Konvekst regulært 4-polytop

I matematik er et konvekst regulært 4-polytop (eller polychoron) et 4-dimensionelt (4D) polytop, som både er regulært og konvekst. Det er de firedimensionale analoger til de platoniske faste legemer (i tre dimensioner) og de regulære polygoner (i to dimensioner).

Disse polytoper blev først beskrevet af den schweiziske matematiker Ludwig Schläfli i midten af det 19. århundrede. Schläfli opdagede, at der findes præcis seks sådanne figurer. Fem af disse kan betragtes som højere dimensionelle analoger til de platoniske faste legemer. Der er yderligere en figur (24-cellen), som ikke har nogen tredimensionel pendant.

Hver konveks regulær 4-polytop er afgrænset af et sæt 3-dimensionelle celler, som alle er platoniske faste legemer af samme type og størrelse. Disse er sat sammen langs deres respektive flader på en regelmæssig måde.

Egenskaber

Følgende tabeller viser nogle egenskaber for de seks konvekse regelmæssige polykoraer. Disse polykoras symmetriske grupper er alle Coxeter-grupper og er angivet i den notation, der er beskrevet i denne artikel. Tallet efter navnet på gruppen er gruppens orden.

Navne	Familie	Schläfli symbol	Toppene	Kanter	Ansigter	Celler	Punktfigurer	Dobbelt polytop	Symmetri gruppe
Pentachoron5-cellpentatophyperpyramidhypertetraeder4-simplex	simplex (n-simplex)	{3,3,3}	5	10	10 trekanter	5 tetraedre	tetraedre	(selv-dual)	A₄	120
Tesseractoctachoron8-cellerhypercube4-cube	hypercube (n-cube)	{4,3,3}	16	32	24 firkanter	8 terninger	tetraedre	16-celle	B₄	384
Hexadecachoron16-celleorthoplexhyperoctaeder4-orthoplex	kryds-polytop (n-orthoplex)	{3,3,4}	8	24	32 trekanter	16 tetraedre	oktaedre	tesseract	B₄	384
Icositetrachoron24-celloctaplexpolyoktaeder		{3,4,3}	24	96	96 trekanter	24 oktaedre	terninger	(selv-dual)	F₄	1152
Hecatonicosachoron120-celledodecaplexhyperdodekaederpolydodekaeder		{5,3,3}	600	1200	720 femkanter	120 dodekaeder	tetraedre	600-celle	H₄	14400
Hexacosichoron600-celletraplexhypericosaederpolytetraeder		{3,3,5}	120	720	1200 trekanter	600 tetraedre	icosaedre	120-celle	H₄	14400

Da grænserne for hver af disse figurer topologisk set svarer til en 3-sfære, hvis Eulerkarakteristik er nul, har vi den 4-dimensionelle analogi til Eulers polyedriske formel:

N 0- N +1 N 2- N = 3{\displaystyle0 N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,} $N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,$

hvor N_k angiver antallet af k-flader i polytopen (et toppunkt er en 0-flade, en kant er en 1-flade osv.).

Visualiseringer

Følgende tabel viser nogle 2-dimensionelle projektioner af disse polytoper. Forskellige andre visualiseringer kan findes på de andre websteder nedenfor. Coxeter-Dynkin-diagrammerne er også angivet under Schläfli-symbolet.

5-celle	8-celle	16-celle	24-celle	120-celle	600-celle
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}

Ortografiske wireframe-projektioner inden for Petrie-polygoner.

Faste ortografiske projektioner
tetraedriskvelope (celle/vertex-centreret)	kubisk kuvert (cellecentreret)	oktaedrisk konvolut (centreret på toppunktet)	kuboktaedriskvelope (celle-centreret)	afkortet rhombictriakontaedronvelope (cellecentreret)	Pentakis icosidodekaedriskvelope (toppunktscentreret)
Wireframe Schlegel-diagrammer (perspektivisk projektion)
(cellecentreret)	(cellecentreret)	(cellecentreret)	(cellecentreret)	(cellecentreret)	(toppunktscentreret)
Wireframe stereografiske projektioner (hypersfæriske)

Relaterede sider

Regelmæssig polytop
Platonisk fast stof

Spørgsmål og svar

Sp: Hvad er en konveks regulær 4-polytop?

Svar: En konveks regulær 4-polytop er en 4-dimensionel polytop, der både er regulær og konveks.

Sp: Hvad er analogerne til konvekse regulære 4-polytoper i tre og to dimensioner?

Svar: Analogerne til konvekse regulære 4-polytoper i tre dimensioner er de platoniske faste legemer, mens de i to dimensioner er regulære polygoner.

Spørgsmål: Hvem beskrev først konvekse regulære 4-polytoper?

Svar: Den schweiziske matematiker Ludwig Schläfli beskrev først konvekse regelmæssige 4-polytoper i midten af det 19. århundrede.

Spørgsmål: Hvor mange konvekse regulære 4-polytoper findes der?

Svar: Der findes præcis seks konvekse regulære 4-polytoper.

Spørgsmål: Hvad er det unikke træk ved 24-cellepolytopen blandt de konvekse regulære 4-polytoper?

Svar: Polytopen med 24 celler har ingen tredimensionel ækvivalent blandt de konvekse regulære 4-polytoper.

Sp: Hvilke 3-dimensionelle celler er der tilknyttet hver enkelt konveks regulær 4-polytop?

Svar: Hver konveks regulær 4-polytop er afgrænset af et sæt 3-dimensionelle celler, som alle er platoniske faste legemer af samme type og størrelse.

Sp: Hvordan er de 3-dimensionelle celler sat sammen i en konveks regulær 4-polytop?

Svar: De 3-dimensionelle celler er sat sammen langs deres respektive flader på en regelmæssig måde i en konveks regulær 4-polytop.