannes til
42 y 4 + 21 x y - 14 x 3 + 42 x y 2 - 42 y 2 + 6 = 0 {\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0} 
Løsningerne til en ligning er de værdier af de variabler, for hvilke ligningen er sand. Men for algebraiske ligninger er der også såkaldte rødder. Når vi løser en ligning, skal vi sige, i hvilket sæt løsningerne er tilladt. For en ligning over de rationale tal kan man f.eks. finde løsninger i de hele tal. Så er ligningen en diophantinisk ligning. Man kan også søge efter løsninger i området af komplekse tal. Man kan også lede efter løsninger i reelle tal.
Gamle matematikere ønskede løsninger af univariate ligninger (dvs. ligninger med én variabel) i form af radikale udtryk, som x = 1 + 5 2 {\displaystyle x={\frac {{1+{{{\sqrt {5}}}}{2}}}}
for den positive løsning af x 2 + x - 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-1=0}} 
potens af variablen er 2) på denne måde. I renæssancen løste Gerolamo Cardano ligningen af grad 3, og Lodovico Ferrari løste ligningen af grad 4. Endelig beviste Niels Henrik Abel i 1824, at ligningen af grad 5 og ligninger af højere grad ikke altid kan løses ved hjælp af radikaler. Galois-teorien, der er opkaldt efter Évariste Galois, blev indført for at opstille kriterier for, om en ligning kan løses ved hjælp af radikaler.
Spørgsmål og svar
Spørgsmål: Hvad er en algebraisk ligning?
A: En algebraisk ligning er en ligning af formen P = Q, hvor P og Q er polynomier over et givet felt med en eller flere variable.
Sp: Hvordan kan to ligninger være ækvivalente?
Svar: To ligninger anses for at være ækvivalente, hvis de har det samme sæt af løsninger, hvilket betyder, at alle løsninger til den ene også skal være løsninger til den anden og omvendt.
Spørgsmål: Hvad betyder det at løse en ligning?
A: At løse en ligning betyder at finde de værdier for de variabler, der gør ligningen sand. Disse værdier kaldes rødder.
Spørgsmål: Kan algebraiske ligninger over rationale tal altid omdannes til ligninger med heltals koefficienter?
Svar: Ja, ved at gange begge sider med et tal som f.eks. 42 = 2-3-7 og gruppere termerne i det første led kan enhver algebraisk ligning over rationale tal omdannes til en ligning med hele koefficienter.
Spørgsmål: Hvornår ønskede gamle matematikere radikale udtryk for univariate ligninger?
Svar: De gamle matematikere ønskede radikale udtryk (som x=1+√5/2) for univariate ligninger (ligninger med én variabel) i renæssancetiden.
Sp: Hvem løste ligninger af grad 3 og 4 i denne periode?
Svar: Gerolamo Cardano løste grad 3-ligninger og Lodovico Ferrari løste grad 4-ligninger i denne periode.
Spørgsmål: Hvem beviste, at ligninger af højere grad ikke altid kan løses ved hjælp af radikaler?
Svar: Niels Henrik Abel beviste i 1824, at ligninger af højere grad ikke altid kan løses ved hjælp af radikaler.
