I matematik er et konvekst regulært 4-polytop (eller polychoron) et 4-dimensionelt (4D) polytop, som både er regulært og konvekst. Det er de firedimensionale analoger til de platoniske faste legemer (i tre dimensioner) og de regulære polygoner (i to dimensioner).
Disse polytoper blev først beskrevet af den schweiziske matematiker Ludwig Schläfli i midten af det 19. århundrede. Schläfli opdagede, at der findes præcis seks sådanne figurer. Fem af disse kan betragtes som højere dimensionelle analoger til de platoniske faste legemer. Der er yderligere en figur (24-cellen), som ikke har nogen tredimensionel pendant.
Hver konveks regulær 4-polytop er afgrænset af et sæt 3-dimensionelle celler, som alle er platoniske faste legemer af samme type og størrelse. Disse er sat sammen langs deres respektive flader på en regelmæssig måde.
Schläfli-symbol og tolkning
Regulære polytoper i 4D beskrives ved et Schläfli-symbol på formen {p,q,r}. Det betyder:
- cellerne er regulære polyedre med Schläfli-symbol {p,q} (dvs. cellernes facetter er p-kantede polygoner, og q sådanne facetter mødes i hvert hjørne af cellen),
- r celler mødes ved hver fælles flade (hver celle-flade deler netop r celler),
- hjørnefiguren (vertex figure) er et regulært polyeder med Schläfli-symbol {q,r}.
Den strenge betydning af regulær er, at gruppen af symmetrier virker transitivt på alle flager (en flag er en kæde bestående af en forekomst af et hjørne, en kant, en flade og en celle). Kravet om konveksitet betyder, at polytopen er den konvekse indpakning af sine hjørner (ingen "indrykket" geometri).
De seks konvekse regulære 4‑polytoper
Der findes præcis seks konvekse regulære 4‑polytoper. Her er de med deres mest almindelige navne, Schläfli-symbol og væsentlige tal:
- 5-cell (4-simplex) — Schläfli: {3,3,3}
celler: 5 tetraedre; V=5, E=10, F=10, C=5. Selv-dual. - Tesseract (8-cell, hyperkubus) — Schläfli: {4,3,3}
celler: 8 kuber; V=16, E=32, F=24, C=8. Dual til 16-cellen. - 16-cell (hexadecachoron) — Schläfli: {3,3,4}
celler: 16 tetraedre; V=8, E=24, F=32, C=16. Dual til tesseract. - 24-cell (icositetrachoron) — Schläfli: {3,4,3}
celler: 24 oktahdre; V=24, E=96, F=96, C=24. Unik ved, at den ikke har nogen analoge platonisk pendant i 3D; den er selv-dual. - 120-cell (hecatonicosachoron) — Schläfli: {5,3,3}
celler: 120 dodekaedre; V=600, E=1200, F=720, C=120. Dual til 600-cellen. - 600-cell (hexacosichoron) — Schläfli: {3,3,5}
celler: 600 tetraedre; V=120, E=720, F=1200, C=600. Dual til 120-cellen.
Dualitet og symmetrier
- Par af duale polytoper bytter antal hjørner (V) og celler (C), samt kanter (E) og flader (F). Eksempler: tesseract ↔ 16-cell, 120-cell ↔ 600-cell. 5‑cellen og 24‑cellen er selv-duale.
- De seks polytoper svarer til fire familier af Coxeter‑spejlinger (symmetrigrupper): A4 (5‑cellen), B4 (tesseract & 16‑cellen), F4 (24‑cellen) og H4 (120‑cellen & 600‑cellen). Disse grupper beskriver de fulde refleksion‑symmetrier i rummet S^3 (3‑sfæren) som grænsefladen af en 4‑polytop.
Topologi og relationer
- Grænsefladen til en konveks regulær 4‑polytop er topologisk en 3‑sfære (S^3). For kanten/ansigtsrelationer gælder den generaliserede Euler‑Poincaré relation: V − E + F − C = 0 for alle disse polytoper.
- Alle celler i en given regulær 4‑polytop er det samme platoniske polyeder i ens skala og orientering (op til symmetri). Mønstret, hvor cellerne mødes langs fladerne, bestemmes fuldt af Schläfli‑symbolet.
Visualisering og konstruktion
- Visualisering af 4‑dimensionelle polytoper sker typisk ved projektion til 3D eller ved snit (skæring) med 3‑dimensionelle rum. Almindelige fremstillinger er stereografisk projektion eller ortogonal projektion til R^3, ofte suppleret med farvekodning for at vise cellestruktur.
- Konstruktioner kan laves ved hjælp af Wythoff‑konstruktionen fra Coxeter‑diagrammer, eller ved koordinatløsninger i R^4 (f.eks. ved at placere hjørner på velvalgte vektorer med symmetrier bestemt af den tilsvarende Coxeter‑gruppe).
Afsluttende bemærkninger
De seks konvekse regulære 4‑polytoper udgør et komplet og velstruktureret udsnit af regelmæssig geometri i fire dimensioner: nogle er åbenlyse generaliseringer af 3D–Platoniske legemer (f.eks. 5‑cell, tesseract, 120/600) mens andre (24‑cellen) er særlige fire-dimensionelle konstruktioner uden direkte 3D‑modstykke. Deres rige symmetrier og relationer til Coxeter‑grupper gør dem centrale både i teoretisk geometri og i studier af højere-dimensionelle symmetrier.
