Store tals lov
Loven om store tal (LLN) er et teorem fra statistikken. Overvej en proces, hvor der forekommer tilfældige resultater. F.eks. observeres en tilfældig variabel gentagne gange. Så vil gennemsnittet af de observerede værdier være stabilt i det lange løb. Det betyder, at gennemsnittet af de observerede værdier i det lange løb vil komme stadig tættere på den forventede værdi.
Når du kaster terninger, er tallene 1, 2, 3, 4, 5 og 6 mulige resultater. De er alle lige sandsynlige. Befolkningsgennemsnittet (eller den "forventede værdi") af resultaterne er:
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3.5.
Følgende graf viser resultaterne af et forsøg med terningkast. I dette eksperiment kan det ses, at gennemsnittet af terningekast varierer voldsomt i begyndelsen. Som forudsagt af LLN stabiliserer gennemsnittet sig omkring den forventede værdi på 3,5, efterhånden som antallet af observationer bliver stort.
Historie
Jacob Bernoulli beskrev først LLN. Han sagde, at det var så simpelt, at selv det dummeste menneske instinktivt ved, at det er sandt. På trods af dette tog det ham over 20 år at udvikle et godt matematisk bevis. Da han først havde fundet det, offentliggjorde han beviset i Ars Conjectandi (The Art of Conjecturing) i 1713. Han kaldte det for sit "gyldne teorem". Det blev almindeligvis kendt som "Bernoullis sætning" (ikke at forveksle med loven i fysikken af samme navn). I 1835 beskrev S.D.Poisson det yderligere under navnet "La loi des grands nombres" (loven om store tal). Herefter var den kendt under begge navne, men "loven om de store tal" er den mest anvendte.
Andre matematikere bidrog også til at gøre loven bedre. Nogle af dem var Tjebysjev, Markov, Borel, Cantelli og Kolmogorov. Efter disse undersøgelser findes der nu to forskellige former for loven: Den ene kaldes den "svage" lov og den anden den "stærke" lov. Disse former beskriver ikke forskellige love. De har forskellige måder at beskrive konvergensen mellem den observerede eller målte sandsynlighed og den faktiske sandsynlighed på. Den stærke form af loven forudsætter den svage form af loven.
Spørgsmål og svar
Q: Hvad er de store tals lov?
A: De store tals lov er en statistisk sætning, der siger, at hvis en tilfældig proces observeres gentagne gange, så vil gennemsnittet af de observerede værdier være stabilt i det lange løb.
Q: Hvad betyder de store tals lov?
A: De store tals lov betyder, at når antallet af observationer stiger, vil gennemsnittet af de observerede værdier komme tættere og tættere på den forventede værdi.
Q: Hvad er en forventet værdi?
A: En forventet værdi er populationsgennemsnittet af resultaterne af en tilfældig proces.
Q: Hvad er den forventede værdi af at slå med en terning?
A: Den forventede værdi af at slå med en terning er summen af mulige udfald divideret med antallet af udfald: (1+2+3+4+5+6)/6=3,5.
Q: Hvad viser grafen i teksten i forhold til de store tals lov?
A: Grafen viser, at gennemsnittet af terningkast varierer voldsomt i starten, men som forudsagt af LLN stabiliserer gennemsnittet sig omkring den forventede værdi på 3,5, når antallet af observationer bliver stort.
Q: Hvordan gælder de store tals lov for terningkast?
A: De store tals lov gælder for terningkast, for når antallet af kast stiger, vil gennemsnittet af kastene komme tættere og tættere på den forventede værdi på 3,5.
Q: Hvorfor er de store tals lov vigtig i statistik?
A: De store tals lov er vigtig i statistik, fordi den giver et teoretisk grundlag for ideen om, at data har en tendens til at udligne sig over et stort antal observationer. Det er grundlaget for mange statistiske metoder, såsom konfidensintervaller og hypotesetestning.
