Wavelet
En wavelet er en matematisk funktion, der bruges til at beskrive en funktion eller et signal i form af andre funktioner, som er mere enkle at studere. Mange signalbehandlingsopgaver kan ses i form af en wavelettransformation. Uformelt talt kan signalet ses under linsen med en forstørrelse, der er givet af wavelettens skala. Derved kan vi kun se de oplysninger, der er bestemt af den anvendte wavelets form.
Det engelske udtryk "wavelet" blev introduceret i begyndelsen af 1980'erne af de franske fysikere Jean Morlet og Alex Grossman. De brugte det franske ord "ondelette" (som betyder "lille bølge"). Senere blev dette ord bragt ind på engelsk ved at oversætte "onde" til "wave", hvilket gav "wavelet".
Wavelet er en (kompleks) funktion fra Hilbert-rummet ψ ∈ L 2 ( R ) {\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )}
. For praktiske anvendelser bør den opfylde følgende betingelser.
Den må have en begrænset energi.
∫ - ∞ ∞ | ψ ( t ) | 2 d t < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty } 
Den skal opfylde en betingelse for at kunne antages.
∫ 0 ∞ | ψ ^ ( ω ) | 2 ω d ω < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{|{{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}}} \over {\omega }}d\omega <\infty } 
, hvor ψ ^ {\displaystyle {\hat {\psi }}}
er en Fouriertransformation af ψ {\displaystyle \psi \,} 
Betingelsen om nulmiddelværdi er en følge af betingelsen om tilladelighed.
∫ - ∞ ∞ ∞ ψ ( t ) d t = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0} 
Funktionen ψ {\displaystyle \psi \psi \,} kaldes moderwavelet. Dens oversatte (forskudte) og udvidede (skalerede) normaliserede versioner er defineret som følger.
ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t - b a ) {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}}\psi \left({{{t-b} \over {a}}\right)} 
Den oprindelige moderwavelet har parametrene a = 1 {\displaystyle a=1}
og b = 0 {\displaystyle b=0}
. Translation beskrives ved parameteren b {\displaystyle b}
og dilatation ved parameteren a {\displaystyle a}
.
Morlet wavelet
Spørgsmål og svar
Spørgsmål: Hvad er en wavelet?
A: En wavelet er en matematisk funktion, der bruges til at nedskrive en funktion eller et signal i form af andre funktioner, der er mere enkle at studere. Den kan ses under linsen med en forstørrelse, der er givet af wavelettens skala, så vi kun kan se den information, der er bestemt af dens form.
Spørgsmål: Hvem har indført udtrykket "wavelet"?
A: Det engelske udtryk "wavelet" blev indført i begyndelsen af 1980'erne af de franske fysikere Jean Morlet og Alex Grossman, som brugte det franske ord "ondelette" (som betyder "lille bølge"). Senere blev dette ord overført til engelsk ved at oversætte "onde" til "wave", hvilket gav os "wavelet".
Spørgsmål: Hvad skal en wavelet opfylde for at kunne anvendes i praksis?
Svar: For at kunne anvendes i praksis skal en wavelet have en begrænset energi og opfylde en betingelse for at kunne anvendes. Ifølge denne betingelse skal den have en middelværdi på nul og også opfylde et integral over frekvensen, som er mindre end uendeligt.
Spørgsmål: Hvad forstås ved translation og dilatation, når der henvises til wavelets?
Svar: Translation henviser til forskydning eller flytning af moderwaveletten langs tidsaksen, mens dilatation henviser til skalering eller strækning/indskrænkning af moderwaveletten langs tidsaksen. Disse to parametre (translation og dilatation) beskrives ved henholdsvis b og a.
Spørgsmål: Hvad betyder det, at en wavelet har nul middelværdi?
Svar: Nul middelværdi betyder, at når man integrerer over alle værdier af t fra negativ uendelig til positiv uendelig, skal summen være lig med 0, dvs. ∫-∞∞∞ψ(t)dt=0 . Dette krav følger som nævnt ovenfor af selve betingelserne for tilladelighed.
Spørgsmål: Hvordan defineres moderwavelets?
A: Moderwavelets defineres som normaliserede versioner af oversatte (forskudte) og udvidede (skalerede) versioner af originale moderwavelets, som har parametrene "a" = 1 og "b" = 0 .
