Wavelet-transformation

Wavelet-transformationen er en tidsfrekvensrepræsentation af et signal. Vi bruger den f.eks. til støjreduktion, udtrækning af funktioner eller signalkomprimering.

Wavelet-transformation af et kontinuerligt signal er defineret som

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\displaystyle \left[W_{{\psi }f\right](a,b)={\\frac {1}{\sqrt {a}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}{a}}\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,$ ,

hvor

ψ {\displaystyle \psi } $\psi$ er en såkaldt moderwavelet,
a {\displaystyle a} betegner waveletudvidelse,
b {\displaystyle b} $b$ betegner tidsforskydning af wavelet og
∗ {\displaystyle *} $*$ symbolet angiver kompleks konjugeret.

I tilfælde af a = a 0 m {\displaystyle a={a_{0}}}^{m}}} $a={a_{0}}^{m}$ og b = a 0 m k T {\displaystyle b={a_{0}}}^{m}kT} $b={a_{0}}^{m}kT$ , hvor a 0 > 1 {\displaystyle a_{0}>1} $a_{0}>1$ , T > 0 {\displaystyle T>0} og m $T>0$ {\displaystyle m} og k {\displaystyle k} er hele konstanter, kaldes wavelettransformationen for en diskret wavelettransformation (af et kontinuert signal).

I tilfælde af a = 2 m {\displaystyle a=2^{m}}} $a=2^{m}$ og b = 2 m k T {\displaystyle b=2^{m}kT} $b=2^{m}kT$ , hvor m > 0 {\displaystyle m>0} $m>0$ , kaldes den diskrete wavelettransformation for dyadisk. Den er defineret som

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\displaystyle \left[W_{{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,$ ,

hvor

m {\displaystyle m} er frekvensskalaen,
k {\displaystyle k} er tidsskalaen og
T {\displaystyle T} $T$ er en konstant, som afhænger af moderwaveletten.

Det er muligt at omskrive den dyadiske diskrete wavelettransformation som

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\displaystyle \left[W_{{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,$ ,

hvor h m {\displaystyle h_{m}}} $h_{m}$ er impulskarakteristik for et kontinuert filter, som er identisk med ψ m ∗ {\displaystyle {\psi _{m}}}^{*}}} ${\psi _{m}}^{*}$ for en given m {\displaystyle m} .

Tilsvarende er dyadisk wavelettransformation med diskret tid (af et diskret signal) defineret som

Kontinuerlig wavelet-transformation af et signal til frekvensnedbrydning. Anvendt symlet med 5 forsvindende momenter.

Spørgsmål og svar

Sp: Hvad er wavelet-transformationen?

A: Wavelettransformationen er en tidsfrekvensrepræsentation af et signal, der anvendes til støjreduktion, udtrækning af funktioner eller signalkomprimering.

Spørgsmål: Hvordan defineres wavelettransformationen af kontinuerlige signaler?

Svar: Wavelettransformationen af kontinuerlige signaler er defineret som et integral over alle værdier af en funktion multipliceret med en moderwavelet, hvor parametrene "a" og "b" angiver henholdsvis dilatation og tidsforskydning.

Spørgsmål: Hvad er dyadiske diskrete wavelettransformationer?

Svar: Dyadiske diskrete wavelettransformationer er diskrete versioner af de almindelige diskrete wavelettransformationer med frekvensskalaen "m", tidsskalaen "k" og konstanten "T". De kan omskrives som et integral over alle værdier af en funktion multipliceret med et impulskarakteristisk filter, som er identisk med moderwaveletten for en given m.

Spørgsmål: Hvad betyder "moderwavelet" i denne sammenhæng?

A: I denne sammenhæng henviser "moderwavelet" til funktioner, der anvendes sammen med andre funktioner til at danne grundlag for beregning af en bestemt type transformation (i dette tilfælde wavelettransformationen).

Spørgsmål: Hvordan beregner man dyadiske diskrete Wavelets?

Svar: Dyadiske diskrete waveletter beregnes ved hjælp af et integral over alle værdier af en funktion multipliceret med et impulskarakteristisk filter, som er identisk med moderwaveletten for en given m. Desuden kræver de frekvensskala m, tidsskala k og konstant T som parametre.

Spørgsmål: Hvad betyder "a" og "b", når man definerer kontinuerlige Wavelets?

A: Når man definerer kontinuerlige Wavelets, repræsenterer "a" dilatation, mens "b" repræsenterer tidsforskydning.