Konvekse regulære 4‑polytoper (4D): Definition, Schläfli og de seks typer

Opdag konvekse regulære 4‑polytoper (4D): definition, Schläflis opdagelse og de seks typer inkl. 24‑cellen — en klar guide til 4D‑platoniske analoger.

Forfatter: Leandro Alegsa

I matematik er et konvekst regulært 4-polytop (eller polychoron) et 4-dimensionelt (4D) polytop, som både er regulært og konvekst. Det er de firedimensionale analoger til de platoniske faste legemer (i tre dimensioner) og de regulære polygoner (i to dimensioner).

Disse polytoper blev først beskrevet af den schweiziske matematiker Ludwig Schläfli i midten af det 19. århundrede. Schläfli opdagede, at der findes præcis seks sådanne figurer. Fem af disse kan betragtes som højere dimensionelle analoger til de platoniske faste legemer. Der er yderligere en figur (24-cellen), som ikke har nogen tredimensionel pendant.

Hver konveks regulær 4-polytop er afgrænset af et sæt 3-dimensionelle celler, som alle er platoniske faste legemer af samme type og størrelse. Disse er sat sammen langs deres respektive flader på en regelmæssig måde.

Schläfli-symbol og tolkning

Regulære polytoper i 4D beskrives ved et Schläfli-symbol på formen {p,q,r}. Det betyder:

  • cellerne er regulære polyedre med Schläfli-symbol {p,q} (dvs. cellernes facetter er p-kantede polygoner, og q sådanne facetter mødes i hvert hjørne af cellen),
  • r celler mødes ved hver fælles flade (hver celle-flade deler netop r celler),
  • hjørnefiguren (vertex figure) er et regulært polyeder med Schläfli-symbol {q,r}.

Den strenge betydning af regulær er, at gruppen af symmetrier virker transitivt på alle flager (en flag er en kæde bestående af en forekomst af et hjørne, en kant, en flade og en celle). Kravet om konveksitet betyder, at polytopen er den konvekse indpakning af sine hjørner (ingen "indrykket" geometri).

De seks konvekse regulære 4‑polytoper

Der findes præcis seks konvekse regulære 4‑polytoper. Her er de med deres mest almindelige navne, Schläfli-symbol og væsentlige tal:

  • 5-cell (4-simplex) — Schläfli: {3,3,3}
    celler: 5 tetraedre; V=5, E=10, F=10, C=5. Selv-dual.
  • Tesseract (8-cell, hyperkubus) — Schläfli: {4,3,3}
    celler: 8 kuber; V=16, E=32, F=24, C=8. Dual til 16-cellen.
  • 16-cell (hexadecachoron) — Schläfli: {3,3,4}
    celler: 16 tetraedre; V=8, E=24, F=32, C=16. Dual til tesseract.
  • 24-cell (icositetrachoron) — Schläfli: {3,4,3}
    celler: 24 oktahdre; V=24, E=96, F=96, C=24. Unik ved, at den ikke har nogen analoge platonisk pendant i 3D; den er selv-dual.
  • 120-cell (hecatonicosachoron) — Schläfli: {5,3,3}
    celler: 120 dodekaedre; V=600, E=1200, F=720, C=120. Dual til 600-cellen.
  • 600-cell (hexacosichoron) — Schläfli: {3,3,5}
    celler: 600 tetraedre; V=120, E=720, F=1200, C=600. Dual til 120-cellen.

Dualitet og symmetrier

  • Par af duale polytoper bytter antal hjørner (V) og celler (C), samt kanter (E) og flader (F). Eksempler: tesseract ↔ 16-cell, 120-cell ↔ 600-cell. 5‑cellen og 24‑cellen er selv-duale.
  • De seks polytoper svarer til fire familier af Coxeter‑spejlinger (symmetrigrupper): A4 (5‑cellen), B4 (tesseract & 16‑cellen), F4 (24‑cellen) og H4 (120‑cellen & 600‑cellen). Disse grupper beskriver de fulde refleksion‑symmetrier i rummet S^3 (3‑sfæren) som grænsefladen af en 4‑polytop.

Topologi og relationer

  • Grænsefladen til en konveks regulær 4‑polytop er topologisk en 3‑sfære (S^3). For kanten/ansigtsrelationer gælder den generaliserede Euler‑Poincaré relation: V − E + F − C = 0 for alle disse polytoper.
  • Alle celler i en given regulær 4‑polytop er det samme platoniske polyeder i ens skala og orientering (op til symmetri). Mønstret, hvor cellerne mødes langs fladerne, bestemmes fuldt af Schläfli‑symbolet.

Visualisering og konstruktion

  • Visualisering af 4‑dimensionelle polytoper sker typisk ved projektion til 3D eller ved snit (skæring) med 3‑dimensionelle rum. Almindelige fremstillinger er stereografisk projektion eller ortogonal projektion til R^3, ofte suppleret med farvekodning for at vise cellestruktur.
  • Konstruktioner kan laves ved hjælp af Wythoff‑konstruktionen fra Coxeter‑diagrammer, eller ved koordinatløsninger i R^4 (f.eks. ved at placere hjørner på velvalgte vektorer med symmetrier bestemt af den tilsvarende Coxeter‑gruppe).

Afsluttende bemærkninger

De seks konvekse regulære 4‑polytoper udgør et komplet og velstruktureret udsnit af regelmæssig geometri i fire dimensioner: nogle er åbenlyse generaliseringer af 3D–Platoniske legemer (f.eks. 5‑cell, tesseract, 120/600) mens andre (24‑cellen) er særlige fire-dimensionelle konstruktioner uden direkte 3D‑modstykke. Deres rige symmetrier og relationer til Coxeter‑grupper gør dem centrale både i teoretisk geometri og i studier af højere-dimensionelle symmetrier.

Egenskaber

Følgende tabeller viser nogle egenskaber for de seks konvekse regelmæssige polykoraer. Disse polykoras symmetriske grupper er alle Coxeter-grupper og er angivet i den notation, der er beskrevet i denne artikel. Tallet efter navnet på gruppen er gruppens orden.

Navne

Familie

Schläfli
symbol

Toppene

Kanter

Ansigter

Celler

Punktfigurer

Dobbelt polytop

Symmetri gruppe

Pentachoron5-cellpentatophyperpyramidhypertetraeder4-simplex

simplex
(n-simplex)

{3,3,3}

5

10

10
 trekanter

5
tetraedre

tetraedre

(selv-dual)

A4

120

Tesseractoctachoron8-cellerhypercube4-cube

hypercube
(n-cube)

{4,3,3}

16

32

24
 firkanter

8
 terninger

tetraedre

16-celle

B4

384

Hexadecachoron16-celleorthoplexhyperoctaeder4-orthoplex

kryds-polytop
(n-orthoplex)

{3,3,4}

8

24

32
 trekanter

16
tetraedre

oktaedre

tesseract

B4

384

Icositetrachoron24-celloctaplexpolyoktaeder

{3,4,3}

24

96

96
 trekanter

24
oktaedre

terninger

(selv-dual)

F4

1152

Hecatonicosachoron120-celledodecaplexhyperdodekaederpolydodekaeder

{5,3,3}

600

1200

720
 femkanter

120
dodekaeder

tetraedre

600-celle

H4

14400

Hexacosichoron600-celletraplexhypericosaederpolytetraeder

{3,3,5}

120

720

1200
 trekanter

600
tetraedre

icosaedre

120-celle

H4

14400

Da grænserne for hver af disse figurer topologisk set svarer til en 3-sfære, hvis Eulerkarakteristik er nul, har vi den 4-dimensionelle analogi til Eulers polyedriske formel:

N 0- N +1 N 2- N = 3{\displaystyle0 N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,} {\displaystyle N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,}

hvor Nk angiver antallet af k-flader i polytopen (et toppunkt er en 0-flade, en kant er en 1-flade osv.).

Visualiseringer

Følgende tabel viser nogle 2-dimensionelle projektioner af disse polytoper. Forskellige andre visualiseringer kan findes på de andre websteder nedenfor. Coxeter-Dynkin-diagrammerne er også angivet under Schläfli-symbolet.

5-celle

8-celle

16-celle

24-celle

120-celle

600-celle

{3,3,3}

{4,3,3}

{3,3,4}

{3,4,3}

{5,3,3}

{3,3,5}

Ortografiske wireframe-projektioner inden for Petrie-polygoner.

Faste ortografiske projektioner


tetraedriskvelope
(celle/vertex-centreret)


kubisk kuvert
 (cellecentreret)


oktaedrisk
 konvolut
 (centreret på toppunktet)


kuboktaedriskvelope
 (celle-centreret)


afkortet rhombictriakontaedronvelope
(cellecentreret)


Pentakis icosidodekaedriskvelope
(toppunktscentreret)

Wireframe Schlegel-diagrammer (perspektivisk projektion)


(cellecentreret)


(cellecentreret)


(cellecentreret)


(cellecentreret)


(cellecentreret)


(toppunktscentreret)

Wireframe stereografiske projektioner (hypersfæriske)

Relaterede sider

  • Regelmæssig polytop
  • Platonisk fast stof

Spørgsmål og svar

Sp: Hvad er en konveks regulær 4-polytop?


Svar: En konveks regulær 4-polytop er en 4-dimensionel polytop, der både er regulær og konveks.

Sp: Hvad er analogerne til konvekse regulære 4-polytoper i tre og to dimensioner?


Svar: Analogerne til konvekse regulære 4-polytoper i tre dimensioner er de platoniske faste legemer, mens de i to dimensioner er regulære polygoner.

Spørgsmål: Hvem beskrev først konvekse regulære 4-polytoper?


Svar: Den schweiziske matematiker Ludwig Schläfli beskrev først konvekse regelmæssige 4-polytoper i midten af det 19. århundrede.

Spørgsmål: Hvor mange konvekse regulære 4-polytoper findes der?


Svar: Der findes præcis seks konvekse regulære 4-polytoper.

Spørgsmål: Hvad er det unikke træk ved 24-cellepolytopen blandt de konvekse regulære 4-polytoper?


Svar: Polytopen med 24 celler har ingen tredimensionel ækvivalent blandt de konvekse regulære 4-polytoper.

Sp: Hvilke 3-dimensionelle celler er der tilknyttet hver enkelt konveks regulær 4-polytop?


Svar: Hver konveks regulær 4-polytop er afgrænset af et sæt 3-dimensionelle celler, som alle er platoniske faste legemer af samme type og størrelse.

Sp: Hvordan er de 3-dimensionelle celler sat sammen i en konveks regulær 4-polytop?


Svar: De 3-dimensionelle celler er sat sammen langs deres respektive flader på en regelmæssig måde i en konveks regulær 4-polytop.


Søge
AlegsaOnline.com - 2020 / 2025 - License CC3