Vinkelmoment (rotationsmoment): definition, formel og typer (L = Iω)
Forstå vinkelmoment (rotationsmoment): definition, formel L=Iω, inertimoment og typer (vibrations-, spin- og orbitalvinkelmoment) — klar, kort og praktisk forklaring.
Vinkelmomentet eller rotationsmomentet (L) for et objekt, der roterer om en akse, er produktet af dets træghedsmoment og dets vinkelhastighed:
hvor
er inertimomentet (modstand mod vinkelacceleration eller -afbremsning, lig med produktet af massen og kvadratet på dens radius målt vinkelret på rotationsaksen);
Der findes tre slags impulsmængder: vibrationsvinkelmomentet, spinvinkelmomentet og orbitalvinkelmomentet.
Hvad er vinkelmoment (praktisk forklaring)
Vinkelmoment er den roterende modstørrelse til den lineære impuls (bevægelsesmængde). For et stift legeme, der roterer omkring en given akse, giver L = Iω et mål for hvor "svært" det er at ændre rotationsbevægelsen: større inertimoment eller større vinkelhastighed giver større vinkelmoment. Vinkelmoment er en vektor og har både størrelse og retning (retningen følger højrehåndsreglen langs rotationsaksen).
Generelle formler
- Punktsmasse: For en enkelt partikel med masse m og positionsvektor r (i forhold til rotationsaksen) er vinkelmomentet L = r × p = m (r × v), hvor p = mv er den lineære impuls.
- Stift legeme (simpel akse): L = I ω (som ovenfor). Her er I skalar hvis rotationen er omkring en symmetriakse.
- Generelt (inertitensor): For et vilkårligt stift legeme gælder L = I · ω, hvor I er en 3×3 matrix (inertitensor). I og ω behøver ikke være parallelle, så retningen af L kan afvige fra ω.
Forholdet til drejemoment (torque) og bevarelsessætning
Drejemomentet (momentet af kræfter) τ er tidsafledningen af vinkelmomentet:
τ = dL/dt
Hvis summen af eksterne drejemomenter er nul (τ_ext = 0), er vinkelmomentet bevaret: L = konstant. Dette er en grundlæggende bevarelsessætning i mekanik og forklarer f.eks. hvorfor en skøjteløber øger rotationshastigheden ved at trække armene ind (I falder, så ω stiger for at bevare L).
Typer af vinkelmoment
- Orbitalvinkelmoment: Vinkelmoment for bevægende masser omkring et valgt centrum (fx planeters bevægelse omkring Solen). Kan beregnes som L = r × p for hver partikel og summeres.
- Spinvinkelmoment (spin): Indre vinkelmoment for roterende objekter på mikroskopisk skala. I klassisk mekanik ses det som rotation af et legeme; i kvantemekanik er elektroners spin en intrinsisk egenskab, kvantiseret i enheder af ħ.
- Vibrationsvinkelmoment: Mindre almindeligt udtrykt separat i klassisk mekanik — kan henvise til vinkelmoment relateret til oscillerende bevægelser eller interne vibrationsmodi i molekyler, hvor bevægelsesmønstre kan bidrage til det samlede vinkelmoment.
Enheder og retning
SI-enheden for vinkelmoment er kg·m²/s (samme som for I·ω). Retningen bestemmes af rotationsaksen og højrehåndsreglen: krum fingre i rotationsretningen, tommelfingeren peger i L's retning.
Eksempler og anvendelser
- Gyroskoper og stabilisering: Vinkelmoment gør gyroskoper modstandsdygtige over for ændringer i orientering og bruges i navigation og stabilisering.
- Skøjteløbere og divers: Ændring af kropskonfiguration ændrer inertimomentet og dermed rotationshastighed ved bevarelsen af vinkelmoment.
- Planeter og satellitter: Orbitalt vinkelmoment bestemmer baner og reaktion på ydre kræfter.
- Atom- og partikelfysik: Spinvinkelmoment er afgørende for atomers energiniveauer, magnetiske egenskaber og grundlæggende partikelkarakteristika.
Bemærkninger til beregning
- For sammensatte systemer summeres vinkelmoment fra alle partikler/komponenter vektorielt.
- Når man arbejder med ikke-symmetriske legemer, skal inertitensoren bestemmes (fx via integration af r²dm og krydsled), og L = I · ω anvendes.
- Ved anvendelse af formlen L = Iω skal man sikre, at I er bestemt omkring den samme rotationsakse som ω, og at legemet betragtes som stift.
Samlet set er vinkelmoment et centralt begreb i både klassisk og kvantemekanisk fysik, som beskriver og bevarer rotationsbevægelse og forbinder kræfter (drejemomenter) med ændringer i rotationstilstanden.
Kunstskøjteløberens vinkelmoment bevares - når hun mindsker sin radius ved at trække armene og benene tilbage, mindskes hendes inertimoment, men hendes vinkelhastighed øges for at kompensere.
Vibrationsvinkelmængde
Vibrationsvinkelmomentet er fotonernes. Dens mindste del er Planck-kvantum af vibration eller handling:
Ifølge dette billede skal dannelsen af fotoner ses som at plukke på en guitar - som en pludselig stigning i exciteringen af en af vibrationsformerne.
-Davies, Paul. The Forces of Nature CUP, 1979, s. 116
... til et vibrationsenergikvantum som Plancks må der svare et rotationsenergikvantum ...
-Birtwistle, George. The Quantum Theory of the Atom CUP, 2015, pp. 2-3
Planck-handlingskvantummet h har netop dimensionerne af et vinkelmoment ...
-Biedenharn, L. C.; Louck, J. D. Angular Momentum in Quantum Physics Addison-Wesley Pub. Co., Advanced Book Program, 1981
Spin-vinkelmoment
Spinvinkelmomentet er det moment, som et objekt har ved at dreje rundt om en akse, der går gennem objektets centrum (f.eks. en top, der drejer rundt om sin midterakse).
Et objekt, der er meget spredt ud fra rotationsaksen, har et stort inertimoment - det er meget svært at få det til at begynde at dreje, men når det først er kommet i gang, er det meget svært at få det til at stoppe. På samme måde er det lettere at få et objekt til at begynde at spinde ved en lav vinkelhastighed end at få det til at begynde at spinde ved en høj vinkelhastighed. Det er derfor, at spinvinkelmomentet både afhænger af, hvor spredt objektet er (inertimomentet) og hvor hurtigt det drejer rundt (vinkelhastighed).
Orbital vinkelbevægelse
Den orbitale vinkelbevægelse er den vinkelbevægelse, som et objekt har ved at kredse om en akse, der ikke går gennem objektets centrum. F.eks. kredser Solen og Jorden om hinanden ved at dreje om en akse, der går gennem Solen, men ikke gennem Solens centrum. Omløbsvinkelmomentet måler, hvor svært det ville være at få objektet til at holde op med at dreje rundt om aksen.
Bevarelse
Vinkelmomentet er en bevaret størrelse - et objekts vinkelmoment forbliver konstant, medmindre et ydre moment virker på det.
Vinkelmomentet har både en retning og en størrelse, og begge er bevaret. Motorcykler, frisbees og riflede kugler skylder alle deres nyttige egenskaber til bevarelse af vinkelimpuls. Bevarelse af vinkelimpuls er også grunden til, at orkaner har spiraler og neutronstjerner har høje rotationshastigheder. Generelt begrænser bevarelse af bevægelsesmængden et systems mulige bevægelse, men den er ikke entydigt bestemmende for den.
Relaterede sider
- Momentum
- Roterende kinetisk energi
Spørgsmål og svar
Spørgsmål: Hvad er vinkelmoment?
A: Vinkelmomentet, også kendt som rotationsmomentet, er produktet af et objekts inertimoment og dets vinkelhastighed.
Sp: Hvordan beregnes vinkelmomentet?
Svar: Vinkelmomentet beregnes ved at multiplicere et objekts inertimoment med dets vinkelhastighed. Dette kan matematisk udtrykkes som L = Iù, hvor I er inertimomentet (modstanden mod vinkelacceleration eller -afbremsning) og ù er vinkelhastigheden.
Sp: Hvad er de tre former for impulsmoment?
Svar: De tre former for impulsmoment er vibrationsmoment, spinmoment og orbitalmoment.
Søge