Wavelet-transformation: Definition, typer (diskret & dyadisk) og anvendelser

Lær wavelet-transformation: definition, diskret & dyadisk metoder, matematik og praktiske anvendelser som støjreduktion, feature-udtræk og effektiv signalkomprimering.

Forfatter: Leandro Alegsa

20-10-2025 17:28

Wavelet-transformationen er en tids-frekvensrepræsentation af et signal. Vi bruger den f.eks. til støjreduktion, udtrækning af funktioner eller signalkomprimering. Wavelet-transformen giver mulighed for at analysere lokalisering i både tid og frekvens samtidig — i modsætning til den klassiske Fourier-transform, som kun giver frekvensindhold uden tidslokalisering.

Wavelet-transformation af et kontinuerligt signal er defineret som

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\displaystyle \left[W_{{\psi }f\right](a,b)={\\frac {1}{\sqrt {a}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}{a}}\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,$ ,

hvor

ψ {\displaystyle \psi } $\psi$ er en såkaldt moderwavelet,
a {\displaystyle a} betegner waveletudvidelse,
b {\displaystyle b} $b$ betegner tidsforskydning af wavelet og
∗ {\displaystyle *} $*$ symbolet angiver kompleks konjugeret.

Intuitivt bestemmer a (skalering) hvor "bred" eller "smal" waveletfunktionen er: små a svarer til små tidsvinduer og dermed højfrekvente komponenter; store a svarer til brede tidsvinduer og dermed lavfrekvente komponenter. Parameteren b flytter waveleten i tid, så man kan undersøge signalets lokaliserede indhold.

Diskret wavelettransformation

For praktiske beregninger arbejder man ofte med diskrete værdier af a og b. I tilfælde af a = a 0 m {\displaystyle a={a_{0}}^{m}}} $a={a_{0}}^{m}$ og b = a 0 m k T {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT} $b={a_{0}}^{m}kT$ , hvor a 0 > 1 {\displaystyle a_{0}>1} $a_{0}>1$ , T > 0 {\displaystyle T>0} og m $T>0$ og k er hele konstanter, kaldes wavelettransformationen for en diskret wavelettransformation (af et kontinuert signal).

Dyadisk (base-2) diskret wavelettransformation

I tilfælde af a = 2 m {\displaystyle a=2^{m}}} $a=2^{m}$ og b = 2 m k T {\displaystyle b=2^{m}kT} $b=2^{m}kT$ , hvor m > 0 {\displaystyle m>0} $m>0$ , kaldes den diskrete wavelettransformation for dyadisk. Den er defineret som

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\displaystyle \left[W_{{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,$ ,

hvor

m {\displaystyle m} er frekvensskalaen,
k {\displaystyle k} er tidsskalaen og
T {\displaystyle T} $T$ er en konstant, som afhænger af moderwaveletten.

Den dyadiske diskrete wavelettransform kan ofte implementeres effektivt ved hjælp af filterbank-strukturer (fast nedeprøvet lavpas- og højspassfiltre) og kaldes i praksis ofte DWT (Discrete Wavelet Transform). Ved hver dekompositionsniveau (m) filtreres signalet af et lavpasfilter for at få en nær-til-gennemsnit (skalakoefficienter) og et højspassfilter for at få detaljer (waveletkoefficienter), hvorefter der downsamles med faktor 2.

Det er muligt at omskrive den dyadiske diskrete wavelettransformation som

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\displaystyle \left[W_{{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,$ ,

hvor h m {\displaystyle h_{m}}} $h_{m}$ er impulskarakteristik for et kontinuert filter, som er identisk med ψ m ∗ {\displaystyle {\psi _{m}}}^{*}}} ${\psi _{m}}^{*}$ for en given m {\displaystyle m} .

Diskret tid og filterbanks (praktisk DWT)

Tilsvarende er dyadisk wavelettransformation med diskret tid (af et diskret signal) defineret som en samling af konvolutioner og nedprøvninger. For et diskret tids-signal x[n] giver et niveau af DWT typisk to sekvenser:

skalakoefficienter (approximation) a1[k] = ∑_n x[n] · g[2k − n]
detaljekoefficienter d1[k] = ∑_n x[n] · h[2k − n]

Her er g og h henholdsvis lavpas- og højspassfilter-koefficienter, ofte kaldet skalafunktionen (scaling filter) og waveletfilteret. Ved videre dekomposition anvendes samme filter på a1 for at få næste niveau a2, d2 osv. Genopbygning (reconstruction) sker ved at opprøve (upsample) og filtrere og summere tilbage, hvilket ved perfekte filterdesign kan give nøjagtig invers transformation.

Egenskaber og krav

Admissibility/Zero mean: Moderwaveleten har typisk nul middelværdi (∫ψ(t) dt = 0), så den fanger ændringer frem for den konstante del af signalet.
Vanishing moments: Antal nulmomenter afgør, hvor godt waveleten kan repræsentere polynomiale trendkomponenter — flere vanishing moments betyder bedre repræsentation af glatte signaler og mere komprimering af polynomiale portioner.
Orthogonalitet og biorthogonalitet: Nogle wavelets (fx orthogonale Daubechies) giver orthogonale basisser, som forenklerkoefficientberegning og energibevaring; biorthogonale wavelets tillader symmetri og lineær fase ved at bruge to forskellige sæt filtre til analyse og syntese.
Compact support: Wavelets med kompakt støtte (fx Daubechies) er lokaliserede i tid og fører til sparse repræsentationer og effektive filtre.

Anvendelser

Waveletes anvendes bredt:

Støjreduktion (denoising): Tærskling af waveletkoefficienter fjerner tilfældig støj mens strukturelle komponenter bevares.
Signal- og billedkompression: Sparsomme waveletrepræsentationer (fx JPEG 2000 bruger wavelets) giver effektiv komprimering.
Feature-udtrækning og mønstergenkendelse: Multiskala-information er nyttig til kantdetektion i billeder, insignatur-detektion i tidsserier, ECG-analyser mv.
Tidsfrekvensanalyse: Lokale transienter, chirps og ikke-stationære komponenter kan analyseres præcist.
Geofysik og seismik, medicinsk signalbehandling, vibrationsanalyse og finansielle tidsserier — overalt hvor lokale frekvensændringer er vigtige.

Valg af moderwavelet

Valget afhænger af opgaven: Haar-waveleten (enkel og hurtig) er nyttig for meget hurtige ændringer; Daubechies-wavelets er gode til kompakte og orthogonale repræsentationer; Symlets og Coiflets tilbyder bedre symmetri eller flere vanishing moments. I kontinuerlige analyser anvendes ofte Morlet-wavelet til frekvensanalyse på grund af dens gode frekvenslokalisering.

Praktisk implementering

I praksis bruges optimerede biblioteker og værktøjer: f.eks. PyWavelets i Python, Wavelet Toolbox i MATLAB, og pakker i R. En typisk arbejdsgang til denoising er:

Vælg moderwavelet og antal dekompositionsniveauer.
Beregn DWT af signalet.
Tærskel waveletkoefficienter (f.eks. hård eller blød tærskel).
Genopbyg signalet via invers DWT.

Samlet bemærkning

Wavelet-transformen er et fleksibelt værktøj til multiskala-analyse, som kombinerer tids- og frekvensinformation. Dens styrke ligger i evnen til at lokalisere transienter og at give sparse repræsentationer, hvilket gør den velegnet til kompression, støjreduktion og mønstergenkendelse. For videre fordybelse anbefales bøger om multiresolution analysis og praktiske vejledninger til implementering i de nævnte biblioteker.

Kontinuerlig wavelet-transformation af et signal til frekvensnedbrydning. Anvendt symlet med 5 forsvindende momenter.

Spørgsmål og svar

Sp: Hvad er wavelet-transformationen?

A: Wavelettransformationen er en tidsfrekvensrepræsentation af et signal, der anvendes til støjreduktion, udtrækning af funktioner eller signalkomprimering.

Spørgsmål: Hvordan defineres wavelettransformationen af kontinuerlige signaler?

Svar: Wavelettransformationen af kontinuerlige signaler er defineret som et integral over alle værdier af en funktion multipliceret med en moderwavelet, hvor parametrene "a" og "b" angiver henholdsvis dilatation og tidsforskydning.

Spørgsmål: Hvad er dyadiske diskrete wavelettransformationer?

Svar: Dyadiske diskrete wavelettransformationer er diskrete versioner af de almindelige diskrete wavelettransformationer med frekvensskalaen "m", tidsskalaen "k" og konstanten "T". De kan omskrives som et integral over alle værdier af en funktion multipliceret med et impulskarakteristisk filter, som er identisk med moderwaveletten for en given m.

Spørgsmål: Hvad betyder "moderwavelet" i denne sammenhæng?

A: I denne sammenhæng henviser "moderwavelet" til funktioner, der anvendes sammen med andre funktioner til at danne grundlag for beregning af en bestemt type transformation (i dette tilfælde wavelettransformationen).

Spørgsmål: Hvordan beregner man dyadiske diskrete Wavelets?

Svar: Dyadiske diskrete waveletter beregnes ved hjælp af et integral over alle værdier af en funktion multipliceret med et impulskarakteristisk filter, som er identisk med moderwaveletten for en given m. Desuden kræver de frekvensskala m, tidsskala k og konstant T som parametre.

Spørgsmål: Hvad betyder "a" og "b", når man definerer kontinuerlige Wavelets?

A: Når man definerer kontinuerlige Wavelets, repræsenterer "a" dilatation, mens "b" repræsenterer tidsforskydning.

Søge