I geometri er en hyperkube en n-dimensionel analog til et kvadrat (n = 2) og en terning (n = 3). Den er en lukket, kompakt og konveks krop, hvis 1-skelet består af grupper af modsatrettede parallelle linjestykker, der er rettet ud i hver af rummets dimensioner, vinkelret på hinanden og af samme længde.

For en enhedshyperkube (side længde = 1) er længden af den længste diagonal i n dimensioner lig med √n. {\displaystyle {\sqrt {n}}}

Navne og historisk bemærkning

En n-dimensionel hyperkube kaldes også en n-kube eller en n-dimensionel terning. Udtrykket "målepolytop" er tidligere blevet brugt, særligt i arbejdet af H.S.M. Coxeter (og oprindeligt hos Elte, 1912), men dette navn er i praksis blevet mindre udbredt.

Eksempler efter dimension

  • n = 0: et enkelt punkt (0-kube)
  • n = 1: et linjestykke eller interval (1-kube)
  • n = 2: et kvadrat (2-kube)
  • n = 3: en terning (3-kube)
  • n = 4: en tesserakt eller 4-kube (ofte visualiseret ved projektioner eller net)

Koordinatbeskrivelse og konstruktion

En simpel måde at beskrive en enhedshyperkube i Rn er som mængden af alle punkter med koordinater (x1, x2, ..., xn), hvor hver xi ligger i intervallet [0, 1]. En alternativ, diskret beskrivelse af hjørnerne (vertices) er de 2n punkter med koordinaterne i {0,1}n.

Kombinatoriske og måltegenskaber

  • Antal hjørner (0-faces): 2n.
  • Antal kanter (1-faces): n·2n-1.
  • Antal k-dimensionelle flader: for hvert k = 0, 1, ..., n er antal k-flader givet ved 2n-k·C(n, k), hvor C(n,k) er binomialkoefficienten.
  • Hypervolumen (n-måle): for en hyperkube med sidelængde s er volumen sn. En enhedshyperkube har derfor volumen 1.
  • Overflademål (n−1-mål): en hyperkube med sidelængde s har 2n flader af dimension n−1, hver med mål sn-1, så den samlede "overflade" er 2n·sn-1.

Symmetri og dualitet

Hyperkuben er en regulær polytope for alle n og har stor symmetri. Dens fulde symmetrigruppe er den såkaldte hyperoktaedriske gruppe (ofte kaldet Bn), som har ordnen n!·2n og omfatter permutationer af koordinaterne samt uafhængige spejlinger (ændring af fortegn eller komplement af koordinater afhængig af repræsentation). Dualen til n-kuben er n-orthoplex (også kaldet n-dimensionel orthoplex eller cross-polytope).

Graf- og netværksperspektiv

1-skelettet i en n-kube danner hyperkubens graf, ofte kaldet Qn (hypercube-graphen). Den har 2n noder (hvert et hjørne) og n·2n-1 kanter, og den er bipartit, regelmæssig af grad n og har relevante anvendelser inden for parallelle netværksarkitekturer og algoritmeteori.

Visualisering og anvendelser

Visualisering af hyperkuber for n > 3 sker typisk ved projektioner (f.eks. stereografisk eller ortografisk) eller ved at vise net (sammensatte flader). Den bedst kendte 4-dimensionelle hyperkube er tesserakten, som ofte vises som en kube indeni en kube med forbinde kanter.

Hyperkuber anvendes i mange områder: i sandsynlighedsregning og integration som integrationsdomæner, i statistik og maskinlæring som modeller for parameter- eller tilstandsrum (enhedshyperkuben [0,1]n), i datalagring og kodning, samt i teoretisk datalogi (f.eks. til design af netværkstopologier). I højere dimensioner fører de også til indsigt i begreber som "curse of dimensionality" — f.eks. vokser afstande til hjørner som √n for enhedshyperkubens diagonal, hvilket påvirker tætheder og afstandsbaserede metoder.

Opsummering

En hyperkube er en naturlig generalisering af kvadratet og terningen til arbitrære dimensioner. Dens simple koordinatbeskrivelse, faste formler for antal flader og mål samt stærke symmetrier gør den til et centralt og velundersøgt objekt i både ren og anvendt geometri.