Hyperkube: Definition, egenskaber og eksempler på n-dimensionel kube
Lær hvad en hyperkube (n-kube) er — definition, geometriske egenskaber, diagonaler og eksempler på n-dimensionelle kuber. Klar, pædagogisk og illustreret.
I geometri er en hyperkube en n-dimensionel analog til et kvadrat (n = 2) og en terning (n = 3). Den er en lukket, kompakt og konveks krop, hvis 1-skelet består af grupper af modsatrettede parallelle linjestykker, der er rettet ud i hver af rummets dimensioner, vinkelret på hinanden og af samme længde.
For en enhedshyperkube (side længde = 1) er længden af den længste diagonal i n dimensioner lig med √n. 
Navne og historisk bemærkning
En n-dimensionel hyperkube kaldes også en n-kube eller en n-dimensionel terning. Udtrykket "målepolytop" er tidligere blevet brugt, særligt i arbejdet af H.S.M. Coxeter (og oprindeligt hos Elte, 1912), men dette navn er i praksis blevet mindre udbredt.
Eksempler efter dimension
- n = 0: et enkelt punkt (0-kube)
- n = 1: et linjestykke eller interval (1-kube)
- n = 2: et kvadrat (2-kube)
- n = 3: en terning (3-kube)
- n = 4: en tesserakt eller 4-kube (ofte visualiseret ved projektioner eller net)
Koordinatbeskrivelse og konstruktion
En simpel måde at beskrive en enhedshyperkube i Rn er som mængden af alle punkter med koordinater (x1, x2, ..., xn), hvor hver xi ligger i intervallet [0, 1]. En alternativ, diskret beskrivelse af hjørnerne (vertices) er de 2n punkter med koordinaterne i {0,1}n.
Kombinatoriske og måltegenskaber
- Antal hjørner (0-faces): 2n.
- Antal kanter (1-faces): n·2n-1.
- Antal k-dimensionelle flader: for hvert k = 0, 1, ..., n er antal k-flader givet ved 2n-k·C(n, k), hvor C(n,k) er binomialkoefficienten.
- Hypervolumen (n-måle): for en hyperkube med sidelængde s er volumen sn. En enhedshyperkube har derfor volumen 1.
- Overflademål (n−1-mål): en hyperkube med sidelængde s har 2n flader af dimension n−1, hver med mål sn-1, så den samlede "overflade" er 2n·sn-1.
Symmetri og dualitet
Hyperkuben er en regulær polytope for alle n og har stor symmetri. Dens fulde symmetrigruppe er den såkaldte hyperoktaedriske gruppe (ofte kaldet Bn), som har ordnen n!·2n og omfatter permutationer af koordinaterne samt uafhængige spejlinger (ændring af fortegn eller komplement af koordinater afhængig af repræsentation). Dualen til n-kuben er n-orthoplex (også kaldet n-dimensionel orthoplex eller cross-polytope).
Graf- og netværksperspektiv
1-skelettet i en n-kube danner hyperkubens graf, ofte kaldet Qn (hypercube-graphen). Den har 2n noder (hvert et hjørne) og n·2n-1 kanter, og den er bipartit, regelmæssig af grad n og har relevante anvendelser inden for parallelle netværksarkitekturer og algoritmeteori.
Visualisering og anvendelser
Visualisering af hyperkuber for n > 3 sker typisk ved projektioner (f.eks. stereografisk eller ortografisk) eller ved at vise net (sammensatte flader). Den bedst kendte 4-dimensionelle hyperkube er tesserakten, som ofte vises som en kube indeni en kube med forbinde kanter.
Hyperkuber anvendes i mange områder: i sandsynlighedsregning og integration som integrationsdomæner, i statistik og maskinlæring som modeller for parameter- eller tilstandsrum (enhedshyperkuben [0,1]n), i datalagring og kodning, samt i teoretisk datalogi (f.eks. til design af netværkstopologier). I højere dimensioner fører de også til indsigt i begreber som "curse of dimensionality" — f.eks. vokser afstande til hjørner som √n for enhedshyperkubens diagonal, hvilket påvirker tætheder og afstandsbaserede metoder.
Opsummering
En hyperkube er en naturlig generalisering af kvadratet og terningen til arbitrære dimensioner. Dens simple koordinatbeskrivelse, faste formler for antal flader og mål samt stærke symmetrier gør den til et centralt og velundersøgt objekt i både ren og anvendt geometri.
Byggeri
En hyperkube kan defineres ved at øge antallet af dimensioner i en form:
0 - Et punkt er en hyperkube af dimension nul.
1 - Hvis man flytter dette punkt en længdeenhed, vil det udstykke et linjestykke, som er en enhedshyperkube af dimension 1.
2 - Hvis man flytter dette linjestykke sin længde i en vinkelret retning fra sig selv; det udstikker et 2-dimensionelt kvadrat.
3 - Hvis man flytter kvadratet en længdeenhed i retningen vinkelret på det plan, det ligger på, vil det skabe en 3-dimensionel terning.
4 - Hvis man flytter terningen en længdeenhed ind i den fjerde dimension, opstår der en 4-dimensionel enhedshyperkube (en enhedstesserakt).
Dette kan generaliseres til et vilkårligt antal dimensioner. Denne proces med at fjerne rumfang kan formaliseres matematisk som en Minkowski-summe: den d-dimensionelle hyperkube er Minkowski-summen af d indbyrdes vinkelrette linjestykker af enhedslængde, og er derfor et eksempel på en zonotop.
1-skelettet af en hyperkube er en hyperkubegraf.
Et diagram, der viser, hvordan man skaber en tesserakt ud fra et punkt.
En animation, der viser, hvordan man skaber en tesserakt ud fra et punkt.
Relaterede sider
- Simplex - den n-dimensionelle analogi til trekanten
- Hyperrektangel - det generelle tilfælde af hyperkubus, hvor basen er et rektangel.
Spørgsmål og svar
Sp: Hvad er en hyperkube?
A: En hyperkube er en n-dimensionel analog til et kvadrat (n = 2) og en terning (n = 3). Det er en lukket, kompakt, konveks figur, hvis 1-skelet består af grupper af modsatrettede parallelle linjestykker, der i hver af rummets dimensioner står vinkelret på hinanden og har samme længde.
Sp: Hvad er den længste diagonal i en n-dimensionel hyperkube?
Svar: Den længste diagonal i en n-dimensionel hyperkube er lig med n {\displaystyle {\sqrt {n}}}.
Sp: Er der et andet udtryk for en n-dimensionel hyperkube?
Svar: En n-dimensionel hyperkube kaldes også en n-kube eller en n-dimensionel terning. Udtrykket "målepolytop" har også været anvendt, men det er nu blevet erstattet.
Spørgsmål: Hvad betyder "unit hypercube"?
A: En enhedshyperkubus er en hyperkubus, hvis side har en længde på én enhed. Ofte henviser enhedshyperkub til det specifikke tilfælde, hvor alle hjørner har koordinater lig med 0 eller 1.
Sp: Hvordan kan vi definere et "hyperrektangel"?
Svar: En hyperrektangel (også kaldet en n-ortotop) defineres som det generelle tilfælde af en hyperkube.
Søge