Zenos paradokser

Akilles og skildpadden

I paradokset om Akilles og skildpadden er Akilles i et fodløb med skildpadden. Akilles giver skildpadden et forspring på f.eks. 100 meter. Lad os antage, at hver løber begynder at løbe med en konstant hastighed, den ene meget hurtigt og den anden meget langsomt. Efter en bestemt tid vil Achilles have løbet 100 meter, hvilket bringer ham til skildpaddens startpunkt. I løbet af denne tid har den langsommere skildpadde løbet en meget kortere distance. Det vil så tage Achilles endnu længere tid at løbe denne distance, hvorefter skildpadden vil være nået længere frem. Det vil så tage endnu mere tid for Achilles at nå dette tredje punkt, mens skildpadden igen går fremad. Når Achilleus når frem til et sted, hvor skildpadden har været, har han altså stadig længere tid tilbage at gå. Da der er et uendeligt antal punkter, som Achilles skal nå, hvor skildpadden allerede har været, kan han derfor aldrig overhale skildpadden.

Paradokset om dikotomi

Lad os antage, at en person ønsker at komme fra punkt A til punkt B. Først skal vedkommende bevæge sig halvvejs. Derefter skal de gå halvdelen af den resterende strækning. Hvis man fortsætter på denne måde, vil der altid være en lille reststrækning tilbage, og målet vil aldrig blive nået. Der vil altid være endnu et tal at tilføje i en række som f.eks. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + .... Så bevægelse fra et hvilket som helst punkt A til et hvilket som helst andet punkt B betragtes som en umulighed.

Kommentarer

Det er her, Zenos paradoks ligger: begge billeder af virkeligheden kan ikke være sande på samme tid. Derfor kan de enten: 1. Der er noget galt med den måde, vi opfatter tidens kontinuerlige natur på, 2. I virkeligheden findes der ikke diskrete eller trinvise mængder af tid, afstand eller måske noget som helst andet, eller 3. Der er noget galt med den måde, vi opfatter tidens kontinuerlige natur på. 3. Der findes et tredje billede af virkeligheden, som forener de to billeder - det matematiske og det med sund fornuft eller filosofisk - som vi endnu ikke har redskaberne til at forstå fuldt ud.

Forslag til løsninger

De færreste ville satse på, at skildpadden ville vinde løbet mod en atlet. Men hvad er der galt med det argument?

Når man begynder at lægge termerne i serien 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + .... sammen, vil man bemærke, at summen kommer tættere og tættere på 1 og aldrig vil overstige 1. Aristoteles (som er kilden til meget af det, vi ved om Zeno) bemærkede, at når afstanden (i dikotomiparadokset) mindskes, bliver tiden til at tilbagelægge hver afstand meget mindre og mindre. Inden 212 f.Kr. havde Archimedes udviklet en metode til at udlede et endeligt svar på summen af uendeligt mange termer, der bliver gradvist mindre (f.eks. 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...). Den moderne regning opnår det samme resultat ved hjælp af mere stringente metoder.

Nogle matematikere, såsom w:Carl Boyer, mener, at Zenos paradokser simpelthen er matematiske problemer, som moderne regnearksregning giver en matematisk løsning på. Zenos spørgsmål forbliver imidlertid problematiske, hvis man nærmer sig en uendelig række af trin, et trin ad gangen. Dette er kendt som en superopgave. Regning indebærer faktisk ikke, at man skal addere tal ét ad gangen. I stedet bestemmer den den værdi (kaldet en grænse), som additionen nærmer sig.

Se engelske Wikipedia-artikler

• Zenos paradokser
• Kvadratur af parablen
• 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + - - -
• Thompsons lampe