Algebraisk ligning (polynomiel): Definition, rødder og løsningsmetoder

Guide til algebraiske (polynomielle) ligninger: definition, rødder, løsningsmetoder — fra rationale og hele tal til reelle og komplekse løsninger og historiske formler.

I matematikken er en algebraisk ligning, også kaldet polynomiel ligning over et givet felt, en ligning af formen

P = Q {\displaystyle P=Q}

hvor P og Q er polynomier over det pågældende felt og har én (univariat) eller flere (multivariat) variable. For eksempel:

y 4 + x y 2 = x 3 3 3 - x y 2 + y 2 - 1 7 {\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}}={\frac {x^{3}}}{3}}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}}

er en algebraisk ligning over de rationelle tal.

To ligninger kaldes ækvivalente, hvis de har det samme sæt af løsninger. Det betyder, at alle løsninger i den anden ligning også skal være løsninger i den første og omvendt. Ligningen P = Q {\displaystyle P=Q} er ækvivalent med P - Q = 0 {\displaystyle P-Q=0} . Undersøgelsen af algebraiske ligninger svarer altså til undersøgelsen af polynomier.

Hvis en algebraisk ligning er over de rationale tal, kan den altid omdannes til en tilsvarende ligning, hvor alle koefficienterne er hele tal. I ligningen ovenfor multiplicerer vi f.eks. med 42 = 2-3-7 og grupperer termerne i det første led. Ligningen omdannes til

42 y 4 + 21 x y - 14 x 3 + 42 x y 2 - 42 y 2 + 6 = 0 {\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0}

Løsningerne til en ligning er de værdier af de variabler, for hvilke ligningen er sand. Men for algebraiske ligninger er der også såkaldte rødder. Når vi løser en ligning, skal vi sige, i hvilket sæt løsningerne er tilladt. For en ligning over de rationale tal kan man f.eks. finde løsninger i de hele tal. Så er ligningen en diophantinisk ligning. Man kan også søge efter løsninger i området af komplekse tal. Man kan også lede efter løsninger i reelle tal.

Gamle matematikere ønskede løsninger af univariate ligninger (dvs. ligninger med én variabel) i form af radikale udtryk, som x = 1 + 5 2 {\displaystyle x={\frac {{1+{{{\sqrt {5}}}}{2}}}} for den positive løsning af x 2 + x - 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-1=0}} potens af variablen er 2) på denne måde. I renæssancen løste Gerolamo Cardano ligningen af grad 3, og Lodovico Ferrari løste ligningen af grad 4. Endelig beviste Niels Henrik Abel i 1824, at ligningen af grad 5 og ligninger af højere grad ikke altid kan løses ved hjælp af radikaler. Galois-teorien, der er opkaldt efter Évariste Galois, blev indført for at opstille kriterier for, om en ligning kan løses ved hjælp af radikaler.

Rødder, multiplicitet og det fundamentale resultat

Hvis man har en univariat polynomiel ligning f(x)=0 over et felt (fx de komplekse tal), kaldes en løsning α en rod eller nulpunktsløsning af f. En rod kan have multiplicitet m ≥ 1, dvs. (x−α)^m er en faktor, men (x−α)^m+1 ikke er. Multiplicitet påvirker fx tangenthældning: en rod med multiplicitet >1 er også rod til den afledte f′(x).

Fundamentalteoremet for algebraen siger, at ethvert ikke-konstant polynomium med komplekse koefficienter har mindst én kompleks rod, og i realiteten n rødder (talt med multipliciteter), hvor n er graden. Det betyder, at et grad-n polynomium faktoreres i en produkt af n lineære faktorer over ℂ.

Hvor søger vi løsninger — felter og klasser af ligninger

• Komplekse tal (ℂ): Her får man altid n rødder for grad n (Fundamentalteoremet).
• Reelle tal (ℝ): Rødder kan være reelle eller forekomme som komplekse konjugater.
• Rationelle og hele tal (ℚ, ℤ): Søger man løsninger i ℚ eller ℤ taler man ofte om diophantinske problemer — disse kan være betydeligt vanskeligere og kræver særlige metoder.
• Andre felter: Over endelige felter eller algebraiske udvidelser ændrer både antallet og typen af rødder sig efter fieldens egenskaber.

Løsningsmetoder for univariate polynomier

Metodevalg afhænger af grad og ønsket form (eksakt eller numerisk):

• Faktorering: Hvis polynomiet kan faktoriseres i lavere grads faktorer (fx lineære eller kvadratiske faktorer), kan man reducere problemet. Metoder: gruppering, særlige identiteter, eller computer-algoritmer som factorization i CAS.
• Rational root theorem (rationelle rødder): For polynomier med heltalskoefficienter giver denne teorem en endelig liste af mulige rationelle rødder p/q, hvor p dividerer konstantleddet og q dividerer førstekoefficienten.
• Kvadratsætning: For grad 2 findes den lukkede formel (abc-formlen).
• Kubisk og kvartisk formel: Cardano og Ferrari gav lukkede formler for grad 3 og 4, men de er komplekse i udtryk og kan involvere komplekse mellemværdier.
• Abel–Ruffini: For generelle polynomier af grad ≥ 5 findes der ikke en formel med almindelige radikaler, gældende for alle koefficienter. Galois-teori karakteriserer hvilke specifikke polynomier der er løsningsegnede ved radikaler.
• Numeriske metoder: Newton–Raphson, Durand–Kerner (Weber), Aberth, og metoder baseret på egenværdier af compagnon-matricen er effektive til at finde numeriske approksimationer.
• Symbolske metoder: Computer Algebra Systems (fx Sage, Mathematica) bruger kombinationer af faktorisering, resultanter og modulære teknikker til at finde eksakte løsninger når det er muligt.

Metoder for multivariate polynomiale systemer

Når der er flere variable, søger man ofte fælles nulpunkter til et system af polynomier. Vigtige teknikker:

• Resultanter: Eliminerer en variabel for at reducere systemet til færre variable.
• Gröbner-baser: Et kraftfuldt værktøj til at bestemme løsningsmængden, eliminere variable og finde en standardform for idealet genereret af polynomierne.
• Algebraisk geometri: Begreber som varieteter, dimension og singulære punkter anvendes til at forstå løsningernes struktur.

Diophantinske ligninger og heltalsløsninger

Når man stiller krav om heltals- eller rationelle løsninger, går man fra klassisk polynomfaktorering over i talteoriens verden. Eksempler og værktøjer inkluderer:

• Lineære diofantiske ligninger: Løses med Euklids algoritme.
• Enkle kvadratiske diofantiske ligninger: Som Pell-ligningen, behandles med fortsatte brøker.
• Højere grad: Kan være ekstremt vanskelige — løsninger kan kræve teknikker fra elliptiske kurver, modulære former, eller komplette teorem (fx Fermat's sidste sætning).

Praktiske tips og overvejelser

• Form for ligningen: Omdan altid til f(x)=0 for at arbejde med polynomiets struktur (som vist ovenfor: P−Q=0).
• Ryd nævnerne: Hvis koefficienterne er rationelle, multiplicér med fællesnævneren for at få heltal—det skader ikke løsningernes rationalitet og gør anvendelse af teoremer nemmere (eksempel: multiplicering med 42 i ovenstående ligning).
• Kontrollér multipliciteter: Hvis en rod også er rod til afledte, er den multiple; dette påvirker både algebraisk behandling og numerisk stabilitet.
• Software: Brug CAS-værktøjer til symbolsk faktorering og numeriske rutiner (fx Sage, Mathematica, Maple, eller numeriske biblioteker i Python/Julia).

Eksempler og slutbemærkninger

Eksemplet fra indledningen illustrerer flere typiske trin: identificer polynomier, omskriv til f=0, ryd nævnere og forsøg faktorisering eller numerisk løsning. For multivariate ligninger kan man forsøge at eliminere en variabel for at reducere dimensionen.

Samlet set spænder studiet af algebraiske (polynomielle) ligninger fra elementary algebraiske teknikker til avancerede teorier som Galois-teori og algebraisk geometri. Valget af metode afhænger af graden, antallet af variable, og hvilket sæt (ℤ, ℚ, ℝ, ℂ eller andre felter) løsningerne skal søges i.

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er en algebraisk ligning?

Sp: Hvordan kan to ligninger være ækvivalente?

Spørgsmål: Hvad betyder det at løse en ligning?

Spørgsmål: Kan algebraiske ligninger over rationale tal altid omdannes til ligninger med heltals koefficienter?

Spørgsmål: Hvornår ønskede gamle matematikere radikale udtryk for univariate ligninger?

Sp: Hvem løste ligninger af grad 3 og 4 i denne periode?

Spørgsmål: Hvem beviste, at ligninger af højere grad ikke altid kan løses ved hjælp af radikaler?

Søg efter bogstav